三角形四心在向量与解三角形中的应用 专项训练-2024届高三数学一轮复习

三角形四心的向量表示 概念 相关性质 向量表示 重心 三角形的三条中线的交点 重心将三角形中线长度分成 是的重心 垂心 三角形的三条高线的交点 垂心与三角形各顶点的连线分别垂直于对应边 是的垂心 外心 三角形的三条边的垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心） 外心与三角形各顶点的连线长度相等 是的外心 内心 三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心） 内心到三角形各边的距离相等 是的内心 类型一 三角形四心的判断 1.若为所在平面内一点,且,则点是ABC的 A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 2.已知为所在平面内一点,且满足+=+,则点 A.在边高所在的直线上 B.在∠C平分线所在的直线上 C.在边中线所在的直线上 D.是的外心 3.（2023下·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考阶段练习）在中，动点满足，则点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4.（2023下·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期中）已知O是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写） 类型二 三角形四心的计算 1.（2023·全国·高三专题练习）如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（  ）    A． B． C． D． 2. 已知点是的外心，，，，若， 则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3.设的外接圆的圆心为,半径为,且满足==,+的最小值为________. 4.（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）在平面内，定点满足，，动点，满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5.（多选）如图,已知圆的半径为3,点是圆内的定点,且=,弦，均过点，则下列说法正确的是（ ） A.= B.的取值范围是 C.时,为定值 D.时,的最大值为 6.（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 7.(多选)（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知的内角，，所对边的长分别为，，，已知，， 的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8.（2022下·江西上饶·高一校联考期末）在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.（2022下·四川成都·高一统考期末）在中，角､､所对的边分别为､､，若，，，点､分别为的外心和重心，则的值为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形四心的向量表示 概念 相关性质 向量表示 重心 三角形的三条中线的交点 重心将三角形中线长度分成 是的重心 垂心 三角形的三条高线的交点 垂心与三角形各顶点的连线分别垂直于对应边 是的垂心 外心 三角形的三条边的垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心） 外心与三角形各顶点的连线长度相等 是的外心 内心 三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心） 内心到三角形各边的距离相等 是的内心 类型一 三角形四心的判断 1.若为所在平面内一点,且,则点是ABC的 A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 解析: +=+，∴= ∴()()=()() 即()=() 移项整理:=0，即2=0 故为垂心，选D 2.已知为所在平面内一点,且满足+=+,则点 A.在边高所在的直线上 B.在∠C平分线所在的直线上 C.在边中线所在的直线上 D.是的外心 解析:由于+=+， 所以()() 即()=() 移项可得，()=0，=0 故选A 3.（2023下·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考阶段练习）在中，动点满足，则点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以， 设的中点为，则，则，    所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心. 故选：A 4.（2023下·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期中）已知O是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则P的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”