第三章特殊一元一次不等式单元测试卷 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦特殊一元一次不等式，通过真实情境与梯度问题设计，覆盖概念、性质、应用及综合拓展，适配初中数学单元复习，强化模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|不等式概念（题1）、性质应用（题2）、实际情境（大同燃放烟花题3）|结合社会热点，基础概念与生活应用结合| |填空题|6/18|实际问题列不等式（商品打折题12）、解集数轴表示（题13）|强化数学表达，衔接几何直观| |解答题|8/72|新定义“琅琊解”（题23）、工程问题（题24）、捐款统计（题20）|综合考查模型构建与推理，体现分层设计|

第三章特殊一元一次不等式单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，掌握含有不等号（如＞、＜、≠、≥、≤）的式子是不等式成为解题的关键． 根据不等式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式； ②，含“＞”号，属于不等式； ③，含“=”号，属于等式，不是不等式； ④是代数式，不属于不等式； ⑤，含“≠”号，属于不等式； ⑥，含“＞”号，属于不等式． 综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选C． 2．若，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A选项，，不等式两边同乘，不等号方向改变，得，不等式两边同加，得，A一定成立． 对于B选项，，不等式两边同加，不等号方向不变，得，B一定成立． 对于C选项，当，时，满足，但，，此时，C不一定成立． 对于D选项，，不等式两边同除以，不等号方向改变，得，D一定成立． 3．幸福之城——山西省大同市，2025年在过年期间，规定在指定地点，允许燃放烟花，那么已知导火线的燃烧速度是，你点燃后跑开的速度为，为了点火后跑到及以外的安全地带，则导火线至少应有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算人跑到安全区域所需的时间，再结合导火线燃烧速度列不等式求解. 【详解】解：首先计算人跑到安全地带需要的时间， 人的跑步速度为，安全路程为， 人跑到安全地带所需时间， 为保证安全，导火线燃烧时间至少等于人跑完全程的时间， 导火线燃烧速度为，设导火线长为， ∴， ，即导火线至少应有. 4．关于x，y的方程组满足不等式，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把方程组中两个方程的左右两边分别相减得到，则可推出，再根据题意建立关于m的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于x，y的方程组满足不等式， ∴， ∴． 5．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解二元一次方程组，得到用表示的表达式，再根据列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， ①②得：，即， 又∵ ， ∴ ， 解得 ． 6．某地政府批了一块面积为的地块，准备建造若干幢楼房，每幢楼5层，共300套公租房．要求只建的两室两厅和的两室一厅两种户型，且建楼的土地面积不超过总土地面积的．求的户型最多可以建多少套？设的户型可以建套，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设的户型建套， ∴的户型建套， ∵每幢楼共5层，建楼土地面积为底层占地面积，因此总建楼占地面积等于所有户型总建筑面积除以5， ∴套户型对应的建楼占地面积为，套户型对应的建楼占地面积为， 又∵建楼的土地面积不超过总土地面积的，总地块面积为， ∴． 7．已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的整数解共有4个 ∴满足条件的四个整数解为 要使整数解恰好为4个，需满足． 8．某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“原本未达到满减，加购元后满足满减优惠”列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵小王需要加购商品才能满足优惠条件，说明原本元未达到满减门槛，加购后总金额满足满减要求， ∴可得不等式组 ， 解得， ∴的取值范围是． 9．已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【答案】B 【分析】先根据已知等式将b，c用含a的代数式表示，再代入不等式求出a的取值范围，最后将所求整理为关于a的一次式，结合a的范围计算最大值即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴，解得， ， ， ， 即的最大值为41． 10．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若，且，是正整数，则的值是______． 【答案】1 【分析】根据不等式的性质判断出的符号，再结合为正整数的条件即可求出的值． 【详解】解：，且， ， 解不等式得， 又是正整数， ． 12．某种商品进价为400元，标价600元销售，商场规定可以打折销售，且利润率不能低于，这种商品最多可以打几折？设这种商品按标价的售出，根据题意可列不等式__________________． 【答案】 【分析】先表示出商品的实际售价和利润，再结合“利润率不低于即利润不低于进价的”列出不等式，用到利润和利润率的基础计算方法． 【详解】解：已知商品进价为400元，标价为600元，按标价的售出， 因此实际售价为元，利润为售价减进价，即元． 根据利润率不能低于，可得利润不低于进价的，即利润不小于， 因此可列不等式：． 13．一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的所有整数解的和为__________． 【答案】 0 【详解】解：由图知，整数解有，则． 14．振兴中学初一年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送本，则还余本；如果每人送本，则最后一人能得到课外读物但不足本．设初一年级有名学生获奖．则列不等式组为___________． 【答案】 【分析】先根据题意表示出课外读物的总本数，再根据“最后一人能得到课外读物但不足本”提取不等关系，列出不等式组即可. 【详解】解：设初一年级有名学生获奖 列不等式组得：． 15．已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为________． 【答案】 【分析】用表示不等式的解集为，由数轴得出不等式的解集为，可得，解方程求出的值即可． 【详解】解： 去分母得，， 移项得，， 由数轴可知，不等式的解集为， ∴， 解得：． 16．学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 【答案】或或或或 【分析】先列方程求出原计划办公椅和会议桌的购买数量，再设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元，根据题意列出等式，变形得，由题意可知，从而得到关于的不等式，求解并判断其中的整数解即可． 【详解】解：设原计划购买办公椅把，则计划购买会议桌张， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴会议桌购买数量为（张）， 设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元， 根据题意可得：， ∴， ∵会议桌降价幅度不超过原价的， ∴，即， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， ∴，，，，， ∴学校实际购买了办公椅为或或或或把． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．【阅读理解】 在证明命题“如果、、、都是正数，且，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：，是正数， ________． ，是正数， ________． （不等关系具有传递性）． 【问题解决】 (1)请将上述的证明过程填写完整； (2)若，是负数，请求证． 【答案】(1)， (2)证明：，是负数， ， ，是负数， ， ，是负数， ∴， ． 【分析】（1）根据不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变得到，，进而根据不等式的传递性可证得结论； （2）根据不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变得到，，进而根据不等式的传递性可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 18．计算： (1)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来； (2)解方程：． 【答案】(1)，不等式的解集在数轴上表示如图所示， (2) 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以-11，得， 不等式的解集在数轴上表示：略 （2）解：方程的两边都乘，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 19．小明同学参加了一次智力竞赛，共回答了20道题，题目的评分标准是这样的：答对一题加5分，一题答错或不答倒扣1分．如果在这次竞赛中小明的得分要超过70分，那么他至少要答对多少题？ 【答案】小明至少要答对16道题 【详解】解：设小明答对x道题，则答错或不答（）道题， 由题意得：，解得， 为正整数，的最小值为16， 答：小明至少要答对16道题． 20．在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表： 班  级 人数 捐款总额（元） 人均捐款额（元） （1）班 （2）班 合计 80 900 11.25 小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息： 信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元； 信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元； 请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题： (1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？ (2)六（2）班的学生数至少是多少人？ 【答案】(1)六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元 (2)38人 【分析】（1）设六（1）班的捐款额为元，从而可得六（2）班的捐款额为元，再根据合计总捐款额为900元建立方程，解方程即可得； （2）先求出六（1）班学生数最多不超过42人，再根据合计的学生总人数即可得出答案． 【详解】（1）解：设六（1）班的捐款额为元，则六（2）班的捐款额为元， 由题意得：， 解得， 则， 答：六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元； （2）解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元， 所以六（1）班学生数最多不超过（人）， 所以六（2）班学生数至少是（人）， 答：六（2）班的学生数至少是38人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的应用，正确建立方程和理解不等式的概念是解题关键． 21．一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： (1)的解集为__________，的解集为____________________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）对于第一空，仿照例题画数轴求解即可；对于第二空，设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集即可得到答案； （2）把方程组中的两个方程的左右两边分别相加推出，则；设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集，进而求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，不等式的解集为 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集是或 ∴或， ∴或； （2）解： 得， ∴； ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足， ∴； 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集为， ∴， ∴， ∴m的整数值为． 22．已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数． (1)求的取值范围； (2)当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件 的的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先利用加减消元法解方程组，即用a分别表示x和y，接着根据，得到不等式组，然后解不等式组得出a的范围； （2）先利用解集为，通过解不等式得到，接着求出a的取值范围，然后写出此范围内的整数即可． 【详解】（1）解：①＋②，得 ②－①，得 且， 解得． （2）解：， ． ， ． ． 由（1）可知， 且为整数． ． 23．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“琅琊解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“琅琊解”． (1)是方程和下列不等式_______的“琅琊解”；（填序号） ①；②；③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”，求的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”，且不等式组的正整数解有4个，试求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)，10 (3) 【分析】（1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，再根据整数解的个数，列不等式求解． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； （2）解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”， 是不等式组的解， 把代入不等式组得， 解得，   ，， ； （3）解：由方程得， 解不等式组得， ∵不等式组的正整数解有4个， ∴不等式组的正整数解为1、2、3、4， ， ，   又∵关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”， ， ， 综上：的取值范围为． 24．某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【答案】(1)A队施工12天，B队施工15天 (2)A队至多施工12天 (3)A工程队施工天数为16天 【分析】（1）设A队施工天，则B队施工天，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设队施工天，B队施工天，由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设A队施工天，则B队施工天，由题意得： ， 解得：； 答：A队施工12天，B队施工15天 （2）解：设队施工天，B队施工天，由题意得： ， ∴， ∵完工时队施工天数少于队， ∴， 解得：， ∵是正整数，且是的倍数， ∴的最大值为； 答：A队至多施工12天 （3）解：由题意得： ， 得：， ∴， ∵，即，， ∴， 解得：， ∵取正整数， ∴， 答：A工程队施工天数为16天． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第三章特殊一元一次不等式单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.在03>0，②3 3x+4y>0 0,=3：④ x2+xy+y2 .x+2>y+3 中，属 于不等式的有() A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 2.若x>少，则下列结论中不一定成立的是() A.1-x<1-yB.x+2>y+2 C.x2>y2 3.幸福之城一一山西省大同市，2025年在过年期间，规定在指定地点，允许燃放烟花， 那么已知导火线的燃烧速度是0.7cm/s,你点燃后跑开的速度为5m/s,为了点火后跑到 10m 及以外的安全地带，则导火线至少应有() A.1cm B.1.2cm C 1.4 cm D 1.6cm (3x-y=m 4.关于x,y的方程组x+y=4满足不等式x-y<2,则m的取值范围是() A.m<8 B.m<-8 C.m>8 D.m>-8 x+y=2k 5.若关于x,y的二元一次方程组x-y=4的解满足x>1,则k的取值范围是() A.k>0 B.k>-1 C.k>1 D.k>2 15000m2 6.某地政府批了一块面积为 的地块，准备建造若干幢楼房，每幢楼5层，共300 90m2 60m2 套公租房.要求只建 的两室两厅和 的两室一厅两种户型，且建楼的土地面积不 90m2 90m 超过总土地面积 30%.求 的户型最多可以建多少套？设的户型可以建套， 则可列不等式为() 试卷第1页，共3页 90x+60(300-x)≤15000×30% A 90x+60(300-x)≥15000×30% B C.90x5+60×300-x≥15000×30% 5 D.90×5+60x30-≤1500×30% 5 5 x-a≥0 7.已知关于x的不等式组3+x<0的整数解共有4个，则a的取值范围是() A.-8<a<-7 B.-8≤a<-7 C.-8<a≤-7 D.-8≤a≤-7 8.某商店促销优惠，每单消费满299元减30元.小王在该店铺内已选购了a元的商品，为 满足优惠条件，又加购了一件12元的商品.则a的取值范围是() A.269<a<299 B.269≤a<299 C.287≤a<299 D.287<a<299 9.已知实数a,b,c满足a+b=8,c-a=1.若a+2b≥0，则2a+b+c的最大值为 () A.40 B.41 C.48 D.50 10.己知实数x,少，z满足x+y=3,x-2=6.若x之4y,则x+y+z的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每题3分，共18分） 1,若>y,且m-2)x<(m-2少，m是1正整数，则m的值是 12.某种商品进价为400元，标价600元销售，商场规定可以打折销售，且利润率不能低 于20%，这种商品最多可以打几折？设这种商品按标价的10售出，根据题意可列不等式 13,一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的所有整数解的和为- 试卷第2页，共3页 2013 14.振兴中学初一年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读 物准备送给他们，如果每人送4本，则还余9本：如果每人送5本，则最后一人能得到课外 读物但不足2本.设初一年级有x名学生获奖.则列不等式组为 x-m 15.已知关于x的不等式3>1的解集如图所示，则m的值为 2-10 23 16.学校计划购买办公椅和会议桌共140件，以改善教师办公环境.计划中，办公椅每把 120元，会议桌每张200元，总预算21600元.实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折， 会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的5%.最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量 不变，实际支出比计划多240元.则学校实际购买了办公椅 把. 三、解答题（每题9分，共72分) 17.【阅读理解】 在证明命题“如果a、b、c、d都是正数，且a>b,c>d,那么ac>bd”时，小明的证 明方法如下： 证明：a>b,c是正数， .∴.ac> c>d,b是正数， ∴.bc> ∴.ac>bd(不等关系具有传递性)· 【问题解决】 (1)请将上述的证明过程填写完整： (2)若a<b,b是负数，请求证a2>b2. 18.计算： (1)解不等式： 2x=1-125x+1 3 2，并把它的解集在数轴上表示出来： 3 3x (2)解方程： =2+ x-11-x 19.小明同学参加了一次智力竞赛，共回答了20道题，题目的评分标准是这样的：答对一 试卷第3页，共3页 题加5分，一题答错或不答倒扣1分.如果在这次竞赛中小明的得分要超过70分，那么他 至少要答对多少题？ 20.在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款，其中六年级的两个班级的捐款情况如下 表： 捐款总额 班级 人数 人均捐款额（元） (元) (1) 班 (2) 班 合计 80 900 11.25 小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息： 信息一：六(2)班的捐款额比六(1)班多60元： 信息二：六(1)班学生平均每人捐款的金额不小于10元； 请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题： (1)六(1)班和六(2)班的捐款总额各是多少元？ (2)六(2)班的学生数至少是多少人？ 21.一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.结合数轴观察： x<3 解不等式 x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是3<x<3 解不等式小3 x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是<-3或 x>3 -3<r<3 r-3 >3 -5-4-3-2-1012345 -5-4-3-2-1012345 图1 图2 解答下面的问题： a<2 x-3>5 解集为 的解集为」 试卷第4页，共3页 2x-y=8m+1 (2)已知关于x,y的二元一次方程组x+4y=-2m+2的解满足x+川≤4，求m的整数值； x-2y=4a-6① 22.已知关于x,y的二元一次方程组x+2y=2a+8②的解满足x≥2y且y是非负数。 (1)求a的取值范围： (2)当a为整数时，不等式ar-3x-a>-3的解集为x<1,求满足所有条件的a的值. 23.定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等 式（组）的“琅琊解”. 例：已知方程2x-3=1与不等式x+3>0,方程的解为x=2,使得不等式也成立，则称“ x=2”为方程2x-3=1和不等式x+3>0的“琅琊解”. (1)x=-1是方程2x+3=1和下列不等式 的“琅琊解”；（填序号） 0-1:@2+到4：⑧< 3 3x-2y=3a+2 x>y-5 (2)若关于x,y的二元一次方程组2x-y=a-5和不等式组x-y<1有“琅琊解”，求 a的取值范围，并化简 a+9+a-1 [2x+3≥2b+1 (3)若关于x的方程x-4=-3b和关于x的不等式组x-1<4有“琅琊解”，且不等式 组的正整数解有4个，试求b的取值范围。 24.某地打造运河风光带，交由A，B两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工 程.己知A工程队每日清理15米，B工程队每日清理8米，A,B两队施工天数均为正整 数. (1)若A,B两队各自施工的天数之和为27天，求A,B两队分别施工多少天： (2)若完工时A队施工天数少于B队，求A队至多施工多少天： (3)A队施工a天，B队先按原有效率施工b天，之后提升清理效率，改为每日清理I0米， 继续施工c天.若两队合作完成全部清理任务，a,b,c均为正整数且a+b+c=23,求 A工程队的施工天数. 试卷第5页，共3页