精品解析：湖北省咸宁市崇阳县2025-2026年下学期期末考试八年级数学试题

2026年春季期末质量监测 八年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卷上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卷上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卷一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 要使二次根式有意义，x的值可以取（ ） A. B. 120 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足， 解得， ∴只有D选项的数符合题意． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 7，8，9 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数是勾股数，只需逐个验证即可求解． 【详解】解：∵勾股数需满足三个正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方， 对选项A，，，，不是勾股数，不符合题意； 对选项B，，，，不是勾股数，不符合题意； 对选项C，，，，且三个数都是正整数，是勾股数，符合题意； 对选项D，，，，不是勾股数，不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据算术平方根定义、二次根式乘除法则、同类二次根式合并规则，逐个判断选项即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，A错误． 对于选项B：，B错误． 对于选项C：∵和不是同类二次根式，不能合并，∴，C错误． 对于选项D：，运算正确，D正确． 4. 某市居民生活用水的价格为5元．记某户的月用水量为，月应缴水费为y元．则上述问题中的常量为（ ） A. 生活用水的价格 B. 日用水量 C. 月用水量 D. 月应缴水费 【答案】A 【解析】 【详解】解：在该问题中，生活用水价格固定为元，数值不发生变化，是常量， 月用水量和月应缴水费都会随用户用水情况改变，是变量， 日用水量不是本题研究的量，也不符合要求． 5. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，方差和中位数，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，解题的关键在于理解这些统计量的意义． 【详解】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数， 故选：． 6. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7. 已知点在第二象限，则函数的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，第二象限内的点的坐标特点，第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，则，则可得到函数的图象经过第一、二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，连接，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理．连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，进一步利用菱形的性质可得答案． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴； 故选：C． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（ ） A. B. 关于x的方程的解为 C. 关于，的方程组的解为 D. 关于的不等式的解为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式的关系． 根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【详解】解：∵由图象可知：一次函数与x轴的交点为， ∴当时，，即， 故结论A正确； ∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点， ∴关于x的方程的解为， 故结论B正确； ∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为， 故结论C正确； ∵由图象可知：一次函数图象不在（）的图象上方时， ∴的解为 故结论D错误； 故选：D． 10. 如图①，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图，解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．由直线解析式可知直线与直线平行，即直线沿轴的负方向平移时，同时经过两点，再根据的长即可得到的值． 【详解】解：如图1， 直线中， 令，则；令，则， ∴直线与坐标轴围成的为等腰直角三角形， ∴直线与直线平行，即直线沿轴的正方向平移时，同时经过两点， 由图2可得，当时，直线经过点， ∴， ∴， 当时，直线经过点， ∴当时，直线经过两点， ∴， ∴等腰中，， 即当时，， 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 化简：_____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的概念，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 12. 写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式___________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可． 【详解】∵一次函数y随x的增大而减小 ∴k＜0 ∴y=-x+2（答案不唯一）． 故答案是：y=-x+2（答案不唯一）． 13. 一组数据的箱线图如图，这组数据的上四分位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据箱线图的概念读数即可． 【详解】解：由箱线图可得这组数据的上四分位数是86． 14. 我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索，则，根据勾股定理得到，求出的值即可． 【详解】解：设这个秋千的绳索， 则， ， ， ∵，， ， ， ∴这个秋千的绳索有尺． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，若P是边上的动点，__________；的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作交于点，连接，，根据菱形的性质，可求，垂直平分，再根据垂直平分线的性质和“所对的直角边是斜边的一半”，可得，，从而可得，即的最小值是的长，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，连接，， 在菱形中，， ，垂直平分， ， ，， ， ， 当、、三点共线时，即，取得最小值，为的长， 菱形，，， 是等边三角形，， ， 是的中点，即， 在中，， ， 的最小值为． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 已知，如图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵AB∥DC， ∴∠C+∠B=180°， ∵∠B=∠D， ∴∠C+∠D=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【解析】 【分析】利用已知条件证得AD∥BC，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，牢固掌握平行四边形的判定定理是解答本题的关键． 18. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．点P是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示、画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题： （1）直接写出的长为 ___________； （2）请以为边，在图中画格点正方形； （3）在图中边上画点Q，连接，使得四边形的面积为5． 【答案】（1） （2） 如图所示，正方形即为所求， （3） 如图所示，线段即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解， （2）根据正方形的性质，网格线的特点，即可求解， （3）连接点P与与的交点，并延长交于点Q，即为所求， 本题考查了，作图，勾股定理，正方形的判定，解题的关键是：熟练掌握网格线的特点． 【小问1详解】 解：根据勾股定理得：， 故答案为：， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：正方形的面积为：， 正方形的面积的一半为：5 19. 某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成A，B，C，D四个等级：A：；B：；C：；D：） 【收集数据】 九（1）班10名学生竞赛成绩：65，70，71，72，82，84，85，90，90，91 九（2）班10名学生中C等级学生的竞赛成绩：80，81，83，83 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九（1） 80 83 a 83.6 九（2） 80 82 83 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：           ，           ． （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由． （3）九（1）班共有学生50人，九（2）班共有学生40人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）90；30 （2）九（1）班成绩比较好， 因为两个班平均数相同的情况下，九（1）班的众数和中位数高于九（2）班众数和中位数，且九（1）班的方差小于九（2）班的方差， 所以九（1）班的成绩比较好． （3）估计这两个班级可以获奖的总人数是27人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义可求出a的值；先求出九（2）班C部分所占的百分比，再求出D部分所占的百分比可求出m的值； （2）根据平均数和方差分析即可； （3）把两班获奖人数相加即可． 【小问1详解】 解：∵九（1）班10名学生竞赛成绩中90分出现了2次，出现的次数最多， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由题意得： 答：估计这两个班级可以获奖的总人数是27人． 20. 【综合与实践关于“勾股数”的再探究，观察下列各组勾股数的组成特点： 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； … （1）第7组勾股数是 ， ， ； （2）若一个正整数能表示成两个连续正整数的平方差，即（为大于1的正整数），则称这个正整数为“和谐数”．试判断第7组勾股数中的最大数是否为“和谐数”； （3）当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是 ． 【答案】（1）15，112，113 （2）第7组勾股数中的最大数113是“和谐数” （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的规律探究、新定义概念的理解与应用以及一次函数表达式的求解． （1）通过观察已知组的规律：第组勾股数中，，，（为组号），故可知当时对应的勾股数； （2）根据“和谐数”的定义去判定即可解答； （3）第组勾股数中，，，即，对应直线表达式为． 【小问1详解】 解：第组，， ， ； 【小问2详解】 因为，根据“和谐数”的定义，故第7组勾股数中的最大数113是“和谐数”； 【小问3详解】 在第组中，，，即，故当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是． 21. 如图，在正方形中，点E，F分别在上，，垂足为M． （1）求证：； （2）若点是的中点，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质与同角的余角相等证得，再根据已知条件证明，从而证得结果； （2）由（1）得到，利用边的加减得到线段的长度，再根据勾股定理求出的长度，最后利用“在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”求解． 【小问1详解】 解：见答案 【小问2详解】 解:由（1）知， ∵，， ∴, ∴，, ∴． ∵，点是的中点， ∴． 22. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进A，B两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 A类 B类 进货价（元/本） 25 16 销售价（元/本） 35 24 （1）第一次，该书店用1960元购进了A，B两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ （2）第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两类图书180本（图书的进货价不变），但A类的进货数量不超过B类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B类图书每本都拿出元设立读书基金，全部售出后所获总利润不低于1350元，求a的最大值． 【答案】（1）书店购进A种图书40本，B种图书60本 （2）当书店购进A种图书45本，B种图书135本时，获得的利润最大，最大利润为1530元 （3）a的最大值为5 【解析】 【分析】（1）设书店购进A种图书m本，则购进B种图书n本，根据“用1960元购进了A，B两类图书共100本”列方程组求解即可； （2）设书店购进A种图书x本，获得的利润为w元，根据题意求出x的取值范围及w的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可； （3）根据“全部售出后所获总利润不低于1350元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设书店购进A种图书m本，则购进B种图书n本， 根据题意得 解得， ∴书店购进A种图书40本，B种图书60本； 【小问2详解】 解：设书店购进A种图书x本，获得的利润为w元， 根据题意得 解得， ， ； ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时B种图书有：（本）， 答：当书店购进A种图书45本，B种图书135本时，获得的利润最大，最大利润为1530元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得， ∴a的最大值为5． 23. 【思考与探究】 （1）如图1，正方形中，P为对角线上一动点，连接，，证明：； 【理解与应用】 （2）如图2，正方形中，P为对角线上一动点，连接，过点P作交于点E，证明：； 【类比与拓展】 （3）如图3，菱形中，，P为对角线上一动点，点E在边上，有，连接． ①求的度数； ②若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）证明：连接， 由（1）可知：，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，进而得到； （2）连接，在四边形中，求出，进而求出，利用等腰三角形的性质得到，从而得出结论； （3）①连接，同（1）证明，在四边形中，求出，进而求出为等腰三角形，利用三角形内角和定理求解即可； ②过点A作于点H，作交的延长线于点Q，根据含角的直角三角形的性质得到、，利用勾股定理求出、长，在中，根据勾股定理列出方程，根据完全平方公式得到，利用平方根解方程，求出长，利用求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：①连接， 四边形是菱形， 、， 在和中， ， ， 、， 在四边形中，， ， ， ， ， 为等腰三角形， ； ②过点A作于点H，作交的延长线于点Q，如图 ， 由①知，， 在中，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 即， 由完全平方公式可知， 即， ∴， 解得：或（舍去）， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：如果存在点，使得以为对角线的四边形是平行四边形，则称点是点关于线段的“关联点”．已知，，，，，，． （1）在点，，中，点 是点关于线段的“关联点”； （2）求点关于线段的“关联点”的坐标； （3）若点关于线段的“关联点”在的内部，请求出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）且． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到两条对角线的中点坐标相同，分别求出点D，E，F能否与B形成以为对角线的平行四边形，再利用“关联点”的定义求解即可； 设点关于线段的“关联点”的坐标为，利用平行四边形的性质列出方程组，解方程组即可； 设点关于线段的“关联点”为，同（2）求出点H的坐标，再利用待定系数法分别求出的三边函数表达式，利用点关于线段的“关联点”在的内部，列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， ∴以为对角线的四边形是平行四边形， ∴点是点关于线段的“关联点”； ∵线段的中点坐标为，即，与线段的中点坐标不相同， 线段的中点坐标为，即，与线段的中点坐标不相同， ∴点都不能与点形成以为对角线的平行四边形， ∴点不是点关于线段的“关联点”， 综上可得：点是点关于线段的“关联点”， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由知，线段的中点坐标为， 设点关于线段的“关联点”的坐标为， ∴点与其关于线段的“关联点”的中点坐标为， ∴， 解得， ∴点关于线段的“关联点”的坐标为； 【小问3详解】 解：如图， 设点关于线段的“关联点”为， ∵，，， ∴线段的中点坐标为，线段的中点坐标为，即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，将点、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 将代入得， 将代入得， ∵点关于线段的“关联点”在的内部， ∴， 解得， 当，重合时，不符合题意，此时， ∴， 综上所述，当且时，点关于线段的“关联点”在的内部． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期末质量监测 八年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卷上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卷上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卷一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 要使二次根式有意义，x的值可以取（ ） A. B. 120 C. 2025 D. 2026 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 7，8，9 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某市居民生活用水的价格为5元．记某户的月用水量为，月应缴水费为y元．则上述问题中的常量为（ ） A. 生活用水的价格 B. 日用水量 C. 月用水量 D. 月应缴水费 5. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 6. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在第二象限，则函数的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，连接，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（ ） A. B. 关于x的方程的解为 C. 关于，的方程组的解为 D. 关于的不等式的解为 10. 如图①，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 化简：_____ ． 12. 写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式___________ 13. 一组数据的箱线图如图，这组数据的上四分位数是________． 14. 我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为______尺． 15. 如图，在菱形中，，，若P是边上的动点，__________；的最小值为__________． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算：． 17. 已知，如图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．点P是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示、画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题： （1）直接写出的长为 ___________； （2）请以为边，在图中画格点正方形； （3）在图中边上画点Q，连接，使得四边形的面积为5． 19. 某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成A，B，C，D四个等级：A：；B：；C：；D：） 【收集数据】 九（1）班10名学生竞赛成绩：65，70，71，72，82，84，85，90，90，91 九（2）班10名学生中C等级学生的竞赛成绩：80，81，83，83 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九（1） 80 83 a 83.6 九（2） 80 82 83 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：           ，           ． （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由． （3）九（1）班共有学生50人，九（2）班共有学生40人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少？ 20. 【综合与实践关于“勾股数”的再探究，观察下列各组勾股数的组成特点： 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； … （1）第7组勾股数是 ， ， ； （2）若一个正整数能表示成两个连续正整数的平方差，即（为大于1的正整数），则称这个正整数为“和谐数”．试判断第7组勾股数中的最大数是否为“和谐数”； （3）当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是 ． 21. 如图，在正方形中，点E，F分别在上，，垂足为M． （1）求证：； （2）若点是的中点，，，求的长． 22. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进A，B两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 A类 B类 进货价（元/本） 25 16 销售价（元/本） 35 24 （1）第一次，该书店用1960元购进了A，B两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ （2）第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两类图书180本（图书的进货价不变），但A类的进货数量不超过B类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B类图书每本都拿出元设立读书基金，全部售出后所获总利润不低于1350元，求a的最大值． 23. 【思考与探究】 （1）如图1，正方形中，P为对角线上一动点，连接，，证明：； 【理解与应用】 （2）如图2，正方形中，P为对角线上一动点，连接，过点P作交于点E，证明：； 【类比与拓展】 （3）如图3，菱形中，，P为对角线上一动点，点E在边上，有，连接． ①求的度数； ②若，，请直接写出四边形的面积． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：如果存在点，使得以为对角线的四边形是平行四边形，则称点是点关于线段的“关联点”．已知，，，，，，． （1）在点，，中，点 是点关于线段的“关联点”； （2）求点关于线段的“关联点”的坐标； （3）若点关于线段的“关联点”在的内部，请求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $