2.3二次函数与一元二次方程、不等式第2课时课前导学案——2026-2027学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

该高中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的实际应用，通过温故环节回顾定义、零点及判别式与解集的关系，知新部分引导探究应用步骤，搭建从基础概念到实际问题解决的学习支架。 资料特色在于结合伽利略运动研究及经济生产、建筑设计等现实情境，通过课前自测的利润、成本等具体问题，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析问题的核心素养，提升应用意识与实践能力。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时 预习提要 1.回顾二次函数与一元二次方程、不等式； 2.阅读课本P53—P54内容，自主探究一元二次不等式的实际应用，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．一元二次不等式的定义：只含有个未知数，且未知数最高次数是的不等式，一般形式为或，其中要求常数0. 2．二次函数的零点：使方程成立的实数，就是这个二次函数的零点. 3．设一元二次方程的判别式： （1）当时，方程有的实数根，此时的解集为，的解集为； （2）当时，方程有的实数根，此时的解集为，的解集为； （3）当时，方程实数根，此时的解集为，的解集为. 4．求解二次项系数的一元二次不等式时，通常先把二次项系数化为，再按照的流程求解. 二、知新 1．利用一元二次不等式解决实际问题的通用步骤： （1）设，根据题意列出对应的一元二次不等式； （2）将不等式整理为二次项系数的标准形式； （3）计算判别式，求解对应一元二次方程的； （4）结合二次函数图象写出不等式的； （5）根据实际问题的约束条件（如变量取正数、整数等）筛选出最终结果. 2．实际问题中解出不等式解集后，一定要结合对变量进行范围取舍，比如产量、车速这类物理量必须取数，产量这类量通常还要取数. 课前自测 1.某公司每个月的利润y（单位：万元）关于月份n的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 2.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 3.河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展.某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为( ) A.250元 B.260元 C.270元 D.280元 4.用一根长为的绳子，围成一个一边长为，面积大于的矩形，则实数x的取值范围为________________. 反思 近代科学之父伽利略是最早用二次函数刻画现实运动、并结合方程与不等式解决实际问题的科学家.在他之前，人们只能定性描述物体抛射运动，没有精准的代数计算工具.伽利略通过大量斜抛、自由落体实验发现：物体竖直高度与运动时间满足二次函数关系.在此模型中，三类数学工具各司其职： 1．一元二次方程：令，解方程可求出物体落地的准确时间；令某固定高度，能算出物体经过该高度的时刻. 2．一元二次不等式：若想知道＂物体高于安全高度的时长＂，只需列出，解不等式得到对应的时间区间. 3．二次函数图象：抛物线直观展示运动全过程的高度变化，开口方向、顶点对应最高点、下落趋势. 后世工程师延续这套数形结合思路，将二次模型推广到各行各业： · 经济生产：利润关于产量是二次函数，解方程找到盈亏平衡点，解不等式得到盈利的产量区间； · 建筑设计：拱桥、隧道横截面为抛物线，利用不等式算出满足通行高度要求的横向宽度； · 体育训练：篮球、铅球投掷轨迹为二次曲线，通过方程求最远落点，通过不等式判断能越过障碍物的出手角度范围. 答案及解析 一、温故 1．一 2． 3．（1）两个不相等；或 （2）两个相等；； （3）没有； 4．正数 二、知新 1．未知数；为正；实数根；解集 2．实际意义；正；整 课前自测 1.答案：C 解析：由题意得：，解得或， 故、8、9、10、11、12，共6个月；故选：C. 2.答案：C 解析：由题意，知总售价为万元.要使生产者不亏本，则必须满足总售价大于或等于总成本，即，即，可化为，解得或（舍去）.故最低产量是150台. 3.答案：C 解析：依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为.因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所以，即，解得.因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元.故选：C. 4.答案： 解析：由题目条件，知矩形的另一边的长为，且.由题意，得围成的矩形的面积为，所以，即，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $