湖南长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一下学期期未考试 数 学 命题人：贺祝华彭如倩 黄贻刚肖文轩 凌贤 孙丹张晓庆 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.在复数范围内方程9x2+16=0的解为 A号 B c士 D.± 中 2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，设AA1=a,AB=b,AC=c,M是BC, 报 的中点，则AM可表示为 如 2 长 部 A.AM=1 a十 6+2c B.AM-a+b+3 D.AM-ja+bFe 数 3.设1，m,n均为直线，其中m,n在平面a内，则“La”是“Lm且l⊥n”的 期 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a:b:c=4:5:7, 则△ABC的形状是 条 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 5.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B 所成的角是 D 母 B A.120° B.90° C.60° D.30° 高一数学试题(T 、 第1页（共8页） 6.柜子里有3双不同的鞋，分别用a1,a2,b,b2,c1,c2表示6只鞋，从中随 机地取出2只.设事件A=“取出的鞋不成双”，B=“取出的鞋中包含 a”,C=“取出的鞋都是一只脚的”，D=“取出的鞋是一只左脚的一只右 脚的，但不是一双鞋”，对上述事件的关系，下列说法正确的是 A.ACC B.A与B独立 C.C与D对立 D.A与D互斥 7.如图，设AB=xAD,A心=yA立，线段DE与BC交于点F,且B- 8C,则4x十y B B.3 c D.5 A.4 8.在三棱锥A-BCD中，底面△BCD是直角三角形且BC=CD=4,AB⊥ 平面BCD,当该三棱锥的外接球表面积为48π时，则它的内切球的半 径为 A号 B.2√2-2 C.5 D./3-1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项"， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选齣 得0分.) 9.下列说法正确的是 A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，若抽取的A个 体数为9，则样本容量为30 B.数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同 C.若甲组5个数据的方差为5，乙组数据为5,6,7,8,9，则这两组数 较稳定的是甲 D.某组样本数据为6,11,8,13,16,10,16,4,18,14，则样本数据30% 位数为9 高一数学试题(T)第2页（共8页） 0.如图，一个结晶体的形状为平行六面体 D ABCD-A1B1CD,其中，以顶点A为端点的 三条棱长都为.1，且∠A1AB=∠A1AD= ∠BAD=60°，下列说法中正确的是 A.AA1∥平面BB1D1D B.A1CL平面BB1D1D C.AC1的长为26 DAA与平面ABCD所成角的正弦值为写 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CDa C B 中，E,F分别是棱A1B,BB的中点，点P是正 方体表面上的一个动点，则下列说法正确的是 A存在点P使得AP⊥EF B三棱锥P-AB1D,体积的最大值为号 C.当点P在侧面B1BCC1且满足PE=√2时，二面角A-CD-P的正 切的最大值为√2 D.当直线AP与平面ABCD所成的角为T时，点P的轨迹长度为 π+4√2 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.某圆锥母线长为2，其侧面积为2√3π，则该圆锥的体积为 l3.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面a的法向量，若cos(m,n) =一，则1与a所成的角为 14已知锐角△ABC的面积为15,0sA=,BC-4d,E,F分别在 AB,AC上，且满足|AD-xAB≥DI,|AD-yAC≥D对任意 x,y∈R恒成立，则DE.DF= 高一数学试题(T)第3页（共8页） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 15.(本小题满分13分) 2026年5月25日至5月31日是第四届全国城市生活垃圾分类宣传 周，为提高同学们的垃圾分类意识.某中学举行了一次“垃圾分类知识 竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的 竞赛成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统 计，将成绩进行整理后，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， 「90,100]分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. 频率 个组距 0.035 0.025 0.020 05060708090100竞赛成绩分 (1)求图中a的值，并估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与 众数； (2)若落在[50,60)学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在[60,70)》 学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数 和方差.（结果精确到0.1） 高一数学试题(T)第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b十c)(sinB- sin C)=(a-c)sin A. (1)求B: (2若△ABC的面积为3，且AD=2DC求BD的最小值. 高一数学试题(T)第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 新高考数学设有3个多选题，每小题6分，评分标准如下：若某试题有 两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若某 试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，选对三个得 6分，有错选得0分： ()根据以往经验，甲同学第一个多选题得满分的概率为，第二个多 选题得满分的概率为子，第三个多选题得满分的概率为，三个多 选题做对与否互不影响.求甲同学三个多选题中恰有两题得满分的 概率 (2)乙同学正在做一道多选题（多选题每题至少选一项目不能全选，假 设乙同学随机选择一种选项组合，每种组合等可能)， (ⅰ)在完全盲猜的情况下，求乙同学得6分的概率（要求写出样本 空间). (ⅱ)若该多选题有三个正确选项，乙同学已经判定A正确（即正确 答案中有A选项，且乙同学一定会选A),在其余选项随机选 择（每种选项组合等可能，且满足整个多选题至少选一项且不 能全选)的情况下，求乙同学该题得分大于等于4分的概率， 高一数学试题(T)第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD,底面ABCD为平行 四边形，且AC=PB=2AB=4,设平面PAB∩平面PCD=L, 且I⊥BC. (1)证明：AB⊥BC; (2)若PQ=BA, (1)求直线DQ与平面QBC所成角的正弦值； (i)点M是四边形ABPQ(不含边界)内的动点，且CM=4,求平 面ACM与平面BCM所成角的余弦值的取值范围. D 高一数学试题(T)第7页（共8页） 19.(本小题满分17分) 已知函数y=f(x)的定义域为R.对于实数a>0,定义集合M,= (zlf(x+a)=f(z)). (1若f()=c0s2x,判断晋，牙是否是Ms中的元素，说明理由. (2)若f(x)=[x],[x]表示不大于x的最大整数， (i)若M。=,求a的取值范围； (i)若0<a1<a2<1,证明：M,手M (3)设y=f(x)是偶函数，当x∈(0,1]时，f(x)=1一x,且对任意a∈ (0,1),均有M二M2.求对任意实数c,函数y=f(x)一c在[一3,3] 上零点个数的最大值，并说明理由. 高一数学试题(T)第8页（共8页） 高一下学期期来考试 数学参考答案 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 A A C C B D B BD ABD ABD 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.D【解折】原方程可化为2=-吕放=士号故选D 、【解析】M是BC,的中点，则Ai=A范+BMi=A+BC=A+2(AC-A)=AB+号(AA+AC 、 a+号b+c,故选A 3.A【解析】若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，故充分性成立；若直线垂直于平面内两条 相交直线，则该直线垂直于平面，本题未说明m,n相交，故不能得到线面垂直.故必要性不成立.故选A. 4【解析】因为a:b:c=4:5:7,三边各不相等，不妨设a=4t,b=5t,c=7t,t>0,则C为最大角，由余弦定 理可得c0sC-+。C-16表9r=-号<0，即C为绕角，所以△ABC是能角三角孩故造C 2ab 2×4t×5t 5.C【解析】连接CD1,AD1, D C 因为BC=AD1且BC∥A1D, 所以四边形BCDA1为平行四边形， ⊙ 则可得A1B∥DC,所以直线AC与A1B所成的角为∠ACD1或其补角， 在正方体中可知AD1=D1C=AC,所以∠ACD=60°.故选C. D 6.B【解析】从6只鞋中任取2只，共有15种等可能的结果，样本空间为n={a1a2, a1b1,a1b2,aC1,a1c2,a261,a262,a2C1,a2c2,6162,61C1,61C2,62C1,62C2,C1C2), A=(a1b1,a1b2,aic1,aic2,a2b1,a2b2,azc1,a2c2,61C1,61C2,62C1,62C2), B={aa2,a1b1,a1b2,a1c1,a1c2},C={a1b1,a1c1,a2b2,a2c2,b1c1,b2c2, D={a1b2,a1c2,a2b1,a2c1,b1c2,b2c1},故A=CUD,故A,C,D错误； 而AnB=(a6,abg,a1G1,ac,所以P(AB)=号， 又Pa-器-青PB)-是- 因此有P(AB)=P(A)P(B),故A与B独立，B正确.故选B. 7.D【解析】因为B市=A市-A店，BC-AC-A,B萨=BC, 故A-A寇-AC-}A店，所以A应=号AC+A忘， 因为A成=xA市，AC=yA应，所以A市=yA+号xA市， 因为D,E,F三点共线，所以号十号x=1,故4x十=5.故选D 8.B【解析】设三棱锥A-BCD的外接球半径为R,则其外接球的表面积S=4πR2=48π， 解得R=2√5， 因为AB⊥平面BCD,BC=CD=4,且△BCD是直角三角形， 所以BD=√BC+CD=√42+4平=4√2， 又因为三棱锥A-BCD的外接球的直径就是以AB,BC,CD为棱的长方体的体对角线， 设AB=h,则根据长方体体对角线公式可得(2R)2=h2+42十4， 把R=2√5代入，即(2X2√3)2=h2+42+4,解得h=4, 高一数学试题(T)参考答案一1 图为Sam=号XBCXCD=号X4X4=8,AB=4, 所以三棱锥A-BCD的体积V=号5Am·AB=号X8X4一号， 又Sac=2 XBCXAB--号X4X4=8,Saam=2 XBDXAB=-合X4W2X4-8E, SAam=号xCDXVAB+BC=2×4XV+4=8E,Sam=8, 所以SAB0w=8+8V2+8√2+8=16+16√2， 设三棱锥A-BCD的内切球半径为r, 帮#等体积法V=号r5kam,即号-号16+16②)n, 则r= 32 =2 2(W2-1) =2√2一2.故选B. 16+16V21+√2(W2+1)(W2-1) 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 3 9.BD【解析】对于选项A:根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为9÷1十2十3=18，故选项A不正 确；对于选项B:数据1,23,34,5的平均数为后×(1+2十3十3十4十5)=3，众数和中位数都是3，故选项B 正确；对于选项C.乙组数据的平均数为号×(5+6+7十8+9)=7，乙组数据的方差为号×[(5-7)2+ (6一7)2+(7一7)2+(8一7)2+(9一7)2]=2<5，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C不正确；对于选 项D:样本数据从小到大排序为4,6,8,10,11,13,14,16,16,18,10X30%=3,则30%分位数为8+10=9，故选 2 项D正确.故选BD. 10.ABD【解析】A选项：由平行六面体的定义，AA1∥BB1,AA1中平面BB1DD,BB1C平面BBDD,由线面 平行的判定定理，得AA1∥平面BB1D1D,所以A正确； B选项：AC.BD=(Ai+AD-AA)·(AD-A) =AB·AD-|AB+|AD2-AD.AB-AA1·AD+AA·AB =含-1+1-合+分=0， AC.BB=(AB+AD-AA).AA =AB.AA1+AD·AA-|AA12 =+2-1-0, 故A1C⊥BD,A1C⊥BB,即A1C⊥BD,A1C⊥BB1,又BD∩BB1=B,且BD,BB1C平面BBD,D, 由线面垂直的判定定理，得A,C⊥平面BBDD,所以B正确； C选项：AC2=(AA,+AB+AD)2=AA:2+AB+AD+2AA1·AB+2AB.AD+2AA·AD =1+1+1+3×2X号-6，则1AC=6,所以C不正确； D选项：法一（向量法）：过A作A1E⊥平面ABCD,垂足为E,连接EB,ED. 由∠A1AB=∠A1AD=60°，且AB=AD=AA1=1,得△ABD为等边三角形，则A1B=AD. 因为A1E⊥平面ABCD,所以A1E⊥EB,A1E⊥ED,由三角形全等可得EB=ED, 故E在∠BAD的平分线AC上，因此AA1与平面ABCD所成角为∠A1AC 由AC-A8+A市，得1AC-|A+1A+2A店.A市=1+1+2X1X1X号=3，即AC-3. AA·At=AA:·A+AA,Aò=1X1×号+1×1×号=1， 高一数学试题(T)参考答案一2 wAac-恶：蓝言停nAAc-mAC--厚 故直线AA与平面ABCD所成角的正弦值为写， A B 法二（几何法)： 连接A1B,A1D,BD,由AB=AD=AA1=1, D ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，可得A,B=A1D=BD=1, 即四面体A1-ABD为棱长为1的正四面体. 设底面正△MBD的中心为E,则AE-号×号-停， AEL平两ABCD,在R△AAE中，AB=VAA-AE--(图-号 设Ai与甲质ABCD所或角为0，湖血G二-，放D三流 11.ABD【解析】当，点P位于B1处时，显然满足，故A正确； 对于B,显然△ABD为正三角形，S,A-9AB明=2， 要使三棱锥P-AB1D1的体积最大，当且仅当，点P到平面AB1D1的距离最大， 又，点C是正方体表面上到平面ABD1距离最大的点， 此时三棱锥C-AB1D1是棱长为2W2的正四面体， 又成C到年西AB,0的距离A=√2②)-（号×号×22=， 3, 则（V,)m=VeA-号SA·h=号X2万X4智=号放B正， 对于C,PE=√2且P在侧面矩形B1BCC内，则P的轨迹是以B1为圆心、1为半径的一段圆孤， 因为CD⊥BC,CD⊥CC,BC∩CC1=C,BC,CCC平面BBCC1, 所以CD⊥平面B,BCC,故CD⊥CP, 又因为平面ACD∩平面PCD=CD,BCC平面ACD,CPC平面PCD, 根据二面角平面角定义，∠BCP即为二面角A-CD-P的平面角， 在矩形BBCC1内，过P作PQ⊥BC交BC于，点Q, R△CQP中，an∠BCP=器∠BCP越大，二面角越大，即ta∠BCP越大， 当P取国弧与BG的交点，即PQ与国孤湘切时，∠BCP最大，所以a∠BCP=器-是=2， 即二面角A-CD-P的正切的最大值为2，故C错误； 对于D,由平面A1BCDi∥平面ABCD,得直线AP与平面A1BCD所成的角为至， 连接AD,AB,由BB,⊥平面ABCD,DD⊥平面ABCD,且∠BAB=∠D1AD=T, 则点P为线段AB1或AD上任意点（除点A外）， 在正方形A1B1C1D1内以A,为圆心，2为半径作圆弧BD1, 当点P为圆孤B1D上任意点时，连接A1P, 由AA1⊥平面A1B1CD,得∠A1PA是AP与平面A1B1CD1所成角， 而AP=AA=2,则∠A1PA=平，因此P点轨迹是线段AB1,AD及圆孤BD1 (除A,点外)， 所以P点轨迹长度为受×2+2W2+22=元十4W2,故D正确。 故选ABD. 高一数学试题(T)参考答案一3 d 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.π【解析】设圆锥底面圆半径为r,高为h,母线l=2,则圆锥的侧面积为πrl=2W3π， 所以r=5,h=1,故该圆维的体积为了2h=元 13.30°【解析】设线面角为8，则sn0=1c0s(m,m1=2,所以0=30 14一号【解】因为cosA=得，则血A-25 5, 则有△ABC的面积S=合esin A=15,解得bc=155, 由图知AD-xAB表示直线AB上一，点到，点D的向量， 而|AD-xAB|则表示直线AB上一，点到，点D的距离， 由|AD-xAB|≥|DE|对任意x恒成立可知， DE的长是点D到直线AB上的点的最短距离， 故易得，此时DELAB,同理可得DF⊥AC. 如图所示，因为BC=4BD, 所以Saem=2cXDE=Sc=平，则cXDB- 1 2 所以Sam=XDF=S%=界，则6XDF=号，所以DEXDF--945, 4 又coS∠EDF=cOs(π-A)=-coSA=-5, 5 所以D克，D萨=D·Do∠BDF-5×(-5）=一是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)由频率分布直方图可知，10(a十0.020十0.025+0.035十a)=1,解得a=0.01, …2分 各组的频率分别为0.10,0.20,0.25,0.35,0.10，落在[80,90)的人数最多， 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的众数为80十90=85. …4分 2 由0.1十0.2十0.25=0.55>0.5可得中位数位于[70,80)中，设中位数为x, 则0.1十0.2十00X0.25=0.5今x=78,即中位数为78.…- 7分 (2)由频率分布直方图知， 成绩在[50,60)的学生人数为100×10×0.01=10， 成绩在[60,70)的学生人数为100×10×0.02=20， 所以这两组学生成绩的平均数为元=10X54,4士0X6.4=62.4,…10分 10+20 所以这两组季生成境的总方差为=0”0【5.2+(544一6配.4门十000[.2+(6,4一62.4)门= 约98≈399.… …13分 16.【解析(1)由(b+c)(sinB-sinC)=(a-c)sinA, 根据正弦定理得(b十c)(亿一c)=(a一c)a,整理得a2十c2一b=ac,…3分 由余孩定理得cosB=2十c2-b=ac=1」 2acC-胎c=立，结令B∈(0，x,可知B=号 …6分 高一数学试题(T)参考答案一4 (②)根据题意，△ABC的面积S- 2acsin B=3/3 4 中9ac=39,可得ac=3, …8分 所以B,BC-B=2ac=. 因为Ad=2D心，所以B防=B心+C-B心+号(Bi-Bò=号Bi+号B心， …11分 两边平方得B助=（传+号刘=号+号A,B心+号B心=+告a+号， 因为分2+号+号≥2c·a+号-2，当且仅当a-, ),c=6时取等号。…14分 所以BD的最小值为2，可知BD的最小值为2.… …15分 17.【解析】(1)设事件A为“甲同学三个多选题恰有两题得满分”，事件A:(i=1,2,3)为“第i个多选题得满分”， 则A=A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3,且A1A2A3,A1A2A3,A1A2A3互斥. …2分 又因为A1,A,A湘互独立，所以P(A)=P(A1A4 UA AA,UA,A.A)=×号×号+是×号×号+ ×号×号-最 …5分 (2)(1)设事件B为“乙同学得6分”， 样本空间={A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD}.…7分 样本空间2共有14个样本点，事件B包含AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD其中的1个. …8分 因此P(B)=nB2=1 n(2)14 …10分 (ⅱ)设事件C为“乙同学该题得分大于等于4分”. 样本空间21={A,AB,AC,AD,ABC,ABD,ACD}.…11分 样本空间21共有7个样本，点，事件C包含AB,AC,AD其中的2个和ABC,ABD,ACD其中的1个. 13分 因此P0)=品=牛=号 …15分 18.【解析】(1)证明：因为ABCD为平行四边形，所以AB∥CD, …1分 又AB庄平面PCD,CDC平面PCD,所以AB∥平面PCD, …2分 因为平面PAB∩平面PCD=L,所以AB∥L,… …3分 因为I⊥BC,AB⊥BC. …4分 (2)(I)(法一：向量法)因为PB⊥平面ABCD,且AB⊥BC,所以BA,BC,BP两 两互相垂直， 以B为原点，BA、B武B驴分别为x,y,x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系， 则B(0,0,0),C(0,23,0),D(2,2√5,0)，P(0,0,4),Q(2,0,4), 所以DQ=(0,-23,4),BQ=(2,0,4),CQ=(2,-2W3,4),…6分年 设平面QBC的法向量为m=(x0,,a), m·BQ=0,2x十42=0， 由 可得 取x0=2,则y0=0,=一1， m…C克=0,2x。-23十4=0， 高一数学试题(T)参考答案一5 7 所以m=(2,0,一1)，… …8分 设直线DQ与平面QBC所成角为O, sin 0=Icos(DQ,m)=0X2-2/3X0-4X(-1) 4 235 ;…10分 √(-23)2+42X√22+(-1)z 2W7X5 35 (法二：几何法)补体成长方体BADC-PQFE, 过点D作DO垂直FC于点O,连接OQ,BQ, 则DO⊥平面BCFQ, 所以∠DQO为直线DQ与平面BCFQ所成角，… 7分 在R△CDF中，DOLFC,所以DO=A ……9分 5 在Rt△ODQ中，DQ=27,D0=4 所以nD0-器-者27-5X2厅 4 2√35 35 10分 (i)因为BC⊥平面ABPQ,BMC平面ABPQ,所以BC⊥BM, 因为CM=4,所以BM=√4-(23)7=2， 又M是四边形ABPQ(不含边界)内的动点，则，点M在以B为圆心，2为半径的圆上，…11分 令0=∠ABM,0E(0登），则M(2cos0,0,2sinD, 又B(0,0,0),C(0,23,0),A(2,0,0),AC=(-2,25,0),BC=(0,23,0), Ai=(2cos0-2,0,2sin0),BM=(2cos0,0,2sin0), 设平面ACM的法向量为n1=(x1,h,1), m1·AC=0,-2a1+23y=0, mAM-0(2c0s0-2)+2sin 0-0, 则取1=（√3sin0,sin0,W3(1-c0s0),…l3分 设平面BCM的法向量为n2=(x2,y2,22), 2·BC=0,,232=0, n2.BM=0 2cos 0z2+2sin 02=0, 则取2=(-sin0,0,cos0), …… 14分 故os角川=质网 3cos 0-3 W3(cos0-1) √31-cos0 √J-cos20-6cos0+7√(1-cos0)(cos0+7)√(cos0+7) 令x=cs8e0,1D,则10s0mm:1=BX√2写-月X√1+年7， 因为画数y是7在0,1D上举调递减，则y异75(1，号》， 则1asmm1=×√1+，∈(o,), 16分 设平面ACM与平面BCM所成角为a,则cose=|cos(m,m∈(0，四)， 所以平面ACM与平面BCM所成角的余孩值的取值范国为(0，四 …17分 高一数学试题(T)参考答策一6 19.【解折11M={lf(+受）=fo=(zlos(2x十=eos2a=(红lcos2z=0=女le=晋+经，∈Z列， …2分 所以晋安M坚，军∈M好，…4分 (2)(i)一方面，对任意a≥1，f(x十a)=[x十a]≥[x]+[a]>[x]=f(x),所以M=必；…5分 另一方面，当0<a<1时，取0<xo<1-a<1,则0<x0十a<1, 所以f(xo十a)=f(0)=0,故x0∈M,所以Mn≠心.…6分 综上，>l…7分 (i)若0<a1<a2<1,对任意x∈M,都有f(x十a2)=f(x),即[x十a2]=[x],所以[x]≤[x十a1]≤ [x十a2]=[x],故[x]=[x十a1],所以f(x十a1)=f(x),所以x∈M；…9分 另-方面，0<a4<a4<1,所以0<1-a4<1-a1<1,取1=2-a)-,则0<1-a2<1<1-a1<1, 2 则x1十a1<1,x+a2>1,[x十a1]=0=[xi],所以x1∈M1,但[x1十a2]=1≠[c1],所以x庄M2 综上，M2吴M,，……10分 (3)函数y=f(x)一c在[一3,3]上至多有11个零点，理由如下： 因为对任意a∈(0,1)，均有M二M2, 即对任意a∈(0,1)，只要f(x十a)=f(x),就有f(x十2)=f(x),…11分 当x∈(0,1]时，f(x)=1一x,由f(x)为偶函数可知，当x∈E-1,0),f(x)=f(一x)=1十x,作出f(x)在x∈ [-1,0)U(0,1]的大致图象如下： Vx(-合，0，f[x+(-2x]=f(-)=f(x),并且-2x∈(0,1)，所以f(x+2)=f(x),故当x∈ (侵，2)时，fx)=x一1，由f(x)为偶函数可知，当x∈(-2，-是)时，f(x）=一x-1,作出部分图象如图 所示： …12分 下证当x[-是，-1)时y=fx)-c至多-个零点 否则设-号<<<-1，且f)=f)=c 若c∈[0，号]，则f)=f)=fa+a-a),因为-1∈(0,1)，所以f0)=f红十2)=c,且十 高一数学试题(T)参考答案一7 2∈[2,1，故f+2)=1-(m+2)=-a-1=c,① 当x∈[-1，-]，因为c∈[0，]，所以3∈[-1，-]，使得f)=c, 故f(x2)=f(x3)=f(x2十x9-x2),因为x3一x2∈(0,1)，所以∫(x2)=f(x2+2)=c, 且+2∈[2,1)，故fx+2)=1-(+2)=--1=c,② 根据①，②，x1=x2,矛盾. 若c4[0,2]由①知，6=--1(0,2]，矛盾， 故对任意c∈R,当xE[-号，-1)时y=fx)-c至多一个零点. 由fx)为偶函数，当x(1,2]时y=f）-c至多-个零点。…14分 下证当x∈[一3，一2]时，c∈R,y=f(x)一c不存在三个及以上零点. 否则若-3≤x1<x2<x3≤-2，且f(1)=f(x2)=f(x3)=c, 有f(x)=f(1十x2一x),因为x2一x∈(0,1)，所以f(x1)=f(1+2)=c, f(x2)=f(x2十x3-x2),因为x3一x2∈(0,1)，所以f(x2)=f(x2+2)=c, 所以f(x十2)=f(x2十2)=c,而-1≤1+2<x2十2<0，由f(x)在[-1,0)上单调，矛盾，所以当x∈ [一3，一2]时，c∈R,y=f(x)一c不存在三个及以上零，点， 由f(x)为偶函数，当x∈[2,3]时，c∈R,y=f(x)一c不存在三个及以上零点. …15分 下面作出y=f(x)的部分图象， 23 由图象及上述证明可知，当号<c<1时，y=f)-c至多有11个零点，当e取其他值时，y=f()-c均少于 11个零，点.下面说明：y=f(x)-c可以取到11个零点. 若2<c<1,在[-1,0)上，1+0=c,=6-1;故在(0,1上=1-c 在(-2，一)上，--1=6，西=-。一1：故在（停，2上=c+1 取f(0)=c=f(x5),则f(0)=f(0十)，因为∈(0,1)，于是f(2)=f(0)=f(x6)=c,从而f(-2)= f(x7)=c; 取f(-3)=f(xg)=c,则f(3)=f(xg)=c; 取f(-号)=fa)=c,则f(受)=fa)=c 经检验，这些点均满足对任意a∈(0，l),均有M二M,如图所示： 32 0123元 综上，函数y=f(x)-c在[-3,3]上至多有11个零点. 17分 高一数学试题(T)参考答案一8