第05讲 一元二次方程的解法（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂讲义）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第05讲 一元二次方程的解法（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法 典型例题二 解一元二次方程——配方法 典型例题三 公式法解一元二次方程 典型例题四 因式分解法解一元二次方程 典型例题五 换元法解一元二次方程 典型例题六 解分式方程（化为一元二次） 典型例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题八 根据一元二次方程根的情况求参数 典型例题九 一元二次方程的根与系数的关系 典型例题十 一元二次方程的根与系数关系的新定义问题 典型例题十一 配方法的应用 知识点01 直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 【即时训练】 1．（2026·河南平顶山·三模）下列方程中，无实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级·全国·期中）方程解为_________． 知识点02 配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西崇左·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 知识点03 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 【即时训练】 1．（25-26八年级·全国·期中）方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 知识点04 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 1、因式分解的主要方法： ①提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 ②乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： ③十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 2、解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【即时训练】 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 2．（25-26九年级下·上海·阶段检测）方程的根是_______． 知识点05 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【即时训练】 1．（2026·上海·模拟预测）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东日照·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 知识点06 一元二次方程根的判别式关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·全国·阶段检测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别为，现给出以下结论：①，②；③；④，其中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 【典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【例2】（24-25八年级下·山东威海·期末）若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级·全国·期中）方程解为_________． 【例4】（2025·河北唐山·二模）对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则_______． 1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解下列方程： (1)； (2)． 2．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）解方程 ： (1)； (2) (3) (4)； (5)． (6) 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程变形，得． ． 直接开平方，得我们称这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【典型例题二 解一元二次方程——配方法】 【例1】（2026·广西河池·二模）将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将一元二次方程配方，得到方程，其中“▲”表示的数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 【例3】（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）一元二次方程用配方法解可变形为______． 【例4】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 1．（25-26八年级下·福建福州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程配方后为，求的解． 3．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【典型例题三 公式法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，要使的值为2，则的值为（    ） A．2或 B．或3 C．6或 D．或1 【例2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式是（      ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）在实数范围内将分解因式可得________． 【例4】（24-25九年级上·福建泉州·期末）下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第______步开始出错． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）用合适的方法解下列方程． (1) (2) 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程． (1)求出方程的根． (2)当为何整数时，此方程的根均为正整数． 3．（2025·浙江杭州·二模）在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”让同学们讨论，甲乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：原式可化为： ，当时，，当时，，，． 乙同学： 解：原式可化为： ，，，，， (1)小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的解法有误______（填“甲”或“乙”），错误的原因是________________； (2)你是否还有其他解法？请写出来并与同学们交流． 【典型例题四 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25九年级上·广东东莞·阶段检测）一元二次方程的根是（　　） A． B．5 C．不能确定 D．或5 【例3】（24-25九年级上·山东滨州·期末）方程的解是______． 【例4】（24-25九年级上·四川凉山·阶段检测）已知等腰三角形的一边长是7，另一边长是方程的根，则该等腰三角形的周长为______． 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 3．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【典型例题五 换元法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．3或 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·湖南常德·期末）若，则______． 【例4】（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）若关于x的方程的两根满足（a，m，b均为常数，），则关于x的方程的两根满足的取值范围分别是 _________ ，_________． 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）解方程 (1) (2) 2．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得． 或， ： 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程：． 【典型例题六 解分式方程（化为一元二次）】 【例1】（24-25八年级下·上海·期中）解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·上海金山·期末）学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是______． 【例4】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）解分式方程∶ (1) (2) 2．（24-25八年级下·重庆·期中）阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为， ，；再如为十字分式方程，可化为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则__________，_____． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【典型例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（24-25九年级上·广东广州·期中）方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【例2】（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【例3】（2025·吉林长春·一模）一元二次方程根的判别式的值为______． 【例4】（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程，现从，1，2三个数中任取一个数作为方程中的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中的值，则取得的，的值能使该一元二次方程有实数根的概率是______. 1．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 3．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为菱形的两条对角线长，是否存在值，使得菱形的边长为，存在求出值，不存在说明理由． 【典型例题八 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（2025·贵州黔东南·一模）一元二次方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·吉林松原·期中）嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（   ） A．7 B．6 C．9 D．8 【例3】（24-25九年级上·四川德阳·阶段检测）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【例4】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为_____________． 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）关于的一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 小明同学的解题过程如下； 解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或4． (1)已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【典型例题九 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】（25-26九年级上·江苏常州·期中）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【例2】（2026·广西百色·三模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 【例3】（25-26九年级下·江西抚州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是a，b，则______． 【例4】（25-26九年级下·内蒙古兴安·阶段检测）若是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【典型例题十 一元二次方程的根与系数关系的新定义问题】 【例1】（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 【例2】（2026·四川广安·三模）对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【例3】（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 【例4】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 1．（2025·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．      2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【典型例题十一 配方法的应用】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【例2】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 【例3】（24-25八年级下·山东滨州·期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 【例4】（24-25九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题． 例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，有最小值1．同样，因为，所以有最大值6，只有在时，有最大值6． (1)当　　　　_时，代数式有最_　　　　（填写大或小）值为　　　　． (2)当　　　　时，代数式有最_　　　　（填写大或小）值为　　　　． (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面用总长度是的栅栏围成，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 2．（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 3．（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 1．（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·浙江杭州·模拟预测）用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 5．（2026·四川内江·模拟预测）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．（24-25九年级上·吉林松原·期中）一元二次方程根的判别式的值是____ 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）若代数式与的值互为相反数，则的值为________． 8．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 9．（25-26九年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 10．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 11．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）观察下列的方程及其根： ①方程的解为，； ②方程的解为，； ③方程的解为，； ④方程的解为，； …… (1)根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题： ①方程的解为_____________； ②第个方程为_____________，其解为_____________；（用含的方程或式子表示） (2)运用上述规律直接写出的解，并用公式法解此方程加以验证． 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【阅读理解】我们把叫做一元二次方程（）根的判别式.当一元二次方程（）有实数根时，判别式，即得到一个关于a、b、c的不等关系式，我们把利用判别式解决问题的方法叫做判别式法． 【例题示范】例：已知关于x的方程有实数根，求c的取值范围． 解：一元二次方程有实数根的条件是，即，解得． 【问题解决】 (1)关于x的方程有实数根，求t的值或取值范围． (2)用一段长16cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的长是xcm，面积是S． ①用x的代数式表示S，并将此等式整理成关于x的一元二次方程的一般形式； ②请运用判别式法求S的最大值，并求出此时x的值． 14．（24-25八年级下·江西萍乡·期末）阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 15．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元二次方程的解法（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法 典型例题二 解一元二次方程——配方法 典型例题三 公式法解一元二次方程 典型例题四 因式分解法解一元二次方程 典型例题五 换元法解一元二次方程 典型例题六 解分式方程（化为一元二次） 典型例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题八 根据一元二次方程根的情况求参数 典型例题九 一元二次方程的根与系数的关系 典型例题十 一元二次方程的根与系数关系的新定义问题 典型例题十一 配方法的应用 知识点01 直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 【即时训练】 1．（2026·河南平顶山·三模）下列方程中，无实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，解得； B、，解得； C、，解得，； D、，，故方程无实数根． 2．（25-26八年级·全国·期中）方程解为_________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 知识点02 配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西崇左·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 移项得 方程两边同时加得： 整理得 因此配方后正确的是B． 2．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 知识点03 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 【即时训练】 1．（25-26八年级·全国·期中）方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 知识点04 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 1、因式分解的主要方法： ①提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 ②乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： ③十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 2、解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【即时训练】 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 2．（25-26九年级下·上海·阶段检测）方程的根是_______． 【答案】， 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 移项，得, 方程左边因式分解得 ∴或 解得，． 知识点05 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【即时训练】 1．（2026·上海·模拟预测）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 2．（25-26八年级下·山东日照·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】当一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是． 知识点06 一元二次方程根的判别式关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·全国·阶段检测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别为，现给出以下结论：①，②；③；④，其中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键．仿照题意所给的方法，得到原方程为，由此求解即可． 【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴①③正确，②不正确； ∵， ∴④不正确， 故选：B． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 【答案】 或 【分析】（1）由因式分解法解方程可得，，再根据倍根方程的定义求解即可； （2）设方程的两个根为、，根据一元二次方程根和系数的关系，得到，即可得解． 【详解】解：（1）， 或， 解得：，， 是倍根方程， 或， 或， 解得：或； （2）方程是倍根方程， 设方程的两个根为、， ， ， ， ， ，， 即该方程较大的根为． 【典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·山东威海·期末）若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查直接开平方法解一元二次方程，将方程整理为完全平方形式，根据直接开平方法的要求，右边必须非负，从而确定c的取值范围． 【详解】解：原方程为： 观察左边，可写成完全平方形式： 根据直接开平方法的要求，右边必须非负，即： 解得： 因此，c的取值范围是， 故选A． 【例3】（25-26八年级·全国·期中）方程解为_________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 【例4】（2025·河北唐山·二模）对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，根据题意列方程，即可解答，熟知题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）因为等式左侧是完全平方形式，所以可以用直接开平方法，根据平方根的定义，得到等于9的两个平方根，再分别求解． （2）可选择配方法，先将常数项移到等式右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式后开平方求解． 【详解】（1）解： 两边直接开平方得： ， 当 时，解得 ； 当 时，解得 ． ． （2）解：先移项得：， 配方得： ， 整理得， 开平方得：， 移项得， ． 2．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）解方程 ： (1)； (2) (3) (4)； (5)． (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2）解： 或， （3）解：， ， ， ， ， ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 可得或 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程变形，得． ． 直接开平方，得我们称这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【答案】 【分析】根据题意利用平方差公式以及“平均数法”解方程． 【详解】解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得． 【典型例题二 解一元二次方程——配方法】 【例1】（2026·广西河池·二模）将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边整理为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解： 移项，得． 两边都加一次项系数一半的平方，得， 即． 【例2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将一元二次方程配方，得到方程，其中“▲”表示的数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到▲表示的数. 【详解】对一元二次方程配方时，若二次项系数为1，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方. ∵原方程为，一次项系数为， ∴一次项系数的一半为 ， ∴， ∴等式两边同时加9，▲表示的数是9， 【例3】（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）一元二次方程用配方法解可变形为______． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 1．（25-26八年级下·福建福州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， 则， ∴， ∴或， 解得，. 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程配方后为，求的解． 【答案】 当m=10时，方程为，解为: 当m=-10时，方程为，解为: 【分析】本题考查了一元二次方程展开式和配方后的式子对应相等，求出未知数，以及利用配方法解一元二次方程. 由一元二次方程配方后的结果为,利用完全平方公式展开后,根据多项式相等,各系数对应相等，得出与的值,将求出的值代入所求的方程中，利用配方法求解得到结果. 【详解】解：配方后为, 且，即. ①，． 由解得:，代入，得, 一元二次方程为或 配方，得或， 则当方程为时，解得:. 则当方程为时，解得:. 3．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 【典型例题三 公式法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，要使的值为2，则的值为（    ） A．2或 B．或3 C．6或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据题意，列方程，化为一般式，计算判别式得到方程有两个不相等的实数根，代入求根公式即可得到答案，熟练掌握公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：已知，要使的值为2， ，则 ， ，即， 故选：C． 【例2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断． 【详解】解：一元二次方程的求根公式是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键． 【例3】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）在实数范围内将分解因式可得________． 【答案】 【分析】求出的根，然后根据一元二次方程的两个实数根为，则，进而分解因式即可． 【详解】解：对于， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，若一元二次方程的两根为，那么式子可分解为． 【例4】（24-25九年级上·福建泉州·期末）下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第______步开始出错． 【答案】一 【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答． 【详解】解：原方程化为：， ∴． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）用合适的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， 化简得， 因式分解得， 解得，． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程． (1)求出方程的根． (2)当为何整数时，此方程的根均为正整数． 【答案】(1) (2)当为或时，此方程的根均为正整数 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程、一元二次方程根的特征的理解；熟练掌握公式法的求根公式以及对根为正整数的理解是解题的关键． （1）利用求根公式求出方程的根即可； （2）根据（1）中所求的的值来判断， ，若使方程的根为正整数，则为正整数，则或即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意，得即， 解得． 故答案为：． （2）根据题意，得为正整数， 为整数 当或时，为正整数， 解得． 故答案为：当为或时，此方程的根均为正整数． 3．（2025·浙江杭州·二模）在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”让同学们讨论，甲乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：原式可化为： ，当时，，当时，，，． 乙同学： 解：原式可化为： ，，，，， (1)小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的解法有误______（填“甲”或“乙”），错误的原因是________________； (2)你是否还有其他解法？请写出来并与同学们交流． 【答案】(1)乙，常数项移到方程右边时未变号 (2)解：利用公式法： ，，， ， ， ，． 【详解】（1）解：乙，常数项移到方程右边时未变号； （2）解：略 【典型例题四 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程可变形为，，无实数根，故不能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有3个． 【例2】（24-25九年级上·广东东莞·阶段检测）一元二次方程的根是（　　） A． B．5 C．不能确定 D．或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴或， ∴或， 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·山东滨州·期末）方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．因式分解法求解可得． 【详解】解： ， ， 则或， 解得：，， 故答案为：， 【例4】（24-25九年级上·四川凉山·阶段检测）已知等腰三角形的一边长是7，另一边长是方程的根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】18或15 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，先解一元二次方程得到该等腰三角形的另一边长为4，再分当腰长为4时，当腰长为7时，两种情况求出三角形三边长，然后根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴该等腰三角形的另一边长为4， 当腰长为4时，则该三角形三边长为4，4，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为； 当腰长为7时，则该三角形三边长为4，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为18或15， 故答案为：18或15． 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先因式分解转化为两个因式的乘积，即可求得答案； （2）先提取公因式转化为两个因式的乘积，即可求得答案． 【详解】（1）解：因式分解，得， ，； （2）解：提取公因式，得， 即， ，． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 3．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 【典型例题五 换元法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，则由原方程，得，解方程求得t值，即可得的值. 【详解】解：设，则由原方程，得， 整理，得， 解得或． ∴或； 故选C． 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则变为，得到一元二次方程的两根分别为，或者，即可求得答案． 【详解】解：设，则变为： ， ∵一元二次方程的两根分别为， ∴一元二次方程的两根分别为， ∴或者， 解得． 故选：B 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·湖南常德·期末）若，则______． 【答案】 【分析】设，则，根据换元法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，则， ∴原方程可以化为， 解得：或（舍去） 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）若关于x的方程的两根满足（a，m，b均为常数，），则关于x的方程的两根满足的取值范围分别是 _________ ，_________． 【答案】 【分析】根据换元法解答即可． 【详解】解∶∵关于x的方程的两根满足， ∴则关于x的方程的两根满足的取值范围分别是， 所以， 故答案为． 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用公式法求解即可； （2）令，则原方程可化为，先求出值，进而求出值，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ，； （2）解： 令， 则原方程可化为， 即， 或， 解得：或， 即或， 解得：，． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得． 或， ： 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程：． 【答案】，， 【分析】本题考查换元法解方程，设，把原方程化为一元二次方程，解方程可得答案．通过阅读掌握换元法的一般步骤是解题的关键，注意一元二次方程的解法的灵活运用． 【详解】解：设， 则原方程可化为：， ∴， 解得：，， 当时，得：， ∴， 解得：， 当时，得：， ∴， 解得：或， ∴原方程的解为，，． 【典型例题六 解分式方程（化为一元二次）】 【例1】（24-25八年级下·上海·期中）解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·上海金山·期末）学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，原定全班平均每人制作朵，实际参加人数为人，平均每人制作朵，根据题意，实际平均比原定多15朵，列方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，根据题意可得方程， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是______． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握换元法解分式方程的方法是解答的关键．根据题意可得，则有，进而去分母化为整式方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程化为， 去分母，得， 整理，得． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法的计算是关键． 根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则， ∴原分式方程变形得，， ∴化为整式方程为：， 故答案为： ． 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）解分式方程∶ (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查解分式方程与一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握解方程的方法，需要注意的是最后一定要验根． （1）先去分母变为整式方程，然后解整式方程，最后进行检验即可 （2）先方程两边同时乘以最简公分母，整理得到关于x的一元二次方程，然后求解方程得到x的值，再进行检验即可． 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 检验：是原方程的解． 原方程的解为． （2）解： 方程两边同时乘以，得 整理，得∶ 化简得 解这个整式方程得： ， 经检验，是原方程的根． 原方程的解为，． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1)，，，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则原方程可化为，然后解得，，从而求出原方程的解； （）令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可； （）原式变形为，令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴，， ∴，， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：令， 则原方程化为， ∴，， 当时，， ∴，； 当时，无解， ∴原方程的解为，； （3）解：原式变形为， 令， 则原方程化为， ∴，， 当时，，无解， 当时，， ∴，， 经检验：，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为， ，；再如为十字分式方程，可化为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则__________，_____． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1)1；3 (2) (3)2025 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的定义、分式方程的解． （1）依据题意，由，进而可以判断得解； （2）依据题意，由十字分式方程的两个解分别为，，从而，，再将分式变形为，代入计算可以得解； （3）由，变形得，再根据十字分式方程的定义得，，则，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴，， 故答案为：1；3； （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵关于x的十字分式方程的两个解分别为为，（，）， ∴，， ∴，， ∴ ． 【典型例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（24-25九年级上·广东广州·期中）方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程没有实数根；． 通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况． 【详解】解：方程 中，， ， 方程没有实数根． 故选：． 【例2】（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算判别式 的值，即可判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【例3】（2025·吉林长春·一模）一元二次方程根的判别式的值为______． 【答案】40 【分析】根据△=b2-4ac计算可得答案． 【详解】解：在一元二次方程中，a=1，b=-8，c=6， ∴△=（-8）2-4×1×6=40， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的公式为△=b2-4ac． 【例4】（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程，现从，1，2三个数中任取一个数作为方程中的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中的值，则取得的，的值能使该一元二次方程有实数根的概率是______. 【答案】 【分析】用列举法依次确定满足方程有实数根的情况数和总的情况数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：， 当和和和时，这四种情况均有， 由于m和n的取值一共有六种情况（m在前，n在后）， ∴取得的 m ， n 的值能使该一元二次方程有实数根的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的应用，涉及到了一元二次方程的根的判别式，解题关键是牢记概率公式和一元二次方程根的判别式，理解当时，方程才有实数根． 1．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】证明： ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【详解】略 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 【答案】(1) (2)对于一元二次方程， 根的判别式为 将代入得 任意实数的平方是非负数 ，即 此方程至少有一个实数根 【分析】（1）将代入原方程，解一元二次方程即可得到结果； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合已知条件变形配方，证明判别式大于等于0，即可证明结论． 【详解】（1）解： 原方程为 配方得 开方得 解得； （2）略． 3．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为菱形的两条对角线长，是否存在值，使得菱形的边长为，存在求出值，不存在说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，结合可得出，进而可证出：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）假设存在，根据菱形的性质和勾股定理可求，由根与系数的关系可得，，然后代入求出m的值，最后根据菱形的边长为正数即可判断． 【详解】（1）证明：，，． ． ， ，即， 无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：假设存在， 由题意，菱形的对角线互相垂直， 依据勾股定理，． ，即， 又：，为方程的两个实数根， ，． ． ． ，． ，为菱形的两条对角线长， ，． ，，均不符合题意． 不存在． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，菱形的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 【典型例题八 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（2025·贵州黔东南·一模）一元二次方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根，可得：，解不等式求出的取值范围，根据取值范围确定的值． 【详解】解：一元二次方程没有实数根， ， 解得：， 四个选项中只有， 的值可能是． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·吉林松原·期中）嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（   ） A．7 B．6 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程有实数根得出是解题的关键． 设被污染的数为a，根据一元二次方程根的判别式可得，然后解不等式求得a的取值范围即可解答． 【详解】解：设被污染的数为a， 根据题意可得：，解得：，即B选项符合题意． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·四川德阳·阶段检测）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】一元二次方程二次项系数不能为零，一元二次方程有实数根，判别式大于等于零，即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，即， ∵， ∴， ∵有实数根， ∴， 解得：， 综上所述， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式． 【例4】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为_____________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围，再在范围内取值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴可以取值，， 故答案为：，1（答案不唯一）． 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，本题二次项系数为1，已经满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，只需计算判别式后解不等式即可得到结果． 【详解】解：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 该方程二次项系数为，满足一元二次方程定义，只需满足判别式． 计算判别式： 令，可得． 解得． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)小明的解答有错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 【分析】（1）利用根的判别式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是； （2）略 3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）关于的一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 小明同学的解题过程如下； 解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或4． (1)已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)没有验证是否符合题意 (2)见解析 【分析】（1）的值需要代入，看是否可使方程由两个实数根， （2）将代入验证，即可求解， 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系． 【详解】（1）解：的值需要代入，看是否可使方程有两个实数根， 故答案为：没有验证是否符合题意， （2）解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 当时，代入，得：，， 不符合题意，舍去， 当时，代入，得：，解得：，， 符合题意， 所以的值为． 【典型例题九 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】（25-26九年级上·江苏常州·期中）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 通过一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴ ， 故选A． 【例2】（2026·广西百色·三模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解，若是一元二次方程的两个实数根，则，直接代入系数即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系得 ． 【例3】（25-26九年级下·江西抚州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是a，b，则______． 【答案】2026 【分析】先根据多项式乘法化简 ，然后由根与系数的关系可得 ，，最后代入计算即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程的两个实数根分别是a，b， ，， ． 【例4】（25-26九年级下·内蒙古兴安·阶段检测）若是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【答案】26 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1)实数的取值范围是 (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； (2)或0 (3)或 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 【典型例题十 一元二次方程的根与系数关系的新定义问题】 【例1】（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键． 根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值． 【详解】解：∵特征数为， ∴方程为， 设两实数根为，，则， ， ， ∵， ∴， 化简得：， 解得或， 又∵方程有实数根， ∴， 即， ∴（舍去）， ∴， 故选C． 【例2】（2026·四川广安·三模）对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵ ，且， ∴ 将，代入得： ， 整理得：， ∴ ． 【例3】（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，得到方程两根之和与两根之积，代入倒数方程的条件，得到关于的方程，求解并验证判别式即可． 【详解】解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 1．（2025·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【答案】(1)②④ (2)①，②， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用，即可求得、． 【详解】（1）解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； （2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】(1)①② (2)7或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． （3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 【典型例题十一 配方法的应用】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 【答案】 大 4 【分析】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键．把化为 ，由平方的非负性得，，从而，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 当时，有最大值为4． 故答案为：；大；4． 【例3】（24-25八年级下·山东滨州·期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，代数式求值，先把移到右边，再方程两边加上，把方程配成的形式，进而得到的值，最后代入到代数式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了配方，根据配方法的步骤把代数式进行配方，即可得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， ∴不论x为何值，代数式的值总是负数． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题． 例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，有最小值1．同样，因为，所以有最大值6，只有在时，有最大值6． (1)当　　　　_时，代数式有最_　　　　（填写大或小）值为　　　　． (2)当　　　　时，代数式有最_　　　　（填写大或小）值为　　　　． (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面用总长度是的栅栏围成，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)2，小，4； (2)2，大，8； (3)当花园与墙相邻的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）由完全平方式的最小值为0，可得，再根据阅读材料解答； （2）先将代数式配方成的形式，再根据阅读材料解答； （3）设花园与墙相邻的边长为，即为平行于墙的边长，利用矩形的面积等于长乘以宽表示出面积，然后整理后配方，利用完全平方式大于等于0，即可求出面积最大时x的值及此时的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值，且最小值为4； （2）解：∵， 又因为， ∴当x=2时，有最大值，且最大值为； （3）解：设花园与墙相邻的边长为，则花园平行于墙的边长为， 则花园的面积 ， ∵， 时，花园的面积最大，此时花园的面积． 2．（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 3．（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 1．（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 2．（2025八年级下·浙江杭州·模拟预测）用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选C． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到必有一根为，进而求出的值即可． 【详解】解：，整理，得：， ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴方程必有一根为，即：， 故选B． 5．（2026·四川内江·模拟预测）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 6．（24-25九年级上·吉林松原·期中）一元二次方程根的判别式的值是____ 【答案】105 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，根据一元二次方程判别式公式，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程的判别式是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程， ， ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）若代数式与的值互为相反数，则的值为________． 【答案】3或 【分析】本题考查了相反数的定义和配方法解一元二次方程，解题的关键在于根据题意列出方程并利用配方法求解． 根据相反数的定义： 互为相反数的两数之和为可列方程，再用配方法解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 即， 移项，得， 两边同除以，得， 配方，得 ， 解得． 故答案为：或 8．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 9．（25-26九年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，将根与系数的关系代入整理后的条件中得，解出的值，并验证判别式非负以确保实数根存在即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， ， ∴， ， 解得． 当时，， 满足实数根条件， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 11．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：， 直接开平方：， 移项：， ∴． （2）解：， ， ， ， ， ∴． 12．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）观察下列的方程及其根： ①方程的解为，； ②方程的解为，； ③方程的解为，； ④方程的解为，； …… (1)根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题： ①方程的解为_____________； ②第个方程为_____________，其解为_____________；（用含的方程或式子表示） (2)运用上述规律直接写出的解，并用公式法解此方程加以验证． 【答案】(1)①，；②；， (2)，，见解析 【分析】（1）根据题干所给方程，找出规律求解即可； （2）根据规律即可解方程，并用公式法进行验证即可． 【详解】（1）解：方程，解为，； 方程，解为，； 方程，解为，； ①， 解为； ②第个方程为 ∴第个方程为，解为． （2）解： ∴方程的根为，， 验证如下： ，，， ， 解得，． 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【阅读理解】我们把叫做一元二次方程（）根的判别式.当一元二次方程（）有实数根时，判别式，即得到一个关于a、b、c的不等关系式，我们把利用判别式解决问题的方法叫做判别式法． 【例题示范】例：已知关于x的方程有实数根，求c的取值范围． 解：一元二次方程有实数根的条件是，即，解得． 【问题解决】 (1)关于x的方程有实数根，求t的值或取值范围． (2)用一段长16cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的长是xcm，面积是S． ①用x的代数式表示S，并将此等式整理成关于x的一元二次方程的一般形式； ②请运用判别式法求S的最大值，并求出此时x的值． 【答案】(1)t=2 (2)①，；②S最大值为16，x=4 【分析】（1）根据材料提供的思路即可解决； （2）①由题意可表示出矩形的宽，从而可得到S关于x的关系式，然后整理即可； ②根据材料提供的思路即可求得S的最大值及此时x的值． 【详解】（1）由题意得：，     整理得：， ∵， ∴t−2=0， 即t=2． （2）①由题意得：矩形的宽为， 则矩形的面积为：， 整理成关于x的一元二次方程的一般形式为：； ②由于关于x的一元二次方程有正实数解， ∴， ∴， 即S的最大值为16，此时，解得： ， 即当x=4时，S取得最大值16． 【点睛】本题是材料阅读与问题解决的问题，读懂题中提供的材料并能灵活运用是解题的关键． 14．（24-25八年级下·江西萍乡·期末）阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 15．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 学科网（北京）股份有限公司 $