精品解析：江西吉安市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

高二下学期期末教学质量检测 数学试题 （测试时间：120分钟 卷面总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】该质点在内的平均速度是. 2. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式及等差数列性质求解. 【详解】在等差数列中，由，，得， 所以. 3. 已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点，，，得到y关于x的回归方程为，则m的值为（ ） A. 3.6 B. 3.2 C. 2.7 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【详解】，则， 则，得 4. 随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，，则， 又，则，解得，所以. 所以. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，令，求导得， 令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因为，所以， 所以，即， 综上，． 6. 已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】要使分段函数在上单调递增，需要满足三个条件： （1）在上单调递增， 当时，，因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增，须满足； （2）在上单调递增， 当时，， ， ，要使在上单调递增， 必须满足在时恒成立， 即：，， 因为，所以，所以，即； （3）为了保证函数在整个上单调递增，必须满足处的左极限小于等于处的右极限， 当时，， 需满足， 解得：； 综上所述：. 7. 某深空探测器向地球发送关键数据包，由于存在宇宙射线干扰，每次发送成功的概率均为，且各次发送结果相互独立．若探测器累计成功发送4次，且期间未出现连续两次发送失败，则完成任务并立即进入休眠状态（停止后续发送）．该探测器恰好在第6次发送后完成任务的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该探测器恰好在第6次发送后完成任务，所以第6次必然成功，前5次没有出现连续两次失败且成功了次，那么两次失败插空分布在发送成功部分，通过独立事件与互斥事件的概率求出完成任务的概率. 【详解】该探测器恰好在第6次发送后完成任务，所以第6次必然成功，前5次没有出现连续两次失败且成功了次，那么 设事件：该探测器恰好在第6次发送后完成任务，则 . 8. 已知数列满足：，，，数列满足，则数列的前项的积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用递推式求出，进而求出，再根据的性质求出前项积，进而求解． 【详解】已知，则， 则是首项为2，公差为1的等差数列，即， ， 时，，符合上式， 故， 已知，则， 设的前项积为，则， 故． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. 的最小值为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式逐项分析判断. 【详解】在等差数列中，，而，则， 对于A，等差数列的公差，数列为递增数列，A正确； 对于B，等差数列前8项均为负，从第9项起均为正，因此的最小值为，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，则，D正确. 10. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由，得， 则事件与互斥，但不能得到与一定对立，故A错误； 对于B，，得， 则，故B正确； 对于C，由，，， 得，故C正确； 对于D，已知，得；， 得； ，得 ，故D正确. 11. 设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（ ） A. 的图象与轴有且仅有个交点 B. 存在实数，使得的图象与轴相切 C. 若，则方程有唯一实数解 D. 若有两个零点，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A直接通过函数的最小值判断可得，对B根据导数的几何意义判断可得存在时，的图象与轴相切，对C先判断时有最大值，再结合A选项分析可知，因此可得结果错误，对选项D，先换元，进而通过导数判断的单调性及最大值，再通过构造函数判断最大值时的范围可得. 【详解】对A选项，由求导得：，令得. 当时，，单调递减；时，，单调递增. 所以函数有最小值为，且时， 因此与轴仅有个交点，A错误. 对B选项，定义域为，若图象与轴相切，则存在满足. 求求导得，代入得：，令得， 此时，满足条件，因此存在这样的，B正确. 对C选项，当时，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以函数有最大值，因此 而由A选项分析知，所以， 所以方程无实数解，故C错误. 对D选项，令，则，代入得， ， 当时：，函数单调递增，最多有个零点，不符合； 当时：令得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数有最大值为， 令，， 所以在上单调递减，且. 因此当，，即函数有最大值. 因为函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当时，， 此时函数在区间，各有一个零点，共两个零点. 因此若有两个零点，则的取值范围为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量X服从正态分布，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 所以， 所以. 13. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，求导，结合已知条件分析函数单调性，进而利用单调性解不等式． 【详解】令，， 故在上单调递增， 已知，则， 不等式等价于，即， 在上单调递增， 故， 解得或，解集为． 14. 某太空项目采用星链卫星组网，第1颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第颗卫星与基准轨道的偏差值为，满足递推关系：，，已知初始偏差，则前69颗入轨卫星的总偏差为________． 【答案】1193 【解析】 【分析】先归纳得数列的通项，再求出数列的前项和，最后求得前69颗入轨卫星的总偏差即. 【详解】由题意得，，， ，，， ，，. 可以归纳出，当时，若，则； 若，则． 令，则， 当为偶数，设，那么, 则, , ， 所以，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意知. 因为成等比数列，故. 又，所以，，，代入得 展开整理得，即. 由得，因此数列的通项公式为 . 【小问2详解】 ， 数列的前项和 因为，所以，故， 因此，即的最大值为. 不等式对任意恒成立，等价于， 整理得，即， 解得或. 16. 为了解学生每日睡眠时间与课堂专注度的关系，某校随机抽取50名高中生进行调查，整理数据后获得如下不完整列联表： 项目 课堂专注度达标 课堂专注度未达标 合计 每日睡眠时间小时 5 每日睡眠时间小时 8 合计 22 50 （1）请完成列联表，并以频率估计概率，估计每日睡眠时间不足7小时的学生中，课堂专注度未达标的概率； （2）根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生每日睡眠时间与课堂专注度有关？ 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 附：，其中为样本容量． 【答案】（1）补全后的列联表如下： 项目 课堂专注度达标 课堂专注度未达标 合计 每日睡眠时间≥7小时 20 5 25 每日睡眠时间<7小时 8 17 25 合计 28 22 50 所求概率为（或0.68）； （2）能认为学生每日睡眠时间与课堂专注度有关. 【解析】 【小问1详解】 先根据合计，求出课堂专注度达标为28， 再分别求出纵向值， 最后求出横向合计值，即如下： 项目 课堂专注度达标 课堂专注度未达标 合计 每日睡眠时间≥7小时 20 5 25 每日睡眠时间<7小时 8 17 25 合计 28 22 50 【小问2详解】零假设为：学生每日睡眠时间与课堂专注度无关. 根据列联表数据，代入卡方统计量公式计算得 因为， 所以根据小概率值0.001的独立性检验，拒绝，即能认为学生每日睡眠时间与课堂专注度有关. 17. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】代入参数值，求导求得函数极值； 求出导函数并因式分解，转为求更简单的函数值域，利用函数单调性求的初步范围， 利用存在性条件和函数最值进一步缩小的范围得出结论. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则，，， 当时，，则，单调递减， 当时，，则，单调递增， 故时，有极小值：，没有极大值. 【小问2详解】 ， 在区间上单调，在上不变号，此时，， 令，则在上，恒成立或恒成立， 若在区间上单调递增，则恒成立， 即在上恒成立，即， 若在区间上单调递减，则恒成立， 即在上恒成立，即. 则当时，因在上单调递增，， 令，解得，故得； 当时，因在上单调递减，， 令，即，也即， 比较和大小： ，且，， . 故实数a的取值范围是. 18. 现有张卡片，其中张为黑色、张为白色，卡片除颜色外完全相同．从中不放回地随机抽取张放入一个空容器中，记容器中黑色卡片的张数为．每次从该容器中随机取出张卡片：若是黑色卡片，则将其换成一张白色卡片放回容器；若是白色卡片，则将其换成一张黑色卡片放回容器．经过次上述操作后，容器中黑色卡片的张数记为． （1）求； （2）若已知，记； （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）理论表明，当为偶数时，随着操作次数的增加，会逐渐趋近于．当与该趋近值的误差足够小时，即可认为概率变化已趋于稳定．规定：当为偶数，且时，立即停止操作，求此时已进行的操作次数．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）（ⅰ） ​ （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）直接根据超几何分布的概率公式计算可得； （2）（ⅰ）由进而可得，，再由概率的乘法公式可得，，从而可得分布列；（ⅱ）先由偶数，​仅取和，进而再推导，再结合等比数列的性质可得，再通过取对数计算可得所求值. 【小问1详解】 表示初始抽取的张卡片中恰有张黑色， 由超几何分布得： . 因此. 【小问2详解】 （ⅰ）已知，即初始容器内黑白共张卡片， 第次抽牌，抽中黑色卡片（概率为），则黑色卡片变为，即； 抽中白色卡片（概率为），则黑色卡片变为，即； 因此只能取或：，. ​为第二次操作后黑色张数， 若（黑白），必抽到白色卡（概率为），替换后， 若（黑白）： 抽到黑色卡（概率为），替换后， 抽到白色卡（概率为），替换后， 所以，，. 所以的分布列为： ​ （ⅱ）对偶数，​仅取和，​仅取和，所以的值通过两次抽牌回到的值， 每次操作黑色卡片张数变化. ①从状态出发，经过两次操作回到状态： 路径：，概率； 路径：，概率；合计概率. ②从状态出发，经过两次操作回到状态，路径：，概率. 所以，即 整理为等比数列形式：，结合初始， 得通项： ​，即. 由要求​，代入得： ，， 两边取常用对数： ，. 因为为偶数，故最小满足条件的，即已进行的操作次数为。 19. 已知函数，为的导函数，函数在点处的切线l与直线平行． （1）求切线l的方程； （2）设函数，． （ⅰ）讨论函数的单调性； （ⅱ）若方程有且仅有三个互不相等的实数根，，，求实数n的取值范围，并证明：． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （ii）； 先证不等式：， 由题意，满足，故且， 两式相减整理可得， 则只需证：，即证：． 令，则，不等式转化为证明． 令，则， 可得在上单调递减，有，即成立． 所以， 所以， 再证明不等式：． 由于，且在上单调递增， 则只需证：． 令，则在内单调递增，单调递减， 所以，即． 而， 则． 综上，可得． 【解析】 【分析】（1）求导代入得到，再计算切点坐标，写出切线方程即可； （2）（i）对分段讨论后再对分类讨论即可； （ii）先证不等式：，利用比值换元法即可证明；再证明，转化为证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为． 由题意，，即。 求导得， 由切线斜率为2得：， 解得，满足. 此时，即切点坐标为， 所以切线的方程为， 即. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 故． 当时，； 当时,； ①当时，在上单调递增； ②当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ④当时，，， 在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （ii）若方程有且仅有三个互不相等的实数根， 由（i）可知，必有， 不妨假设，则有． 当时，； 当时，， 由，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期末教学质量检测 数学试题 （测试时间：120分钟 卷面总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点，，，得到y关于x的回归方程为，则m的值为（ ） A. 3.6 B. 3.2 C. 2.7 D. 2.5 4. 随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 某深空探测器向地球发送关键数据包，由于存在宇宙射线干扰，每次发送成功的概率均为，且各次发送结果相互独立．若探测器累计成功发送4次，且期间未出现连续两次发送失败，则完成任务并立即进入休眠状态（停止后续发送）．该探测器恰好在第6次发送后完成任务的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：，，，数列满足，则数列的前项的积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. 的最小值为 C. D. 10. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（ ） A. 的图象与轴有且仅有个交点 B. 存在实数，使得的图象与轴相切 C. 若，则方程有唯一实数解 D. 若有两个零点，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量X服从正态分布，若，则________． 13. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 14. 某太空项目采用星链卫星组网，第1颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第颗卫星与基准轨道的偏差值为，满足递推关系：，，已知初始偏差，则前69颗入轨卫星的总偏差为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 16. 为了解学生每日睡眠时间与课堂专注度的关系，某校随机抽取50名高中生进行调查，整理数据后获得如下不完整列联表： 项目 课堂专注度达标 课堂专注度未达标 合计 每日睡眠时间小时 5 每日睡眠时间小时 8 合计 22 50 （1）请完成列联表，并以频率估计概率，估计每日睡眠时间不足7小时的学生中，课堂专注度未达标的概率； （2）根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生每日睡眠时间与课堂专注度有关？ 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 附：，其中为样本容量． 17. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围． 18. 现有张卡片，其中张为黑色、张为白色，卡片除颜色外完全相同．从中不放回地随机抽取张放入一个空容器中，记容器中黑色卡片的张数为．每次从该容器中随机取出张卡片：若是黑色卡片，则将其换成一张白色卡片放回容器；若是白色卡片，则将其换成一张黑色卡片放回容器．经过次上述操作后，容器中黑色卡片的张数记为． （1）求； （2）若已知，记； （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）理论表明，当为偶数时，随着操作次数的增加，会逐渐趋近于．当与该趋近值的误差足够小时，即可认为概率变化已趋于稳定．规定：当为偶数，且时，立即停止操作，求此时已进行的操作次数．（参考数据：，，） 19. 已知函数，为的导函数，函数在点处的切线l与直线平行． （1）求切线l的方程； （2）设函数，． （ⅰ）讨论函数的单调性； （ⅱ）若方程有且仅有三个互不相等的实数根，，，求实数n的取值范围，并证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $