5.3 二元一次方程组的应用（六大题型2）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 按应用场景分类，通过典例提炼建模方法，覆盖二元一次方程组应用核心题型，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售利润问题|3题|找等量关系（总价、数量）|从实际销售情境抽象数量关系，建立方程组| |和差倍分问题|3题|用代数式表示数量关系|通过和差倍分描述转化为方程模型| |几何问题|3题|利用图形边长关系列方程|结合几何直观，将图形信息转化为等量关系| |图表信息题|3题|从图表中提取等量关系|通过表格、天平图等载体获取数据建立方程| |古代问题|3题|翻译古文为数学语言|将古代实际问题转化为现代方程模型| |其他问题|3题|抽象实际问题中的数量关系|涵盖加密、叠放等特殊情境的建模应用|

5.3 二元一次方程组的应用 题型一 销售、利润问题 1．某班学生去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么购买甲种票、乙种票的张数分别是（   ） A．17和18 B．20和15 C．18和17 D．15和20 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确审题，根据题目条件，找出合适的等量关系是解题的关键． 设甲、乙两种票各买张，张，根据“35名学生购票恰好用去了750元”，作为等量关系列方程组即可求解． 【详解】解：设甲种票买张，乙种票买张， 由题意，得：， 解得：． 所以设甲种票买20张，乙种票买15张． 故选：B ． 2．清北文具店有铅笔和圆珠笔，小明如果购买2支铅笔和3支圆珠笔他带的钱差3元，如果购买3支铅笔和2支圆珠笔他带的钱会剩下3元，若他只购买5支铅笔，则他会剩下___________元． 【答案】15 【分析】设出铅笔单价、圆珠笔单价和小明携带的总钱数，根据题意列出方程组，通过消元变形即可得到所求剩余钱数． 【详解】解：设支铅笔的单价为元，支圆珠笔的单价为元，小明携带的总钱数为元，根据题意列方程组得 得 ， 整理得， 将代入得 ， 展开整理得 ， 移项得 ， 所以，还剩下15元． 3．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如下表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） (1)求的值； (2)店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润=售价-进价） 【答案】(1) (2)购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个 【分析】（1）根据“购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元”，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个． 解得 经检验，符合题意． 答：购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个． 题型二 和差倍分问题 4．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 5．一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是______岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据题意得，解方程即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小雅爷爷是岁，小雅是岁， 依题意得， 解得， ∴小雅的年龄是岁， 故答案为：． 6．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需155万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需220万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 【答案】 A型智能机器人的单价为50万元，B型智能机器人的单价为35万元 【分析】设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意得，解得； 答：A型智能机器人的单价为50万元，B型智能机器人的单价为35万元. 题型三 几何问题 7．如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（     ） A．52 B．55 C．58 D．62 【答案】A 【分析】设小长方形的长为，宽为，结合图形列二元一次方程组求解，进而得出大长方形的宽，即可得解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 则，解得：， 大长方形的宽为， 阴影部分面积为． 8．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是_____． 【答案】 【分析】设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意得， 解得， ∴布置文化展示区域的面积是． 9．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【答案】(1)； (2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【分析】（1）根据图1、图2列二元一次方程即可； （2）联立（1）中两二元一次方程求解即可； （3）设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，根据题干图列方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 题型四 图表信息题 10．如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为，由图可列出方程组，用加减消元法消去，求出与关系，即可得出结果． 【详解】解：设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为， 由图可得： 由得：， ∴， ∴，即一个苹果的重量是一根香蕉的重量的倍． 11．如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是______． 2 1 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：∵在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等， ∴， 解得：， 故表格中的值是， 故答案为：． 12．灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 【答案】(1)该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克 (2)九五折 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克，根据表格信息建立方程求解即可． （2）设剩余孟津梨打折，根据获利1044元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克． 根据题意，列方程为． 解得． （千克）． 答：该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克． （2）解： 设剩余孟津梨打折． 根据题意，列方程为 ． 解得． 答：剩余孟津梨打了九五折． 题型五 古代问题 13．《孙子算经》中“物不知数”问题的原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，恰好剩余2辆车；每2人共乘一车，则有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？若设共有人，辆车，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际问题中的等量关系列出二元一次方程组，设共有人，辆车，分别根据两种乘车情况梳理数量关系即可得到方程组． 【详解】解：设共有人，辆车， ∵每3人共乘一车，剩余2辆车空，实际使用车辆为，总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， ； ∵每2人共乘一车，有9人无车可乘，乘车总人数为，加上无车的9人等于全部人数， ； 因此可列方程组． 14．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦．设共有只乌鸦，棵树，则可列方程组为___________． 【答案】 【分析】根据“每棵树上有3只乌鸦，5只落在地上”，可得等量关系：乌鸦总数树的总数，即．根据“每棵树上有5只乌鸦，有一棵树上没有乌鸦”，可得等量关系：乌鸦总数树的总数，即，即可得解． 【详解】解：可列方程组为． 15．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每头牛值金两，每头羊值金两 (2)方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 【分析】（1）设每头牛值金两，每头羊值金两，根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两”，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买牛头，羊头，根据购买牛和羊恰好用金34两，列出方程，求方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组， 解得：， 答：每头牛值金两，每头羊值金两． （2）解：设购买牛头，羊头， 可得方程：， ， 是正整数 ∴，， 答：有2种方案：方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头． 题型六 其他问题 16．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则：明文a，b对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，那么密文，13对应的明文应是（     ） A．5，1 B．13， C．5，3 D．，11 【答案】C 【分析】根据给定的加密规则，由已知密文列出关于明文，的二元一次方程组，解方程组即可得到对应的明文． 【详解】解：设密文,对应的明文为,，根据加密规则可得 将第二个方程两边同乘，得 将所得方程与第一个方程相加，得 ，解得 把代入，得，解得 ∴明文为，， 故选C． 17．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出方程组即可求解，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯（除去增高部分）的高度为， 由题意得：， 解得：， ∴设个纸杯叠放在一起的高度为， 则， 解得：， 故答案为：． 18．用如图1所示的长方形和正方形两种类型的纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，如图2所示（上方无盖）．（加工时接缝材料不计） (1)若现有长方形纸板张，正方形纸板张．则竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好将所有纸板全部用完； (2)有一种大型母板，每张大型母板可裁出如图1所示的张长方形纸板或张正方形纸板（一张大型母板只能裁剪一种类型纸板），现有该种大型母板张，所有大型母板经裁剪后，再加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，所裁剪的长方形或正方形纸板正好全部用完，若此时所加工的竖式纸箱的个数是横式纸箱的个数的倍，求分别用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数． 【答案】(1)加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个 (2)用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张 【分析】（1）设加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用长方形纸板张，正方形纸板张，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得解； （2）设加工横式纸箱个，用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得解． 【详解】（1）解：设加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个， 根据题意得：， 解得； 答：加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个． （2）解：设加工横式纸箱个，用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张． 根据题意得：， 解得， ； 答：用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 二元一次方程组的应用 题型一 销售、利润问题 1．某班学生去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么购买甲种票、乙种票的张数分别是（   ） A．17和18 B．20和15 C．18和17 D．15和20 2．清北文具店有铅笔和圆珠笔，小明如果购买2支铅笔和3支圆珠笔他带的钱差3元，如果购买3支铅笔和2支圆珠笔他带的钱会剩下3元，若他只购买5支铅笔，则他会剩下___________元． 3．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如下表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） (1)求的值； (2)店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润=售价-进价） 题型二 和差倍分问题 4．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 5．一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是______岁． 6．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需155万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需220万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 题型三 几何问题 7．如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（     ） A．52 B．55 C．58 D．62 8．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是_____． 9．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 题型四 图表信息题 10．如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 11．如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是______． 2 1 12．灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 题型五 古代问题 13．《孙子算经》中“物不知数”问题的原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，恰好剩余2辆车；每2人共乘一车，则有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？若设共有人，辆车，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 14．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦．设共有只乌鸦，棵树，则可列方程组为___________． 15．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 题型六 其他问题 16．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则：明文a，b对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，那么密文，13对应的明文应是（     ） A．5，1 B．13， C．5，3 D．，11 17．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有_____个． 18．用如图1所示的长方形和正方形两种类型的纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，如图2所示（上方无盖）．（加工时接缝材料不计） (1)若现有长方形纸板张，正方形纸板张．则竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好将所有纸板全部用完； (2)有一种大型母板，每张大型母板可裁出如图1所示的张长方形纸板或张正方形纸板（一张大型母板只能裁剪一种类型纸板），现有该种大型母板张，所有大型母板经裁剪后，再加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，所裁剪的长方形或正方形纸板正好全部用完，若此时所加工的竖式纸箱的个数是横式纸箱的个数的倍，求分别用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $