广东广州市华南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二期末考试试题 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知随机事件与满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某电影院一排有5个连续座位，甲、乙、丙等5人随机就座，已知甲不坐在两端，且乙与丙之间恰好隔2个人，则不同的就座方式共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 6. 若函数的最大值为，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 7. 如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一个盒子里装有质地均匀的小球10个，其中红球4个，黑球6个，从中抽取2个小球，记取到红球的个数为随机变量，则 B. 相关系数的绝对值越小，两个变量之间的线性相关程度越强 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. 已知双曲线的一支，圆，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的渐近线与圆相交 C. 圆上恰有三个点到的一条渐近线的距离为 D. 与和圆各恰有一个公共点的直线不止条 11. 已知随机变量（且），设函数，记，则（ ） A. B. 对任意恒成立 C. 存在，使得函数在区间内有零点 D. 任意，对任意，且，函数满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的各项系数的和为______． 13. 已知等比数列，公比，且，则______． 14. 在世界杯期间，有3种不同的纪念品：纪念品A（大力神杯模型）、纪念品B（官方用球）、纪念品C（官方吉祥物）．甲、乙、丙三位球迷独立随机地选择纪念品，对于每个人来说，每种纪念品选与不选都是等可能的．则至少有一种纪念品被甲、乙、丙三人都选中的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列，满足是等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 16. 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为抛物线上两个不同的动点．当中点横坐标为2时，． （1）求抛物线的方程； （2）若直线过点，在轴上是否存在点，使得恒在以线段为直径的圆内？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 18. 一只蚂蚁在一个正方体的表面上爬行，记这个正方体的6个面分别为．其中，是与相对的面．初始时刻，蚂蚁所在的面为，之后每过一秒，不知疲倦的蚂蚁都会等可能地爬到相邻的四个面中的某一个． （1）分别求第3秒末，蚂蚁位于面和面的概率； （2）求第秒末蚂蚁位于面的概率； （3）对于随机变量，若定义随机变量，则有．记从初始时刻到第秒末，蚂蚁位于面的总次数为随机变量，求． 19. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）已知，曲线上的两点处的切线都经过点．证明： （ⅰ），且； （ⅱ）若，当取得最小值时，求的值． 高二期末考试试题 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】256 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）证明：由（1）得， ． 因为，所以． 【16题答案】 【答案】（1）证明：法一：取中点，连结， 因为为正三角形，所以， 又因为正三棱柱中，平面平面，交线为， 所以平面，因为面，所以， 可得，所以． 又因为，所以，所以， 因为，且面，可得面． 又因为面，所以， 因为四边形是正方形，可得， 又因为，且面，所以面． 法二：取中点，以为原点，的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，所以，即 又因为，所以，即， 因为平面，且，所以平面． （2）． 【17题答案】 【答案】（1） （2）存在，横坐标 【18题答案】 【答案】（1）第3秒末，蚂蚁位于面和面的概率都为． （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：（ⅰ）由题意知，过点可以作曲线的至少2条切线， 把代入，可得， 令，则问题转化为至少有两个零点， 又由， ①若，则，在单调递增， 可得至多只有1个零点，不合题意，舍去． ②若，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，且， 对数函数增长速度比一次函数慢，当足够大时，， 此时有两个零点，则，即， 综上可得，，且． （ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $