精品解析：江西上饶市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学 考试时长：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知全集为且，可得， 又，则. 2. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为A与B有关 B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为A与B有关 C. 有95%的把握认为A与B有关 D. 有95%的把握认为A与B无关 【答案】C 【解析】 【详解】本题中，对比表格分位数得，对应， 即犯错误的概率不超过，有的把握认为与有关. A选项：要满足“犯错误不超过”，需要，不满足，错误； B选项：要满足“犯错误不超过”，需要，不满足，错误； C选项：符合推导结论，正确； D选项：结论逻辑错误，错误. 3. 已知函数满足，在处的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由两边求导，得， 当时，，解得， 所以在处的导数为. 4. 是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是偶函数且周期为， 所以， 当时，，则， 所以. 5. 等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此 ， 由，得， 两式相减 ， 因此数列公差为. 6. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段探讨函数的性质并求出，再按分段，结合分离参数法，构造函数并利用导数确定单调性求出范围. 【详解】函数在上单调递增，且， 函数在上单调递增，且，则， 当时，不等式，令函数， 求导得，函数在上单调递减，， 即，因此； 当时，，则对恒成立， 当时，，因此，则， 所以的取值范围是. 7. 若数列中的最大项是第项，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】设数列的通项为 ，，求数列最大项可通过作商法比较相邻项的大小. 相邻项的比值为， 令 ，整理不等式得 ， 解二次不等式得正根约为，则. 当  时，​，数列递增；当 时，，数列递减， 从而，因此最大项为第项，即 . 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数在上的值域，利用二次函数性质求出函数在上的值域，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】对任意的，存在唯一的，使得， 则函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 函数的图象关于对称，当时，， 函数，，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，则， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A：对两边同乘负数，可得；对 两边同乘负数，可得 ； 因此正确的大小关系为，因此A为假命题； 选项B：原命题“”的否定应为“”， B错误改变了的范围，因此B是假命题； 选项C：对配方得， 因为，所以对任意恒成立，因此C是真命题； 选项D：必要性：若 成立，则一定满足 ，必要性成立； 充分性：若成立，无法推出一定满足，充分性不成立. 则“”是“”的必要不充分条件，因此D为真命题. 10. 等比数列的公比，，，记前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出判断A；利用等比数列前项和公式推理判断BD；利用片断和及等比数列通项公式推理判断C. 【详解】在等比数列中，由，得，而， 整理得，又，解得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， ， 因此，C正确； 对于D，由，得，D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 方程有两个解 D. 在区间上的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】已知​，构造​，对于ABD，根据函数的单调性分析判断即可，对于C，将问题转化为函数的零点问题，利用导数分析判断即可. 【详解】已知​，构造​，求导得 ， 由 得 ，且. 设，则， 故是上的单调递增函数，且. 时，， 单调递减； 时，，单调递增. 选项A：，令，则， 所以在上递增，所以，所以，故， 故 ，A错误； 选项B：在单调递减，， 故 ​，B正确； 选项C：方程等价于. 设，， 且 时 ，时 ，故 先增后减. 时 ，时 ， 最大值，故 有两个零点，方程有两个解，C正确； 选项D：在 上，单调递增，故 ，又 ， 故 ，最小值在处取到，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程为_____． 【答案】 【解析】 【详解】将代入曲线方程，得，因此切点为， 求导，将代入导数得切线斜率 ， 所以切线方程，整理得. 13. 已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将条件化为，设得，结合基本不等式有，即可求范围，进而确定目标式的最大值. 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 14. 在平面直角坐标系中，有一系列点，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与轴相切，且与外切，，若，则的通项公式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合两圆外切的条件列式，利用等差数列求出通项即可. 【详解】由点在函数的图象上，得， 由以点为圆心的均与轴相切，得的半径为， 由与外切，得， 则，整理得， 而，因此，即， 数列是以为首项，2为公差的等差数列，则，， 所以的通项公式为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和． 【答案】（1）证明：由得，又因为， 所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列； 所以，解得． （2） 【解析】 【分析】（1）由递推式构造新数列，计算相邻项比值为常数2，故为等比数列，可得通项； （2）为等差数列与等比数列的乘积，用错位相减法求和，写出与相减化简. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ， 又， 则， 两式相减得， 化简得． 16. 设． （1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围； （2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）存在增区间等价于导函数在区间内有正值部分，利用导函数单调性可转化为端点处导数值大于零； （2）闭区间上最值在极值点或端点取得，先判断导函数符号得单调性，比较端点值确定最小值点，代回求最大值. 【小问1详解】 已知，， 对称轴为，因此在上单调递减. 在上存在单调递增区间， 即导函数在上存在函数值大于零的部分， 要使在有解，只需， . 因此的取值范围为. 【小问2详解】 已知，在上的最小值为， 已知，记，则， 在上小于等于0，即在上单调递减， 且，， 则有且只有一个，使得， 此时函数在上单调递增，在单调递减， 又，，且， ， 此时，由或（舍去）， ，因此在该区间上的最大值为． 17. 上饶葛仙村度假区是依托葛仙山文化打造的国风特色文旅景区，融合了道教文化、民俗体验与山水风光，是上饶文旅的重要名片之一．为精准掌握客流变化趋势，景区统计了连续5个自然月的日均游客接待量，其中表示月份编号（1代表第1个月），表示该月份日平均游客人数（单位：万人），统计数据如下表所示： 月份编号 1 2 3 4 5 日平均游客人数 0.8 1.4 1.9 2.5 3.4 （1）计算样本相关系数，并推断它们的相关程度（相关系数大于0.75可判断相关程度强）； （2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均游客人数． 附：①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③，，，． 【答案】（1）；与的线性相关程度强 （2）；万人 【解析】 【分析】（1）根据给定公式计算样本相关系数 ，将其与临界值 比较，判断线性相关程度强弱； （2）由最小二乘估计公式计算回归系数  与 ，得到回归直线方程，将代入进行预测. 【小问1详解】 因为，， ，，， ， 因为相关系数大于0.75可判断相关程度强，所以与的线性相关程度强． 【小问2详解】 设，则， ， 所以，故时，， 即第6个月的日平均游客人数约为万人． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）设，函数， ①若存在实数，使得方程有两个不同的实数根，求的取值范围； ②若①中的方程有两个不同的实数根，，证明：． 【答案】（1）极大值为，无极小值. （2）① ②由①可知，不妨设，由有两个不同的实数根，得 因此有， 整理得． ， 令，，因为， 所以在上单调递减，所以． 则． 【解析】 【分析】（1）代值后求导，列表判断单调性，确定极大值点及极大值，无极小值； （2）① 化简并求导，因式分解后讨论参数符号，当单调递增不合题意，时先增后减满足存在两零点； ② 设两零点满足等式，利用根的关系消参，将目标式转化为比值形式，换元构造函数，用导数证明其小于零. 【小问1详解】 由题意知，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 故的极大值为，无极小值． 【小问2详解】 ①， 则， 若，则，单调递增，方程不存在两个不同的实数根，不符合题意． 若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减； 此时存在实数，使得方程有两个不同的实数根． 所以的取值范围为． ②略. 19. 有一款正方形四格闯关小游戏，四个关卡点位恰好构成正方形，玩家从起点点位开始闯关，只能在四个顶点点位之间沿边线随机移动．有的概率沿水平方向左右移动到相邻点位，有的概率沿竖直方向上下移动到相邻点位，每一步移动相互独立．设玩家移动步之后，恰好停在起点的概率为． （1）求，； （2）求的通项公式； （3）记该玩家前次移动中，到达过点的次数为，求． 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）每两步看成一个单元，计算回到起点的概率，分两步和四步分别求值； （2）以两步为单位建立状态转移递推，利用全概率公式得通项； （3）先求奇数步后位于点B的概率，再用指示变量求和得期望. 【小问1详解】 设事件表示第次沿水平方向移动，事件表示第次沿竖直方向移动， ， . 【小问2详解】 设连续移动两步，动点位置变化的概率为，动点位置不变的概率为， 则，； 根据全概率公式，，， 则，， 因为，所以， 所以. 【小问3详解】 设移动步之后，动点停留在点的概率为，则根据全概率公式， ，， 又因为，所以，， 设随机变量满足：①当移动步之后，该玩家停留在点，则； ②当移动步之后，该玩家不停留在点，则； 服从两点分布，且， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考试时长：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为A与B有关 B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为A与B有关 C. 有95%的把握认为A与B有关 D. 有95%的把握认为A与B无关 3. 已知函数满足，在处的导数为（ ） A. B. C. D. 4. 是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若数列中的最大项是第项，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. D. “”是“”的必要不充分条件 10. 等比数列的公比，，，记前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 方程有两个解 D. 在区间上的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程为_____． 13. 已知实数，满足，则的最大值为_____． 14. 在平面直角坐标系中，有一系列点，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与轴相切，且与外切，，若，则的通项公式为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和． 16. 设． （1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围； （2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值． 17. 上饶葛仙村度假区是依托葛仙山文化打造的国风特色文旅景区，融合了道教文化、民俗体验与山水风光，是上饶文旅的重要名片之一．为精准掌握客流变化趋势，景区统计了连续5个自然月的日均游客接待量，其中表示月份编号（1代表第1个月），表示该月份日平均游客人数（单位：万人），统计数据如下表所示： 月份编号 1 2 3 4 5 日平均游客人数 0.8 1.4 1.9 2.5 3.4 （1）计算样本相关系数，并推断它们的相关程度（相关系数大于0.75可判断相关程度强）； （2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均游客人数． 附：①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③，，，． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）设，函数， ①若存在实数，使得方程有两个不同的实数根，求的取值范围； ②若①中的方程有两个不同的实数根，，证明：． 19. 有一款正方形四格闯关小游戏，四个关卡点位恰好构成正方形，玩家从起点点位开始闯关，只能在四个顶点点位之间沿边线随机移动．有的概率沿水平方向左右移动到相邻点位，有的概率沿竖直方向上下移动到相邻点位，每一步移动相互独立．设玩家移动步之后，恰好停在起点的概率为． （1）求，； （2）求的通项公式； （3）记该玩家前次移动中，到达过点的次数为，求． 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $