河南洛阳市2025-2026学年高一下学期7月期末质量检测数学试卷

2025—2026学年高一质量检测 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 2．下列函数中，在区间上单调递减的是 A． B． C． D． 3．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则 A． B． C． D． 4．抽样调查得到20个样本数据，记作，，…，样本数据的平均数为9，方差5．现去掉一个最大值13和一个最小值5，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是 A．中位数一定不变 B．极差一定变小 C．方差一定变小 D．平均数一定不变 5．圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 A． B． C． D． 6．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为 A．， B．， C．， D．， 7．已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则 A． B． C． D． 8．若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为 A．13 B．12 C．11 D．10 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是 A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 10．已知，是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题正确的是 A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 11．如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，且，则 A． B． C．面积的最小值是 D．点到的距离为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，若复数，满足，，则________． 13．如图所示，已知，，，，用与表示，则________． 14．已知棱长为的正方体中，是的中点，动点在正方体的表面上运动，且总满足，则点的轨迹的长度为________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（12分） 某摄影兴趣班共150人，年龄分布统计如下：，45人；，55人；，50人． （1）现采用按比例分配分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ （2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？ 16．（13分） 已知为虚数单位，，是（，，）的两个根． （1）设，满足方程，求，的值； （2）设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 17．（13分） 已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． （1）求函数，的解析式； （2）求不等式的解集． 18．（13分） 中，，，分别是内角，，的对边，． （1）求角； （2）若在边上，是的角平分线，，求的值； （3）若，，，求长． 19．（13分） 已知四棱锥底面是平行四边形，，，，为正三角形，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点． （1）求证：； （2）当时， ①求二面角的余弦值； ②求直线与平面所成角的正弦值． 20．（13分） 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， ， ， ． 运用上面的公式解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，证明：； （3）函数，若对任意的恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年高一质量检测 数学试卷参考答案 一、单选题 1-4 BCDB 5-8 ADCC 二、多选题 9.BCD 10.BD 11.ABD 三、填空题 12.3-4i 13.20A+0B 14 四、解答题 5511 15.解(1)B5,45)年龄段占总体比例为：15030,3分 11 30× =11 则抽取人数为： 30人.6分 (2)由题可得150人的平均年龄约为： 50+40x55 30x4 0-000 1121 33(40岁，40.33岁，40.3岁都对)· 12分 16.解：(1)因为m,n∈R,△=m2-4n<0,所以方程x2+mx+n=0的两个根，2为共轭复 数，2分 设=a+bi,3=a-bi,(a,b∈R),由韦达定理得+2=-m,2,=n,3分 将3=a+bi,名3=a-bi代入+(1-i)2,=1-21得a+bi+(1-i0(a-b)=1-2i, 即(2a-b)-ai=1-2i 2a-b=1 a=2 所以-a=-2,解得b=3,所以3=2+31,2=2-31.5分 所以m=-(名+)=4，n=23,=13.6分 (2)因为2=1+2i,所以32=1-2i,所以=(1,2)，6=(1，-2)， 所以a+6=102)+(1,-2)=(+1,21-2) a-25=(1,2）-2(1,-2)=(-1,6),9分 因为a+6与ā-25的夹角为能角，所a+)小(6-2)<0，且a+5与ā-25不共线， [-(t+1)+6(2t-2)<0 2t- 前6+1)+(2：-2刘0，解得i日+-之，12分 服装为别》 13分 1.解：1：()是奇函数，8（是偶函数，f(-)-f(),g()=8(四，2分 2f(x)+3g(x)=9r2+4x+1,@ ∴2f(-x)+3g(-x)=9r2-4x+1,即2f()+3g()=9r-4x+1,②4分 w)-2)-n+片.6分 (2)由1)知f()=2x是R上的奇函数和增函数， 则不等武4)）+f4-5x2)0台4≤5×2-4,9分 因此4-5x2+4≤0，即(2-12-4)s0,解得1≤2≤4,11分 即-2≤x≤0，所以原不等式的解集为-2,0] 13分 2acos =b+c 18.解：(1) ,由正弦定理得： 2sinA 2COSB+ -sinB sinB+sinC sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB 即V3 sinAsinB=sinB+cosAsinB,2分 B∈(0，).sinB>0, m4os1,即m4-8引月 “A-元=亚“A=见 又0<A<π，66， 3.4分 (2)由S△MBE+SAEc=SABc得： c×Asn+)xb×4Bsn无 1 62 bcxsin 62 3,6分 .AE=1,:.c+b=3bc, ,b+e=5 bc .7分 S.e besin20 1 (3) 3 ,.bc=80,8分 ·cosB=11 V3 .sinB= 14, 14,9分 .A+B+C=π， .sinc-sin(+B)=sindcosB+cos4sin4 2142147,10分 b sinB 5 c sinC 8. :b=52,c=82,11分 X*D-3010年=22 在△ACD中，由余弦定理得： CD=AC+AD-2ACADs =(5W2+(22-2x52x2W2x=38 :.CD=V38.13分 19.解：(1)取AD中点G,连接GF,GP,△PAD为正三角形，.PG⊥AD,1分 在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60°=3， 则AD+BD2=AB2,即AD⊥BD,2分 设BDOAE=0由DEAB,DE=B 2得A0=2OE, 由F为线段AE上靠近A的三等分点，得F是线段AO的中点，3分 .GFIBD,∴.AD⊥GF,4分 而PG∩GF=G,PG,GFc平面PGF,因此AD⊥平面PGF, 又PFc平面PGF,所以AD⊥PF.5分 (2)①由(1)知，PG⊥AD,GF⊥AD,则∠PGF是二面角P-AD-B的平面角，6分 由(I)得AD⊥PF,又PF⊥AE,AE∩AD=A,则PF⊥平面ABCD, PG-3 GF-1DO=1D8- 在Rt△PGF中， 2, 2 6 6, 所以二面角P-AD-B的余弦值是 os∠PGF=GF1 -PG3.8分 ②在Rt△PGF中， PF=PG2-GR26 3 连接FC,由(I)可得AE=BD=V5, 在△EFC中， FC2=FE+EC-2FE.ECeos150=13 在Rt△PFC中，PC=VPF2+FC2=V5,10分 设点C到平面PAD的距离为d, 由'e-PD=Vp-4cD,得3 Sonod-j5aoF xxdx2x 1 1 -X 3 ,则4 2 23 2W6 d= 解得3,12分 d2V30 所以直线PC与平面PAD所成角的正弦值为PC15.13分 20.解：(1)可知 cos(a+p)cos(a-B)-(cos2@+c0s2p) =2cosa-1+1-2sin'p月）=cosa-sinp 结合已知条件可得 cosa-sin2B=3.4分 (2)东边2[os(B-）-cos(2a+B+y刃 I r =[os(B-7）cos(a+元-】 =cos(B-+cos(a-o】.6分 右eua-o)cta+oj]+co(--c-刃，分 -[cos(@-@)+cos(B-y)]-[cos(@+@)+cos(B+y)] 因为a+B+y+0=元，所以cos(a+O)+cos(B+y）=0 i故sin(a+B)s小in(a+7）=sinsn+sinpsiny,8分 可哈升 =asinx-cosx≥2 恒成立， 2+cosx 元2π a≥ X∈ 则sinx对任意的 L2'3]恒成立，10分 sin 2+cosx 2sin）月 sin2+2cosx月 2 sinx 2sin。cos。 2 2 2 sin 2 2 3+tan2x 2sin ~cos 2tan 2 2 2,11分 xππ t=tan 02,因为243，则 1=tam芳e[,5] 2 3+1,5 3 3.t y= y= 十 易知2t2在L 单调递减，则21'2的最大值为2,12分 所以实数a的取值范围为[2，+o）. 13分