2.2基本不等式第2课时课前导学案——2026-2027学年高一上学期数学人教A版（2019）必修一

该高中数学导学案聚焦基本不等式的应用，通过“温故”回顾重要不等式及适用条件，“知新”探究最值问题两类模型，预习提要引导自主阅读课本，搭建从旧知到新知的学习支架。 特色在于结合实际情境设计课前自测，如跳蚤市场利润、充电桩年平均利润等问题，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过伯努利应用案例培养数学思维，问题建模过程提升数学语言表达能力，助力掌握“一正二定三相等”条件，提升应用意识。

2.2基本不等式第2课时 预习提要 1.回顾基本不等式； 2.阅读课本P46—P48内容，自主探究基本不等式的应用，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．对任意实数，重要不等式：，当且仅当时等号成立. 2．基本不等式适用条件：；公式为，当且仅当时等号成立. 3．对正数叫做的平均数，叫做的平均数；基本不等式文字表述：两个正数的算术平均数它们的几何平均数. 二、知新 1．利用基本不等式解决最值问题的两类基础模型： （1）积定求和最小：若两个正数的乘积为定值，则有最值，当且仅当时取得该最值； （2）和定求积最大：若两个正数的和为定值，则有最值，当且仅当时取得该最值. 2．运用基本不等式求最值必须满足三个条件：一（变量为正数）、二（和或积为固定值）、三（能取到等号成立的条件）. 课前自测 1.石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业.为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查.若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在时，本次活动售出的件数.若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为__________元. 2.目前电动汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元， （1）求出y关于x的函数关系式； （2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）. 3．围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米）.设修建此矩形场地围墙的总费用为y. (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 反思 继柯西完善均值不等式理论后，19世纪瑞士数学家丹尼尔•伯努利率先将基本不等式投入实际生产优化问题，打通了代数不等式与现实工程问题之间的桥梁，也是最早系统研究基本不等式应用的学者.当时水利工程需要修建储水容器，工程师一直凭经验设计长宽高，常常出现材料浪费.伯努利发现：若容器容积固定（积为定值），当底面长与宽相等时，容器侧面与底面所用板材总面积最小，完美对应基本不等式＂积定和最小＂；反之，若给定板材总长度（和为定值），围成矩形容器的长宽相等时，内部储存面积最大，也就是＂和定积最大＂. 答案及解析 一、温故 1． 2．； 3．算术；几何；不小于 二、知新 1．小；；大； 2．正；定；等 课前自测 1．答案：15 解析：由题意可知，利润为，， 不妨令，则利润为，当且仅当，即时取等号，此时，故销售价格每件应定为15元. 2．答案：（1）；（2）20万元 解析：（1）因为营运六年时总利润最大，最大为110万元， 所以二次函数的图象开口向下，且顶点坐标为， 可设. 又营运三年时总利润为20万元，所以，解得， 则. （2）由（1）得年平均总利润为， 当且仅当，即时取“=”. 所以营运的年平均总利润的最大值为20万元. 3．答案：(1)；(2)当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 解析：(1)设矩形的另一边长为， 则， 由已知，得，所以. (2)， ，当且仅当时，等号成立. 即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 学科网（北京）股份有限公司 $