精品解析：广东深圳市龙岗区龙城高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试试卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 龙城高级中学高二某班周二上午安排语文、数学、物理、自习和英语五节课，要求数学课和自习课必须相邻，则该班周二上午可能的课表排法有（    ）种. A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】使用捆绑法求解. 【详解】该班周二上午可能的课表排法有种. 3. 已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 4. 某智能助手回答问题数据统计如下：理学类占总提问的40%，回答正确率为90%；文史类占总提问的60%，回答正确率为80%，用频率估计概率，则该助手回答问题正确的概率为（ ） A. 0.72 B. 0.8 C. 0.84 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【详解】设“理学类提问”为事件，“文史类提问”为事件，“回答正确”为事件， 则， 所以. 5. 已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程确定焦点的坐标，进而利用焦半径公式求的横坐标，代入抛物线方程求纵坐标，再利用两点间斜率公式计算直线的斜率. 【详解】由抛物线，可得，即，则焦点，准线方程为. 设，已知，则：，解得， 代入抛物线方程得：， 由在第一象限，可得，即. 因为直线过和， 所以斜率：. 6. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合二项分布的定义即可求解. 【详解】由，得，解得 所以. 故选：D. 7. 已知为等比数列的前项和，且公比，．若将除以所得余数记为，则（    ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等比数列前项和公式求出，从而得到的通项公式，再根据二项式定理的展开式即可求出． 【详解】由等比数列公比， 则， 解得，所以， 又， 又， 则不含有因子的只有最后一项， 所以除以7的余数为1，则除以7的余数为2，即． 8. 设集合，那么集合中满足条件 “”的元素个数为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：分以下三种情况讨论， （1），则上述五个数中有一个为或，其余四个数为零，此时集合有 个元素； （2），则上述五个数中有两个数为或，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个； （3），则上述五个数中有三个数为或，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个； 综上所述，集合共有个元素.故选D. 【考点定位】本题考查分类计数原理，属于较难题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列如下表，且，则下列说法正确的是（    ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用概率和为1、期望公式联立解出参数，再套用线性变换公式快速计算期望和方差. 【详解】选项A、B，依题意，解得，A错误，B正确. 选项C，，所以 ，C正确. 选项D，， 所以，D错误. 10. 已知二项式，则下列说法正确的有（ ） A. 展开式中系数大于的项共有项 B. 展开式中所有项的二项式系数之和为 C. 展开式中的常数项为 D. 展开式中所有项的系数的绝对值之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查二项式定理的应用，需结合通项公式、二项式系数性质、系数和的计算方法逐一分析选项． 【详解】二项式的展开式通项为，其中． 对于A，系数大于0时需满足，即为偶数，可取，共项，A错误； 对于B：展开式所有项的二项式系数之和为，B正确； 对于C：令，解得，代入得常数项为，C正确； 对于D：展开式所有项系数的绝对值之和等价于的所有项系数和，令，得，D正确． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A. ，使得在上有且仅有一个零点 B. ，函数均有单调递减区间 C. 当时，过点有且只有一条直线与曲线相切 D. ，使得 【答案】ACD 【解析】 【详解】对求导可得， 选项A：，当时，，则在上单调递增， 此时在上没有零点； 令，解得或. 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即. 若在上有且仅有一个零点，则，解得，故A正确； 选项B：当时，恒成立， 函数在上单调递增，没有减区间，故B错误； 选项C：当时，，设切点， 则切线斜率，切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程可得， 即，解得， 所以有且仅有一条直线与曲线相切，故C正确； 选项D：当时，关于点对称， ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意正态分布曲线关于对称， 故. 13. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题意得到所需各点的坐标，再结合即可得到与的关系，进而结合椭圆基本参数的关系即可求其离心率． 【详解】设椭圆的半焦距为，则， 依题意可得，，， 将代入椭圆，得， 又在第一象限，则， 四边形的面积为 ， 化简整理得，所以的离心率为． 14. 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 【答案】 【解析】 【分析】设为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解，再利用数学期望的线性性质求出. 【详解】将门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，， 则， 又， 则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，，（），数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1） （2）结合（1）有， 则， 所以 ， 因为，所以，所以． 【解析】 【分析】（1）根据与的关系计算即可； （2）结合（1）中的通项公式，即可得到的通项公式，再结合裂项相消法求出即可证明． 【小问1详解】 由，得， 当时，， 因为时，满足上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 略 16. 为了更好了解深圳市居民对新能源汽车的接受程度，深圳市某汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验判断选择新能源汽车与年龄是否有关联； （2）该汽车协会根据统计数据，用最小二乘法得到深圳市新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与的样本相关系数，并据此判断深圳市新能源汽车销售量与年份的线性相关性的强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 24 80 40岁及以上 44 36 80 总计 100 60 160 依据的独立性检验，没有充分证据认为选择新能源汽车与年龄有关联. （2），线性相关性较强 【解析】 【分析】（1）使用独立性检验求解； （2）使用相关系数的计算公式求解. 【小问1详解】 补全列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 24 80 40岁及以上 44 36 80 总计 100 60 160 提出零假设为：选择新能源汽车与年龄无关． 则， 因此依据的独立性检验，没有充分的证据认为不成立，即没有充分证据推断选择新能源汽车与年龄有关联； 【小问2详解】 因为， 所以， 又， 所以， 故与线性相关性较强． 17. 已知曲线. （1）求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求导，确定切线方程，进而可求解. （2）问题转换成曲线与直线有两个交点，通过求导，确定的图象，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，，即切点为，又， 所以切线方程为， 当时，，当时，， 切线与坐标轴围成的三角形面积为. 【小问2详解】 因为，函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，， 且当时，，当时，， 所以的图象如下所示： 由图可得实数的取值范围为． 18. 某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单．假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立．记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为． （1）(i)求和； (ii)证明：对任意正整数s，t恒成立． （2）若平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为．平台规定：若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券．求平台赠送该用户的优惠券金额的期望． 【答案】（1）(i)， (ii)解法1：由题意知即求前辆车都没有接单的概率. . 对任意的正整数s，t． 解法2：由题意知，， 所以，对任意的正整数s，t． （2） 【解析】 【分析】（1）（i）套用几何分布公式； （ii）利用条件概率公式拆分，结合化简，可快速证明几何分布的无记忆性； （2）借助几何分布无记忆性，将等价转化为，确定优惠券金额的分布后，代入期望公式直接运算. 【小问1详解】 （i）则， ； (ii)略 【小问2详解】 由（1）知，， 平台需要支付该用户的优惠券金额的所有可能取值为， 则， 所以， 即平台需要赠送的优惠券金额的期望为元. 19. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，的右焦点到直线的距离为1，． （1）求的方程； （2）已知上的动点，关于轴对称，直线与交于另外一点，证明：直线恒过定点； （3）设与的渐近线不平行的两条直线，均与相切，且交点为，当，的斜率之积为时，判断是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：由题知直线的斜率存在且不为零，设其方程为， 与联立，消去并整理得， 则，且，即，且． 设，，则， 则，，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线过定点． （3）存在，定点（椭圆的左焦点） 【解析】 【分析】（1）根据距离公式和渐近线中关系，求出，得到的方程. （2）设直线截距式方程与双曲线联立，结合判别式确定参数取值范围，利用韦达定理得到交点纵坐标关系；由对称点写出直线方程，令化简横坐标，借助韦达结论消参求得定点横坐标，完成定点证明. （3）设过动点且不与双曲线渐近线平行的切线方程，与双曲线方程联立，利用直线与双曲线相切时判别式建立等式，整理得到以切线斜率为变量的一元二次方程，结合韦达定理与两切线斜率乘积的定值条件化简，推导出动点的轨迹椭圆，再根据椭圆的定义，结合椭圆的两个焦点，确定使为定值的定点. 【小问1详解】 设，由到渐近线的距离为1，得．解得， 又由及，解得，， 所以的方程为． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 设过点，与只有一个公共点，且与的渐近线不平行的直线方程为， 与联立，消去整理，得. 则，由，得， 整理得， 设的斜率分别为，则是上面关于的方程的两个实根， 所以，整理得， 所以动点在椭圆上，且点为其右焦点， 所以存在定点（椭圆的左焦点），使得，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试试卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 龙城高级中学高二某班周二上午安排语文、数学、物理、自习和英语五节课，要求数学课和自习课必须相邻，则该班周二上午可能的课表排法有（    ）种. A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 3. 已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某智能助手回答问题数据统计如下：理学类占总提问的40%，回答正确率为90%；文史类占总提问的60%，回答正确率为80%，用频率估计概率，则该助手回答问题正确的概率为（ ） A. 0.72 B. 0.8 C. 0.84 D. 0.9 5. 已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（    ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等比数列的前项和，且公比，．若将除以所得余数记为，则（    ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 8. 设集合，那么集合中满足条件 “”的元素个数为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列如下表，且，则下列说法正确的是（    ） 0 1 2 A. B. C. D. 10. 已知二项式，则下列说法正确的有（ ） A. 展开式中系数大于的项共有项 B. 展开式中所有项的二项式系数之和为 C. 展开式中的常数项为 D. 展开式中所有项的系数的绝对值之和为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A. ，使得在上有且仅有一个零点 B. ，函数均有单调递减区间 C. 当时，过点有且只有一条直线与曲线相切 D. ，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 13. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______． 14. 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，，（），数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 16. 为了更好了解深圳市居民对新能源汽车的接受程度，深圳市某汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验判断选择新能源汽车与年龄是否有关联； （2）该汽车协会根据统计数据，用最小二乘法得到深圳市新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与的样本相关系数，并据此判断深圳市新能源汽车销售量与年份的线性相关性的强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知曲线. （1）求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 18. 某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单．假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立．记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为． （1）(i)求和； (ii)证明：对任意正整数s，t恒成立． （2）若平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为．平台规定：若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券．求平台赠送该用户的优惠券金额的期望． 19. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，的右焦点到直线的距离为1，． （1）求的方程； （2）已知上的动点，关于轴对称，直线与交于另外一点，证明：直线恒过定点； （3）设与的渐近线不平行的两条直线，均与相切，且交点为，当，的斜率之积为时，判断是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $