25.2.1（第2课时）配方法（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦配方法分层训练，类型一夯实解方程基础，类型二拓展代数几何应用，梯度清晰，适配新授课巩固与提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |类型一：基础应用|配方法解方程的步骤与变形|通过选择、填空、解答题递进，强化运算能力| |类型二：综合拓展|配方法在代数式最值、几何问题中的应用|结合综合实践题，发展推理意识与模型意识|

25.2.1（第2课时）配方法（原卷版） 目 录 类型一、用配方法解一元二次方程 1 类型二、配方法的应用 4 类型一、用配方法解一元二次方程 1．若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 6．一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 7．若将一元二次方程转化为的形式，则b的值为（     ） A．1 B．8 C．9 D．10 8．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 9．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 10．将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（     ） A． B． C． D． 12．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 13．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 14．用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 15．方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 16．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 17．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 18．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 19．将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 20．把方程化为的形式，则的值是___________． 21．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 22．用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 23．用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 24．将一元二次方程配方后化成的形式，则的值为___________． 25．已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为______． 26．解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 27．解方程 (1)； (2)（用配方法）． 28．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 29．解方程：． 30．解方程 (1) (2) 31．解方程：． 32．解方程：． 33．解一元二次方程：． 34．用配方法解方程：． 35．解方程： (1) (2)． 36．解下列方程： (1)； (2)． 37．解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 38．解方程： (1)． (2)． 39．解下列方程： (1)（用配方法）． (2)． 40．解方程：． 类型二、配方法的应用 41．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 42．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 43．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 44．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 45．若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 46．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 47．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 48．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 49．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 50．已知代数式的最小值是_________． 51．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 52．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 53．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 54．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 55．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 1．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 2．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 3．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 4．阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 5．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 1．综合与实践 [规律探究] （1）教材第54页《数学活动》活动一中部分问题如下： 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 证明如下： 由已知可得，这两个两位数的和为①，设其中一个两位数为x，则另一个两位数为②． 设这两个两位数的积为y，则有③， 将此函数化为顶点式为④， 根据函数图象和性质，当⑤，y有最大值． 因此我们可以猜想：若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大．（证明略）通过证明，可以得出这个猜想是真命题． [实践运用] （2）如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 2．阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：（写过程）； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1（第2课时）配方法（解析版） 目 录 类型一、用配方法解一元二次方程 1 类型二、配方法的应用 16 类型一、用配方法解一元二次方程 1．若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理得． 2．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，完成配方后即可判断正确选项． 【详解】解： 移项得，， 配方得，，即． 3．用配方法解方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ． 4．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解： ， ， ， ． 6．一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ． 7．若将一元二次方程转化为的形式，则b的值为（     ） A．1 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：， ， ， ，即b的值为10． 8．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 9．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 10．将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】通过配方将原方程化为题目要求的形式，即可得到的值. 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，得， 整理得 ， 对比，可得. 11．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可求解． 【详解】解：∵ 移项得 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 整理得：． 12．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤将方程整理为的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ， 对比，可得，， 故选：D． 13．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 14．用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程为，一次项系数为，一半的平方为 ， ∴方程两边同时加，得， 整理得. 15．方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 16．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 17．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 18．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 【答案】 12 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可. 【详解】解：方程，两边加上，得 ， 即. 19．将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【答案】9 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 【详解】解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 20．把方程化为的形式，则的值是___________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法，求代数式的值．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求出m，n的值，即可解答． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， ∴，， ∴． 故答案为：3． 21．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 【答案】10 【分析】本题考查配方法解方程，熟练掌握配方法是解题的关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可． 【详解】解：方程，两边加上 9，得，即； 故答案为：10 22．用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题关键． 通过配方法，将常数项移项后，添加一次项系数一半的平方完成配方，转化为完全平方式即可得出答案． 【详解】解： ， 移项，得， 配方，得，即 ， ∴ ， 故答案为： ． 23．用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 【答案】2027 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求a和b的值，再代入求值即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 与对比，得，， 所以． 故答案为：2027． 24．将一元二次方程配方后化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，进而确定常数项的值． 【详解】解：方程移项得，配方时添加一次项系数一半的平方， 即， 两边同时加上16，得，即， 与形式对比，得． 故答案为： 25．已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过将配方后的方程展开，整理成一般式，与原方程对比常数项，求出c的值． 【详解】解：配方后得到， 展开得， 移项整理得， 原方程为， 对比常数项，得． 故答案为：． 26．解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 27．解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． （2）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解：， ， ， ， ，． 28．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 29．解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 30．解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 开平方得 解得，； （2）解：， 移项得 ， 配方，两边同时加得 ， 整理得 ， 开平方得 ， 解得，． 31．解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项，得， 配方，等式两边同时加1，得， 整理，得， 开平方，得， 解得，． 32．解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项，得：． 配方，得． 即． ∴，即，． ∴，． 33．解一元二次方程：． 【答案】或 【详解】解：， ， ， 所以， 所以或， 34．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 35．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接开方法求解；（2）配方法求解． 【详解】（1）解：， 直接开平方得：， 解得：，． （2）解：， 移项得：， 配方，两边加 4： ， ， 开平方：， 解得：，． 36．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 ∴，； （2）解： ∴或 ∴，． 37．解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得：， （2）解： 解得：， （3）解： 解得：， （4）解： 解得：， 38．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方程运用配方法解答即可； （2）方程整理后运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解： ， ， ， ， 解得：，． 39．解下列方程： (1)（用配方法）． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，即或， 解得，． （2）解：， ， 或， 解得，． 40．解方程：． 【答案】， 【分析】可以利用配方法解一元二次方程． 【详解】解： ， ， ， ∴，． 类型二、配方法的应用 41．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 42．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 43．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 44．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 45．若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 46．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 47．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 48．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 49．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 50．已知代数式的最小值是_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法可把所求式子变形为，再根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原代数式的最小值为5， 故答案为：5． 51．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 52．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 53．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 54．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 55．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 1．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 2．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 【答案】(1)； (2) (3)当时，有最小值，最小值为 (4)1；大； 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解； （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值； （4）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将写成，依据完全平方公式； 第三步将写成，依据平方差公式， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：1，大，． 3．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答． （2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 则； （2）解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 4．阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 【答案】(1) (2)12 (3)的最小值4，无最大值 【分析】本题考查了配方法、平方差公式以及完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）先通过配方法将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解． （2）通过配方法将等式转化为完全平方和的形式，根据非负性求出三边长度，进而求出周长． （3）先用含的式子表示, 再代入, 通过配方法求最值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 的周长为； （3）解：， ， ， ， ， ， 有最小值4，无最大值． 5．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：②④ （2）解：∵，可配方成（，为整）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 1．综合与实践 [规律探究] （1）教材第54页《数学活动》活动一中部分问题如下： 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 证明如下： 由已知可得，这两个两位数的和为①，设其中一个两位数为x，则另一个两位数为②． 设这两个两位数的积为y，则有③， 将此函数化为顶点式为④， 根据函数图象和性质，当⑤，y有最大值． 因此我们可以猜想：若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大．（证明略）通过证明，可以得出这个猜想是真命题． [实践运用] （2）如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1）①190；②；③；④；⑤95；（2）四边形ABCD的面积最大值为50 【分析】本题核心考查二次函数的图象与性质，配方法，数字类规律探索，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，逐步分析计算，即可解答； （2）先求出四边形的面积为，继而推导出当时，取得最大值，即可解答． 【详解】解：（1）①． ②设其中一个两位数为x，则另一个两位数为． ③设这两个两位数的积为y，则． ④将化为顶点式，． ⑤∵二次函数的二次项系数为负数， ∴当时，y有最大值． 故答案为：①190；②；③；④；⑤95 （2）∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形的面积． ∵，根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”， ∴当时，取得最大值， ∴四边形面积的最大值． 答：四边形面积的最大值为50． 2．阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：（写过程）； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)25 (2) (3)当时，多项式有最小值，最小值为5 【分析】本题考查了配方法的应用，熟悉掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法解答即可； （2）利用配方法因式分解即可； （3）利用配方法，先把原式化为，再利用平方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： 故答案为：25； （2）解： ； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为5． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $