精品解析：河北沧州市多校联考2025-2026学年高二下学期第四次阶段总结数学试题

高二年级下学期第四次阶段总结 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，函数（不含导数），不等式． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，记，，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 2. 若随机变量X服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】随机变量X服从两点分布，因此， 而，所以， 故，所以. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即，可得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 4. 某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为（ ） A. 720 B. 480 C. 360 D. 240 【答案】B 【解析】 【详解】先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有种站法， 将剩余的人任意排序，有种站法． 由分步乘法计数原理可得，不同站法数有种． 5. 在展开式中，含项的系数为（ ） A. -10 B. 0 C. -20 D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】由展开式的通项为，， 当与2配对时，，故的系数为， 当与配对时，，故的系数为， 所以原式展开式中系数为. 6. 若，，，则的最小值为（ ） A. 26 B. 25 C. 19 D. 13 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 7. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，知，讨论和，数形结合求参数值． 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 8. 已知且，则的展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式中含的项的系数可确定展开式含项的系数，根据组合数的运算可推导得到，结合组合数的运算性质可推导得到结果. 【详解】展开式中含的项是， 的展开式中含的项的系数为， ， . 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由为幂函数，有，可判断BC选项；由的值得函数解析式判断AD选项. 【详解】函数是幂函数，则有， 所以，解得或，B选项正确，C选项错误； 或，则有是奇函数，，AD选项正确. 故选：ABD. 10. 已知为一个随机变量，则（ ） A. 若，则， B. 若，且，则 C. 若服从两点分布，且，，则 D. 若随机变量的分布列为，则 【答案】AC 【解析】 【详解】A，若，则，， 所以，，正确； B，若，则，错误； C，若服从两点分布，且，，则， 所以，所以，正确； D，由分布列的性质得，解得，错误. 11. 已知函数，实数，满足，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、对数函数的图象与可得，，；结合不等式的性质与基本不等式即可判断. 【详解】 依题意，当时，；当时，； 当时，；当时，； 因为实数，且，所以；所以，故A正确； 由，得，即， 即，即，所以；同理； 所以，故D正确； 因为，当且仅当， 即，时等号成立，但此时不满足，所以等号不成立，故B错误； 因为，当且仅当， 即，时等号成立，故C正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若6件不同产品中有4件正品，2件次品，从中抽取2件，则至少有1件是正品的抽取方法种数为______． 【答案】14 【解析】 【详解】至少有1件是正品的抽取方法种数为． 13. 已知函数，则函数的值域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设易得，，进而求解即可. 【详解】由，得， 而， 则， 由，得，则，即， 所以，所以， 则函数的值域是. 故答案为：. 14. 2022年疫情期间，某市中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支授上海六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人，第一批派出一名医务人员的年龄为，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为，则满足的分配方案的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意年龄最大的医务人员必在第三批，先安排年龄最大的医务人员，安排剩下的两个医务人员，然后安排第二批和第一批，同样先安排年龄最大的医务人员,再安排剩下的两位医务人员，由分步乘法计数原理得到所有分配方式数，然后利用古典概型的概率求解. 【详解】解：由题意得年龄最大的医务人员必在第三批，安排年龄最大的医务人员有种方法， 第三批中剩下的两个方舱医院安排有种分配方式， 在留下的三位医务人员中，把这个年龄最大的医务人员安排在第二批，有种分配方式， 剩下的两位医务人员有种分配方式， 由分步乘法计数原理知：所有分配方式数为种： 又没有任何要求的分配方式为种， 所以满足的分配方案的概率为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． （1）求，； （2）证明：是偶函数； （3）若在上单调递减，求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）令，则， 即对任意的，，所以是偶函数． （3） 【解析】 【小问1详解】 令，则，又，所以． 令，则，即， 又，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由(2)知， 因为在上单调递减，，， 所以由，得，解得， 即不等式的解集为． 16. 素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”——万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”——马岭河峡谷闻名遐迩．某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了2026年1月至5月的数据统计如下： 月份 游客数量（单位：百万人） 旅游消费总额（单位：亿元） 1月 2.5 22 2月 3.5 33 3月 4 42 4月 4.5 47 5月 5.5 56 参考数据：，． （1）请根据上述数据，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； （2）从2026年5月游客中获取了容量为200的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客150名，参观马岭河峡谷的游客100名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客70名． （ⅰ）补充下面的列联表； 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 未参观 合计 （ⅱ）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联？ 附：，，， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） （2）（ⅰ） 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 70 30 100 未参观 80 20 100 合计 150 50 200 （ⅱ）游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联 【解析】 【分析】（1）根据给定数据及最小二乘法求回归直线方程； （2）（i）由已知表格数据完善列联表；（ii）由卡方公式求卡方值，结合独立性检验的基本思想得结论. 【小问1详解】 ，， ，则， 则关于的经验回归方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）将所给数据进行整理，得到如下列联表： 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 70 30 100 未参观 80 20 100 合计 150 50 200 （ⅱ）设零假设：游客参观万峰林与参观马岭河峡谷独立， 根据列联表中的数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联. 17. 已知二次函数满足，且的最小值为5. （1）求的解析式； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出解析式，根据条件得到方程组，求出解析式； （2）转化为，分，和三种情况，得到不等式，求出答案 【小问1详解】 设， 由，得， 即， 所以，解得， 所以，当时，取到最小值. 又的最小值为5，所以，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以不等式， 即. 当时，二次函数开口向下， 不等式不可能对恒成立； 当时，不等式，即，其对恒成立； 当时，不等式，即， 因为对，不等式恒成立， 所以，即， 化简可得，所以且，解得或， 又，所以或. 综上所述，或，即实数的取值范围是. 18. 2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. （1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； （2）已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 【答案】（1） （2）（i） 0 100 200 400 ，190；（ii）顾客选择抽奖方案1更合理 【解析】 【分析】（1）求条件概率即可求出答案； （2）（i）设顾客所获得的优惠金额为元，的取值有，，，，分别求得概率，即可求出分布列，利用期望公式即可求出期望； （ii）求出，比较与的大小，即可求解. 【小问1详解】 设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩3个红球和3个蓝球，共6个球， 若享受优惠，则后两次摸出2个红球或摸出1个红球1个蓝球， 从6个球中不放回地摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种，摸出1红1蓝的情况有种， 所以，即能够享受优惠的概率为. 【小问2详解】 （i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元， 的取值有，，，， 从装有4个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，. 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 100 200 400 所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为 . （ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元， 的取值有，，， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 250 500 所以， 所以， 所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理. 19. 已知函数的定义域为，且，令函数，其中，若关于点中心对称，则称函数为“对数型中心对称函数”，点称为函数的“对数型中心对称点”. （1）判断函数是否为“对数型中心对称函数”； （2）是否存在“对数型中心对称函数”，其图象上的所有点都是的“对数型中心对称点”？如果存在，求出所有满足题意的；如果不存在，请说明理由； （3）若函数是“对数型中心对称函数”，且的图象是一条连续曲线.已知，点都是的“对数型中心对称点”，证明：“函数在上单调递减”是“对任意，当时，均有”的充要条件. 【答案】（1）函数是“对数型中心对称函数” （2）存在， （3）由点是的“对数型中心对称点”可知恒成立， 取得，同理可得. 因为，所以，所以有， 又，所以，即. 充分性：若函数在上单调递减，当时，有， 所以， 所以，充分性成立 必要性：若对任意，当时，均有， 所以当时，， 又的图象是一条连续曲线，所以在上单调， 又，所以在上单调递减. 因为函数是“对数型中心对称函数”，且点都是的“对数型中心对称点”， 所以关于点和点中心对称， 又在上单调递减，所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 因为的图象是一条连续曲线且，所以也是一条连续曲线， 所以可以通过中心对称得到在和上单调递减，不断往两边扩展， 即可得到在上单调递减，所以在上单调递减，必要性成立. 综上所述，“函数在上单调递减”是“对任意，当时，均有”的充要条件. 【解析】 【分析】（1）根据“对数型中心对称函数”的定义推导得，代换成函数即可判断； （2）令求出，然后讨论即可； （3）利用新定义，结合单调性和已知条件证明即可. 【小问1详解】 若是“对数型中心对称函数”，则关于点中心对称，所以， 即，所以. 所以对于任意的实数，都有且成立， 则称函数是“对数型中心对称函数”，点称为函数的“对数型中心对称点”. 若，则， 所以函数是“对数型中心对称函数”. 【小问2详解】 若存在“对数型中心对称函数”，其图象上的所有点都是的“对数型中心对称点”， 则对于任意的实数和，都有， 令，可得，所以对任意实数只能取0或1， 又，即，所以. 下面证明当时，是“对数型中心对称函数”，且都是的“对数型中心对称点”. 对于任意的实数和， 所以是“对数型中心对称函数”，且都是的“对数型中心对称点”. 综上所述，满足题意的只有. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期第四次阶段总结 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，函数（不含导数），不等式． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，记，，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 2. 若随机变量X服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为（ ） A. 720 B. 480 C. 360 D. 240 5. 在展开式中，含项的系数为（ ） A. -10 B. 0 C. -20 D. 20 6. 若，，，则的最小值为（ ） A. 26 B. 25 C. 19 D. 13 7. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知且，则的展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. D. 是奇函数 10. 已知为一个随机变量，则（ ） A. 若，则， B. 若，且，则 C. 若服从两点分布，且，，则 D. 若随机变量的分布列为，则 11. 已知函数，实数，满足，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若6件不同产品中有4件正品，2件次品，从中抽取2件，则至少有1件是正品的抽取方法种数为______． 13. 已知函数，则函数的值域是___________. 14. 2022年疫情期间，某市中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支授上海六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人，第一批派出一名医务人员的年龄为，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为，则满足的分配方案的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． （1）求，； （2）证明：是偶函数； （3）若在上单调递减，求不等式的解集． 16. 素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”——万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”——马岭河峡谷闻名遐迩．某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了2026年1月至5月的数据统计如下： 月份 游客数量（单位：百万人） 旅游消费总额（单位：亿元） 1月 2.5 22 2月 3.5 33 3月 4 42 4月 4.5 47 5月 5.5 56 参考数据：，． （1）请根据上述数据，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； （2）从2026年5月游客中获取了容量为200的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客150名，参观马岭河峡谷的游客100名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客70名． （ⅰ）补充下面的列联表； 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 未参观 合计 （ⅱ）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联？ 附：，，， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 已知二次函数满足，且的最小值为5. （1）求的解析式； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. （1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； （2）已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 19. 已知函数的定义域为，且，令函数，其中，若关于点中心对称，则称函数为“对数型中心对称函数”，点称为函数的“对数型中心对称点”. （1）判断函数是否为“对数型中心对称函数”； （2）是否存在“对数型中心对称函数”，其图象上的所有点都是的“对数型中心对称点”？如果存在，求出所有满足题意的；如果不存在，请说明理由； （3）若函数是“对数型中心对称函数”，且的图象是一条连续曲线.已知，点都是的“对数型中心对称点”，证明：“函数在上单调递减”是“对任意，当时，均有”的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $