法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 以线框、单杆、双杆模型为核心，系统提炼电磁感应问题的分段规律、运动情景及守恒思想，构建“模型分类-方法归纳-变式应用”的完整解题体系，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线框模型|3例+3变式|感生/动生电动势分类、进出磁场分段分析、电荷量/焦耳热结论|从磁场变化与线框运动双维度，推导磁通量变化规律，建立几何与运动学关联| |单杆模型|3例+3变式|收尾速度公式、动量定理处理变加速、倾斜导轨受力分析|基于电动势公式，结合牛顿定律与能量观点，构建单杆运动的动态过程分析框架| |双杆模型|3例+3变式|电动势叠加规则、动量守恒/加速度相同分类、系统能量转化|通过两杆相对运动分析总电动势，运用动量与能量守恒解决复杂系统问题|

法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 考点目录 法拉第电磁感应定律的应用：线框模型 法拉第电磁感应定律的应用：单杆模型 法拉第电磁感应定律的应用：双杆模型 考点一 法拉第电磁感应定律的应用：线框模型 核心知识点 1. 两类出题形式 ① 磁场变化（感生电动势）：面积不变，随时间变，； ② 线框平动进出磁场（动生电动势）：恒定，有效面积变化，。 1. 进出磁场分段规律（矩形线框匀速/变速穿过有界匀强磁场） · 进入磁场：一边切割磁感线，产生感应电流，安培力向左阻碍进入； · 完全在磁场内：磁通量不变，，，无安培力； · 离开磁场：对边切割，电流反向，安培力仍阻碍运动。 1. 常用配套结论 · 电荷量：进出同一磁场全过程总磁通量变化相等，总电量相等； · 匀速运动：外力与安培力平衡，外力功率等于热功率 ； · 无外力仅安培力：线框减速，速度、电流、安培力同步减小。 1. 几何要点：有效切割长度为线框垂直运动方向边长。 例1．（25-26高二下·广东广州·期末）如图甲所示，水平放置的平行轨道间距为，以轨道上点为原点，沿轨道向右为轴正方向建立坐标系。区域内充满不随时间变化的恒定磁场，方向垂直轨道平面竖直向上，磁感应强度与的关系如图乙所示（已知）。将质量为、边长为、电阻为的匀质正方形闭合金属框放置在轨道上，边在磁场外与磁场左边界距离为。一轻绝缘绳跨过轻质定滑轮，将金属框与质量也为的物块相连，滑轮左侧轻绳水平。将金属框由静止释放，恰好全部进入磁场瞬间的速度为。已知轨道绝缘、足够长且不可移动，忽略一切摩擦，磁场左边界（图中点虚线位置）与轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，边始终保持与轨道垂直，重力加速度大小为，不计自感。 (1)金属框从释放到恰好全部进入磁场过程中，产生的焦耳热； (2)金属框从释放到恰好全部进入磁场经历的时间； (3)从金属框恰好全部进入磁场开始计时，为使金属框保持匀速运动，需对金属框施加水平向左的外力，求与时间的关系。 【答案】(1) (2) (3)（）；（） 【详解】（1）从释放到金属框恰好全部进入磁场过程中，由能量守恒 得 （2）金属框进入磁场过程中，金属框中的瞬时电动势 电流 受到的安培力向左，安培力的冲量 对金属框有 对物块 联立得 （3）当边到达位置坐标为时，边的位置坐标为，由 可得边到达处时， Ⅰ：过程中，边处的磁场，边处的磁场为 该过程中，金属框产生的电动势 金属框受到的安培力水平向左，大小为 由平衡条件 联立得 Ⅱ：过程中，边处的磁场，边处的磁场为 金属框产生的电动势为定值 金属框受到的安培力大小恒定， 有恒定值 综上：（），（） 例2．（25-26高二下·天津·期末）光滑斜面倾角为θ＝30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区域磁感应强度大小相等。边长为a的正方形线框质量为m，电阻为R，Ⅱ区域磁场宽度及两区域间无磁场区域的宽度均大于线框边长。线框从某一位置释放，下边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到上边离开Ⅰ区域时速度恒为v，当下边进入Ⅱ区域时的速度和上边离开Ⅱ区域时的速度相等。已知线框的上下边，两磁场区域的上下边界均平行于斜面底端，重力加速度为g。求： (1)两区域磁场的磁感应强度B的大小； (2)线框通过Ⅰ区域产生的焦耳热Q； (3)线框通过Ⅱ区域所用的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）线框通过Ⅰ区域时速度恒为，做匀速运动，沿斜面方向受力平衡：重力分力等于安培力。感应电动势 感应电流 安培力 平衡条件 代入整理得 （2）线框通过Ⅰ区域过程初末速度均为，动能不变，说明一直受安培力作用，则线框下边出磁场时，上边刚好进磁场，则Ⅰ区域磁场宽度为。 由能量守恒：重力势能的减少量全部转化为焦耳热。从下边进入Ⅰ到上边离开Ⅰ，线框沿斜面下滑距离为，重力做功 因此 （3）由题意，下边进入Ⅱ区域的速度与上边离开Ⅱ区域的速度相等，因此线框通过Ⅱ区域过程动量变化为，沿斜面方向由动量定理可得 安培力的冲量 其中感应电荷量 线框通过Ⅱ区域总磁通量变化，因此 整理得 将代入动量定理表达式得 化简得 例3．（25-26高二下·重庆·期末）如图所示，一倾角为的光滑绝缘斜面和光滑绝缘水平面平滑连接，在斜面上存在三个宽度均为d =0.1m的区域，区域边界均平行于斜面底边EF，区域Ⅰ、Ⅲ有垂直于斜面向下的匀强磁场，区域Ⅱ有垂直于斜面向上的匀强磁场，三个区域的磁感应强度大小均为B =3T。水平面上在虚线MN（MN连线平行于EF且ME间距大于d）右侧存在不随时间变化的恒定的磁场，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小与到MN的距离x之间满足（B0=2T，k =10T/m）。一个边长也为d=0.1m，质量m=0.18kg，电阻R=0.1Ω的单匝正方形金属线框，某时刻从斜面上某一位置处由静止释放。线框的CD边刚要离开区域Ⅲ下边界时，线框加速度恰好为0，速度大小为。当线框AB边刚到MN时，速度大小为，从此时起立刻对线框施加水平向右的作用力F，保证线框做匀速直线运动。已知在运动过程中线框AB边始终平行于斜面底边，取。 (1)求速度的大小； (2)求线框从静止释放到CD边离开区域Ⅲ，所需要的时间； (3)如果以线框AB边刚到MN边界时作为t=0时刻，分析水平外力F随时间t变化的规律。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）依题意，线框的边刚要离开区域Ⅲ的下边界时，线框加速度恰好为0，分析线框的受力，有 其中，， 联立解得 （2）线框进入区域Ⅰ的过程中，设所需时间为，平均速度为，由冲量定义式，有安培力冲量大小 其中， 联立解得 从线框边到达区域Ⅱ的上边界，到线框边到达区域Ⅲ的下边界的过程中，设所需时间为，平均速度为 边和边所受安培力的总冲量大小 其中，， 联立解得 线框边从区域Ⅲ的下边界，到线框边离开区域Ⅲ的过程中，设所需时间为，平均速度为 安培力冲量大小 其中， 联立解得 线框从静止释放，到边离开区域Ⅲ的过程，由动量定理，有 解得 （3）依题意，线框在右侧做匀速直线运动 ①线框水平进入磁场的过程中，只有边切割磁感线产生感应电流，也只有边受到安培力的作用，有，其中，，，，， 联立解得 ②线框全部进入磁场后，、边同时切割磁感线，设某时刻线框边所在处的磁感应强度为，线框边所在处的磁感应强度为，根据，有， 根据平衡条件，有，其中， 联立解得 变式1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图所示，一倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面内两水平且互相平行的虚线之间存在垂直斜面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，绕过定滑轮的绝缘轻质不可伸长细绳一端与物块A相连，另一端与正方形金属线框C相连，开始时线框C被锁定在斜面上，其上边框恰好处于磁场的下边界处。已知线框C的边长为L，电阻为2R，物块A和线框C的质量都为m，磁场区域的宽度为d（d>L），物块A离地面足够高，重力加速度为g。现解除锁定，物块A向下运动，且线框C恰能匀速通过磁场的上边界，求： (1)线框C匀速通过磁场上边界的速度大小； (2)线框C通过磁场下边界的过程中产生的焦耳热； (3)从解除锁定到线框下底边刚好出磁场，线框运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）线框匀速运动时，对A受力分析 对C受力分析 感应电动势 感应电流 安培力 联立可得 （2）线框通过磁场下边界即进入磁场的过程，仅该过程产生焦耳热；完全进入磁场后磁通量不变，无感应电流，无焦耳热。 从解除锁定到线框上边框到达磁场上边界（速度为），总位移为，由能量守恒 代入第一小问中的速度，可得 （3）对全过程用动量定理，初动量为0，末动量为，总位移沿斜面向上为 ， 安培力的冲量 代入已知条件，可得 变式2．（2026·浙江杭州·模拟预测）2025年9月22日，我国福建舰（舷号18）舰载机完成首次电磁弹射训练，这标志着中国空军歼-35等战斗机具备了更强的远程打击能力。在此启发下，某实验小组设计装置，研究电磁弹射和电磁阻尼实验。如图所示，质量均为、长度均为、电阻均为的金属棒、、、静置于水平且平行的光滑金属导轨上，导轨间距为。导轨被、处的光滑绝缘小段分隔成左右两区：左区导轨平面内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为；右区存在变化的磁场，其磁感应强度大小与点的水平距离满足关系式：，其中为常量。储能装置由电源与电容器组成，电源电动势为，电容器电容为C。单刀双掷开关先投向1，电容器充电完成后再将开关投向2，随即向右弹射，到达左、右区分界处时，与“线框”发生完全非弹性碰撞，而后一起向右运动。已知导轨电阻不计且左右两区均足够长，各金属棒始终与导轨接触良好且、始终与导轨垂直。不考虑空气阻力，求： (1)电容器充电完成后的电荷量； (2)金属棒可获得的最大速度； (3)若已知金属棒质量为，长度，电源电动势为，电容器电容为，，，。求金属棒最终停下的位置与点的水平距离。 【答案】(1)CE (2) (3)10m 【详解】（1）电容器充电完成后，两端电压等于电源电动势E，根据电容的定义式 所以，电容器充电完成后所带的电荷量为q = CE （2）开关投向2后，电容器放电，金属棒PQ受到安培力作用加速。当PQ的感应电动势等于电容器剩余电压时，电流为0，速度达到最大。 设此时电容器剩余电荷量为q'，则 对PQ应用动量定理，有 其中 联立可得 （3）代入已知数据可得，PQ碰撞前的速度 根据动量守恒有 线框在位置x处时，左右两边的磁感应强度分别为， 感应电动势为 线框总电阻为4R，但MS和OT两个边与轨道接触，轨道无电阻，MS和OT两个边被轨道短路了，故回路中的总电阻为 感应电流为 安培力大小为 对整体应用动量定理有 解得 代入数据，解得xm = 10m 变式3．（2026·江苏镇江·二模）如图甲所示，磁悬浮电梯依据电磁学原理实现轿厢悬停与上下运动，其模型可简化为如图乙所示：两根相距的平行绝缘竖直导轨，处于垂直导轨平面、等距相间分布且方向相反的匀强磁场中，磁场磁感应强度，各磁场区间长为d。电梯轿厢内固定一宽为L、长为d、总电阻的竖直单匝长方形闭合金属线框，、沿导轨方向，、垂直导轨且始终在相反磁场中。当磁场以的速度匀速向上运动，轿厢受移动磁场驱动从地面由静止启动，经过一段时间轿厢达到最大速度并匀速运动。轿厢匀速上行一段时间后让磁场向下匀速运动从而使轿厢制动，从开始制动到轿厢速度减为零用时，轿厢位移。已知轿厢总质量，忽略运行阻力与金属框电感，导轨足够长，。求： (1)启动瞬间金属线框的热功率P； (2)电梯轿厢向上运动最大速度的大小； (3)制动过程磁场向下匀速运动的速度v的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）感应电动势的大小为 感应电流大小为 金属线框的热功率为 （2）电梯轿厢向上运动达到最大速度后受力平衡 感应电动势为 感应电流为 联立解得 （3）制动开始后，感应电动势 其中为制动过程中的轿厢的速度，故轿厢在制动开始后某一时刻所受安培力为 制动开始后极短时间，对轿厢列动量定理 累加可知 解得 考点二 法拉第电磁感应定律的应用：单杆模型 核心知识点 1. 模型构成：光滑/粗糙平行导轨 + 一根可滑动导体棒，导轨接定值电阻，棒自带内阻。导体棒为电源。 1. 两种电动势来源 · 平动切割：瞬时电动势 ； · 变力、变加速过程用平均电动势求电量、能量。 1. 三大典型运动情景 ① 恒定外力拉动：安培力随速度增大而增大，加速度减小，做加速度减小的加速运动，最终达到收尾匀速； ② 无外力、给初速度：安培力为阻力，减速至静止； ③ 倾斜导轨：重力分力、安培力、摩擦力共同参与受力。 1. 核心衍生公式 收尾速度：； 动量推论（变加速必用）：。 例1．（25-26高二下·云南昭通·期末）如图甲所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图乙所示的磁场，时磁场方向垂直纸面向里。在到的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；时，释放金属棒。金属棒质量为m，重力加速度为g，整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，求： (1)在时，金属棒受到安培力的大小； (2)金属棒释放后运动的最大速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在内金属棒固定，回路面积，磁感应强度变化率大小为 由法拉第电磁感应定律得感应电动势 回路电流 在时，磁感应强度大小，金属棒受到安培力大小 （2）金属棒释放后，磁感应强度大小保持为。设金属棒向下速度为，动生电动势 回路电流 安培力方向向上，大小 速度最大时加速度为零，金属棒受力平衡，有 解得 例2．（25-26高二下·福建福州·期末） 如图甲所示，两平行长直金属导轨水平放置，间距。PQ右侧区域有匀强磁场，磁感应强度大小，方向竖直向上。时，磁场外的细金属杆M以的速度向右运动，时，细金属杆M恰好到达PQ处，同时，对磁场内处于静止状态的细金属杆N施加一与轨道平行的水平向右的恒力，其大小。N杆运动2s后两杆速度相等，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直，细金属杆M速度随时间变化的图像如图乙所示，两杆质量均为，与导轨间的动摩擦因数相同，在导轨间的电阻均为，感应电流产生的磁场忽略不计，取重力加速度。求： (1)金属杆与导轨间的动摩擦因数； (2)为保证两杆不发生碰撞，初始时金属杆N到边界PQ的最小距离； (3)金属杆N最终运动的速度大小，并在乙图中作出金属杆N速度随时间变化的图像； 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由图像得加速度为 对M棒，根据牛顿第二定律有 解得 （2）对M、N棒组成的系统，因有 所以系统动量守恒。设M棒刚进入磁场的速度为，共速的速度为，有 解得 对N棒，根据动量定理有 根据法拉第电磁感应定律及闭合电路欧姆定律有 联立解得 （3）M、N棒运动全过程，有 M、N棒最终在水平面做匀速直线运动，有 解得， 作出金属杆N速度随时间变化的图像如图 例3．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）为探究磁悬浮列车低速段电磁制动规律，实验小组搭建了如图模型装置∶斜轨与足够长的水平轨平滑连接，间距为。质量为的金属杆始终垂直导轨，导轨左端经开关接阻值为的电阻。金属杆从距水平轨道高度处由静止释放，滑至时立即闭合开关。水平轨依次分为三个区域∶为长、磁感应强度为的预制动区；为长、磁感应强度为的强制动区；为无磁弹簧缓冲区。弹簧右端固定，左端自然位置在与的交界处，劲度系数为，弹簧最大允许压缩量为。要求金属杆通过末端时速度满足，其中（未知）为金属杆到达点时的速度。MN与轨道的电阻不计，忽略一切阻力，。 (1)求开关刚闭合时，金属杆所受安培力的大小； (2)设区域中电阻上产生的焦耳热为金属杆到达末端时的动能的3倍。则该设计对应的磁感应强度； (3)实际工程中，由于磁场控制系统可能整体偏弱，、区域中实际磁感应强度均为设计值的倍，其中。要求金属杆通过末端时仍满足上述速度条件，且弹簧最大压缩量不超过。则磁场控制系统允许的最大相对偏弱误差。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）金属杆从斜面滑至点的过程中，忽略一切阻力，机械能守恒 刚闭合开关时，金属杆切割磁感线产生的感应电动势 根据闭合电路欧姆定律，回路中的感应电流 金属杆所受的安培力大小为 （2）在区域中，安培力做负功，金属杆的动能转化为电阻上的焦耳热。设到达末端时速度为，由能量守恒定律有 依题意，区域产生的焦耳热是末动能的3倍，即 代入上式可得 在区域对金属杆应用动量定理 又因为通过截面的电荷量 代入上式得 解得设计对应的磁感应强度平方为 （3）设实际磁场强度偏弱后的比例系数为（其中 ） 在区域，磁感应强度变为。设金属杆通过末端的速度为，应用动量定理推论 将（2）中求得的代入 为了满足末端速度条件 解得。由于，故必须满足 接着，金属杆进入区域，长度为，磁场变为。设出区域的速度为，同理应用动量定理推论 可得进入缓冲区的速度 在区域，金属杆压缩弹簧，机械能守恒。要求最大压缩量 因此有 由题干已知，由于，故 将其代入不等式 化简解得对进入缓冲区速度的极值限制为 将的表达式代入 解得 综合两个阶段对的限制：和。由于，所以安全制动的决定性条件为 由于，则 故系统允许的最大相对偏弱误差为 变式1．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨足够长且电阻不计，导轨间距l＝0.5m，左端接有阻值R＝0.3Ω的电阻，一质量m＝0.1kg，电阻r＝0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.4T．棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以a＝2m/s2的加速度做匀加速运动，当通过电阻R的电荷量为q＝4.5C时撤去外力，之后棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1.棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求： (1)棒在匀加速运动过程中的位移大小x； (2)撤去外力后金属棒MN上产生的焦耳热QMN； 【答案】(1)9m (2)0.45J 【详解】（1）棒在匀加速运动中，磁通量变化量 平均电动势 则 通过电阻R的电荷量 解得 （2）棒在匀加速运动过程中有 解得 从撤去外力到棒最终停下来的过程，由动能定理得 解得 则撤去外力后金属棒MN上产生的焦耳热 变式2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）在倾角为θ的足够长绝缘斜面上铺设如图所示的金属导轨，顶端OA1、OA2为“”形，D1与D2是两条足够长平行金属导轨的上端点。两电阻不计的平行直金属丝A1D1、A2D2将金属导轨“”形轨道和D1、D2连接，C1、C2是其中间对称的两点。在C1C2上方区域均存在垂直导轨平面向外的匀强磁场B1，D1D2下方区域存在沿导轨平面向上的匀强磁场B2，其他部分无磁场。质量为m的导体棒PQ在导轨上运动，它与D1D2下方区域的动摩擦因数为µ，其余部分摩擦不计，运动过程中始终保持与A1A2平行。已知金属导轨单位长度的电阻为λ，其余电阻均不计，OA1、OA2及导轨间距A1A2均为d且d=2m，m=0.8kg，λ=0.5Ω/m，µ=0.5，θ=30°，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，两磁场互不影响。 (1)若B1=1T，金属棒PQ从“”形轨道上端O点开始，在沿外力作用下以v=1m/s的速度沿导轨匀速下滑，滑至A1A2处撤去外力。 ①求PQ到达A1A2处的瞬间，回路中感应电流的大小与方向； ②若PQ滑过A1A2后下滑x=3.6m再次达到匀速（未离开磁场B1），求变速过程的时间t； ③若PQ单位长度的电阻也为λ，求PQ滑动至OA1、OA2的中点连线处瞬间，PQ两端的电势差UPQ； (2)若磁场B1、B2均从0开始随时间以的变化率均匀增加，让金属PQ从D1D2处由静止释放，同时对PQ施加平行于导轨向下的外力F，使其做加速度大小为a=2m/s2的匀加速直线运动，求经过多少时间，外力F达到最大值。 【答案】(1)①1A，从上向下看为顺时针方向；②2s；③ (2) 【详解】（1）①PQ到达A1A2处的瞬间，感应电动势大小为 回路中感应电流的大小为 根据右手定则可知，感应电流的方向从上向下看为顺时针方向； ②PQ滑过A1A2后再次达到匀速时，根据平衡条件可得， 解得 对PQ棒，根据动量定理可得，， 联立解得 ③若PQ单位长度的电阻也为λ，则 PQ两端的电势差为 （2）沿导轨平面方向，根据牛顿第二定律可得 垂直导轨平面方向，有， 回路中感应电流为 联立解得 根据数学知识可得，当时，即时，外力F达到最大。 变式3．（2026·河北衡水·模拟预测）相距为的足够长的金属导轨如图放置，倾斜部分与水平面夹角为，其他部分水平，左边接有一个定值电阻，阻值为，右端接有一个电容为的电容器，为倾斜轨道最低点，左边导轨光滑，右边轨道动摩擦因数为，轨道足够长，金属杆ab的质量为，金属杆与轨道垂直且接触良好，导轨所在处左端有竖直向上的磁场，右边有水平向右的匀强磁场。以左端金属杆初始位置处为处，水平向右为轴，磁感应强度随的分布规律如图所示，其他所有电阻均不计，闭合开关，在水平拉力的作用下让金属杆ab从初始位置开始以速度水平向右做匀速运动，已知，，拐角圆弧状，不计拐角处的机械能损失，，，电容器在无电阻的电路中放电极快，此过程不计重力。 (1)金属杆从开始位置运动到时，通过电阻的电荷量为多少？ (2)金属杆在水平轨道上（小于时）运动时（电容器充电）水平拉力与的关系； (3)当运动到时，撤去外力并断掉开关，试求撤出外力后，金属杆ab运动的时间（结果用分数表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，金属杆运动过程中，产生的感应电动势为 金属杆运动到所用的时间 通过R的电流为 又因为 可得，金属杆从开始位置运动到时，通过电阻的电荷量 （2）感应电动势为 通过的电流为 电容器两端的电压为 所带电荷量为， 所以充电电流为 所以通过金属杆的电流为 由于金属杆匀速运动，则有 （3）金属杆到x0处时，产生的感应电动势 电容器的电荷量为 进入斜面后 根据牛顿第二定律可得 结合 联立解得 所以金属杆到达MN处的速度 其中 解得 金属杆在斜面上运动的时间 到达MN右边后，磁场水平向右，金属杆不再产生感应电动势，由于没有电阻，电容器放电非常迅速，设为，因为时间极短，安培力会远大于金属杆的重力，则有 解得 其中 联立可得 金属杆在MN右边运动的加速度大小为 运动时间 故撤去外力后，金属杆运动的时间为 考点三 法拉第电磁感应定律的应用：双杆模型 核心知识点 1. 基础结构：两根导体棒放在同一平行导轨上，构成闭合回路，两棒均可滑动。 1. 电动势叠加规则 两棒切割产生电动势，同向串联相加、反向串联相减： ，相对切割速度决定总电动势。 1. 两种经典分类 （1）导轨光滑、无外力（一杆初速度，另一杆静止） · 安培力大小相等、方向相反，系统合外力为0，动量守恒； · 两棒最终共速 ； · 系统损失的动能全部转化为回路焦耳热 。 （2）一杆施加恒定外力，另一杆自由滑动 · 系统合外力不为零，动量不守恒； · 初始两棒加速度不同，速度差稳定后，总电动势恒定、电流恒定、安培力恒定，两棒加速度相同，做匀差加速。 1. 通用配套：回路电流 ，两棒安培力大小相等。 例1．（25-26高二下·福建三明·期末）如图，绝缘水平面上固定足够长的平行金属导轨，其右端与平行倾斜金属导轨平滑连接，轨道间距均为，导轨光滑无摩擦。虚线左侧有磁感应强度为，方向竖直向上的匀强磁场。金属棒a、b静置于导轨上，b与之间的距离为。时，a以初速度开始水平向右运动，当b离开磁场区域瞬间，a的速度为，当b回到磁场前，a已停止运动。整个运动过程中a、b未发生碰撞，始终与导轨垂直且接触良好。已知两棒质量均为、电阻均为，导轨电阻不计，重力加速度为。求： (1)时b棒的加速度大小； (2)整个运动过程中，a棒中产生的焦耳热； (3)时a棒距虚线的最短距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）时，回路感应电动势 总电阻 回路电流 棒受到的安培力 由牛顿第二定律，加速度 （2）离开磁场前，两棒系统动量守恒 解得离开磁场时速度 滑上倾斜导轨再滑回，机械能守恒，回到磁场时速度大小仍为，方向向左，此时已停止（）。 之后两棒在磁场中相互作用，动量守恒，最终共速 得共速 总焦耳热为初始动能与最终动能之差 两棒电阻相同，串联发热平分，因此棒产生的焦耳热 （3）设初始距的距离为，从开始到离开，对由动量定理 电荷量 得 即 最短距离对应刚好到达时速度减为0，对离开后减速到0的过程，由动量定理 电荷量 得 即 联立得最短距离 例2．（25-26高二下·山东烟台·期末）如图所示，间距为的光滑金属导轨由右侧倾斜部分和左侧水平部分组成，倾斜部分与水平面夹角为，处于竖直向上的匀强磁场中，水平部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小均为，两导体棒、质量均为，接入电路的电阻分别为和。两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不会碰撞，棒仅在水平导轨上运动。忽略金属导轨的电阻，重力加速度为。 (1)若锁定棒，棒由静止释放，已知棒到达水平轨道前已开始做匀速运动，求棒匀速运动的速度大小； (2)若解除棒的锁定，棒仍由静止释放，棒在沿倾斜导轨下滑过程中回路电流达到稳定，求此时棒的加速度大小； (3)在（2）问稳定状态下，棒进入水平轨道时，由于水平轨道的撞击，棒竖直方向速度突变为零，水平方向速度不变，从棒运动到水平导轨开始计时，经过时间，棒向右运动的距离为，速度恰好为0。求时刻棒的速度及时间内棒运动的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）锁定水平导轨上的cd棒，ab棒由静止释放，ab棒沿导轨向下切割磁感线，产生电动势 回路电流 当ab棒匀速运动时有vm，根据平衡条件可得 解得 （2）解除cd棒的锁定，当ab棒沿斜面下滑时，cd棒受到的安培力向右，开始向右运动切割磁感线，回路产生的总电动势为 回路电流为 当电流达到稳定时，ab棒、cd棒的加速度大小分别为a1、a2，满足 可得两棒的加速度关系为 对ab棒,根据牛顿第二定律，有 对cd棒，根据牛顿第二定律，有 联立解得 （3）当ab棒由倾斜轨道运动到水平轨道，与水平轨道发生碰撞，ab棒速度突变为水平，大小由突变为。从开始计时到时刻，两棒整体所受的合外力为零，故该过程系统动量守恒，设时刻ab棒的速度为v1，cd棒速度为0，以向左为正，可得 联立可得 解得 对ab棒和cd棒系统列动量守恒，以向左为正 求和可得 即 可得ab棒运动的距离 例3．（25-26高二下·江西赣州·期末）如图所示，相距的平行轨道由两部分组成，绝缘圆弧轨道与水平导体轨道在、点平滑连接。水平轨道区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度。光滑导体棒的质量，另一导体棒的质量，两棒的电阻均为，放置在足够长的水平轨道上，导体棒与水平轨道间的动摩擦因数（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。右侧有一个光滑且足够长斜面，倾角，顶端固定一轻质光滑小定滑轮，滑轮与水平轨道等高。一绝缘轻绳绕过定滑轮，一端与导体棒中点相连且与边平行，另一端与处于斜面上质量的物块相连且与斜面平行。锁定棒，使与物块均保持静止，让棒静止于距水平轨道高为处。两棒达到稳定状态前均未出磁场区域，不计水平导轨电阻，重力加速度。 (1)静止释放棒，求其进入磁场时的速度； (2)若时刻解除锁定，同时对物块施加一个沿斜面向下的恒力，求时棒的速度（此时棒还未释放）； (3)在（2）问的情况下，某时刻释放棒，时棒刚好进入磁场，同时撤去，求整个过程中，导体棒产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对ab棒，由动能定理，有 解得 （2）当ab棒未进入磁场时，对cd棒和物块受力分析，根据牛顿第二定律 解得 故时， （3）时，cd棒 ab棒刚进入磁场到与棒共速时，设速度为，根据平衡关系 系统动量守恒 解得=5 设这段过程cd棒运动位移为x，对系统由能量守恒定律得 且 代入数据得 变式1．（25-26高二下·江西吉安·期末）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨放置于水平面内，导轨间距为，导轨左、右两端分别固定有弹性绝缘挡板、，挡板之间的距离为。导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度。两根完全相同的导体棒、，质量均为，电阻均为，静置于导轨上。初始时导体棒在左挡板右侧，导体棒在右挡板左侧。现给两棒一瞬时冲量，使导体棒获得水平向右的初速度，导体棒获得水平向左的初速度。导体棒之间的碰撞以及导体棒与挡板的碰撞均为弹性碰撞，导轨电阻不计，运动过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好。 (1)求两导体棒刚开始运动时，回路中的电流大小； (2)求两导体棒第一次碰撞前瞬间，导体棒的速度大小； (3)通过计算说明导体棒在整个运动过程中与挡板碰撞的总次数，并求导体棒产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3)1次， 【详解】（1）两导体棒刚开始运动时，导体棒产生向上的电动势 导体棒产生向下的电动势 电路中的总电动势为 电路中的电流为 代入数值得 （2）从开始到第一次碰撞，两棒相对运动距离为 因为对称每根棒的位移均为 对棒，由动量定理有 解得 （3）第一次碰撞后，棒以向左运动，运动到达挡板，与挡板碰撞（第1次挡板碰撞）；棒以向右运动，运动到达挡板，与挡板碰撞（第1次挡板碰撞）。 因为对称性，利用动量定理，速度的变化正比于路程，所以当路程达到时，两棒停下来。因此，棒a在整个运动过程中与挡板MN碰撞的总次数为1次。整个过程中，系统初始动能全部转化为焦耳热（因为最终两棒静止）。 初始总动能 由于电路串联，故导体棒产生的焦耳热 变式2．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为L、2L；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以、的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态。从开始运动到两棒稳定的过程中，求： (1)两棒加速度的大小的比； (2)稳定时两棒的速度大小； (3)电路中产生的焦耳热； (4)流过导体棒a的某一横截面的电荷量； 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）由牛顿第二定律得 即BIL=ma 得 可得两棒加速度的比为 （2）因为导轨光滑，导体棒只受到安培力作用。以向右为正方向，对a棒由动量定理可得 对b棒由动量定理可得 稳定时无电流，即 得 联立解得， （3）由能量守恒可知，动能的损失等于焦耳热，则由两棒组成的系统初动能 末动能 则电路中产生的焦耳热为 （4）对a应用动量定理 又 得 而 解得 变式3．（25-26高二下·重庆渝中·期末）如图，间距的固定金属导轨的倾斜部分光滑，水平部分粗糙并平滑连接。倾斜导轨与水平面夹角为，处于垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小均为。两相同金属杆甲和乙与水平导轨间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两杆的质量均为，接入电路的电阻均为。乙杆最初静置于水平导轨上，甲杆从倾斜导轨上某处由静止释放，甲杆滑至斜面某一位置时乙杆开始运动，且仅能在水平导轨上运动。之后甲杆继续下滑，到达水平轨道之前，杆中的电流已达到稳定值。当甲杆刚滑入水平导轨时开始计时，乙杆的部分图像如图乙所示。若两金属杆在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不会相碰，忽略金属导轨的电阻，取重力加速度。求： (1)乙杆刚要开始运动时，甲杆的速度大小； (2)甲杆中电流稳定时乙杆的加速度； (3)若时乙杆的加速度是其速度反向前瞬间加速度的1.8倍，时乙杆的速度达到极值，求这段时间通过甲杆的电量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，设甲杆的速度大小为，感应电动势为 感应电流为 乙杆刚要开始运动时，则有 联立解得 （2）乙杆开始运动后，甲杆仍在倾斜导轨滑动时，回路中的感应电流为 对甲杆，由牛顿第二定律有 对乙杆，由牛顿第二定律有 当甲杆中电流达到稳定时，两杆的速度差恒定，此时两杆的加速度相等，解得， （3）从甲杆滑入水平导轨开始到乙杆反向运动前，回路中的电动势 设时甲杆的速度为，乙杆的速度为，则有 时，对乙杆有 两棒整体所受的合外力为零，故该过程系统动量守恒，设乙杆反向时甲杆的速度为，乙杆速度为0，可知 解得 乙杆反向运动前有 已知 联立解得 设时，乙杆速度达到极值时甲杆的速度为，乙杆的速度为，对乙杆有 解得 对甲杆，0~1s内，根据动量定理有 则有 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 考点目录 法拉第电磁感应定律的应用：线框模型 法拉第电磁感应定律的应用：单杆模型 法拉第电磁感应定律的应用：双杆模型 考点一 法拉第电磁感应定律的应用：线框模型 核心知识点 1. 两类出题形式 ① 磁场变化（感生电动势）：面积不变，随时间变，； ② 线框平动进出磁场（动生电动势）：恒定，有效面积变化，。 1. 进出磁场分段规律（矩形线框匀速/变速穿过有界匀强磁场） · 进入磁场：一边切割磁感线，产生感应电流，安培力向左阻碍进入； · 完全在磁场内：磁通量不变，，，无安培力； · 离开磁场：对边切割，电流反向，安培力仍阻碍运动。 1. 常用配套结论 · 电荷量：进出同一磁场全过程总磁通量变化相等，总电量相等； · 匀速运动：外力与安培力平衡，外力功率等于热功率 ； · 无外力仅安培力：线框减速，速度、电流、安培力同步减小。 1. 几何要点：有效切割长度为线框垂直运动方向边长。 例1．（25-26高二下·广东广州·期末）如图甲所示，水平放置的平行轨道间距为，以轨道上点为原点，沿轨道向右为轴正方向建立坐标系。区域内充满不随时间变化的恒定磁场，方向垂直轨道平面竖直向上，磁感应强度与的关系如图乙所示（已知）。将质量为、边长为、电阻为的匀质正方形闭合金属框放置在轨道上，边在磁场外与磁场左边界距离为。一轻绝缘绳跨过轻质定滑轮，将金属框与质量也为的物块相连，滑轮左侧轻绳水平。将金属框由静止释放，恰好全部进入磁场瞬间的速度为。已知轨道绝缘、足够长且不可移动，忽略一切摩擦，磁场左边界（图中点虚线位置）与轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，边始终保持与轨道垂直，重力加速度大小为，不计自感。 (1)金属框从释放到恰好全部进入磁场过程中，产生的焦耳热； (2)金属框从释放到恰好全部进入磁场经历的时间； (3)从金属框恰好全部进入磁场开始计时，为使金属框保持匀速运动，需对金属框施加水平向左的外力，求与时间的关系。 例2．（25-26高二下·天津·期末）光滑斜面倾角为θ＝30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区域磁感应强度大小相等。边长为a的正方形线框质量为m，电阻为R，Ⅱ区域磁场宽度及两区域间无磁场区域的宽度均大于线框边长。线框从某一位置释放，下边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到上边离开Ⅰ区域时速度恒为v，当下边进入Ⅱ区域时的速度和上边离开Ⅱ区域时的速度相等。已知线框的上下边，两磁场区域的上下边界均平行于斜面底端，重力加速度为g。求： (1)两区域磁场的磁感应强度B的大小； (2)线框通过Ⅰ区域产生的焦耳热Q； (3)线框通过Ⅱ区域所用的时间t。 例3．（25-26高二下·重庆·期末）如图所示，一倾角为的光滑绝缘斜面和光滑绝缘水平面平滑连接，在斜面上存在三个宽度均为d =0.1m的区域，区域边界均平行于斜面底边EF，区域Ⅰ、Ⅲ有垂直于斜面向下的匀强磁场，区域Ⅱ有垂直于斜面向上的匀强磁场，三个区域的磁感应强度大小均为B =3T。水平面上在虚线MN（MN连线平行于EF且ME间距大于d）右侧存在不随时间变化的恒定的磁场，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小与到MN的距离x之间满足（B0=2T，k =10T/m）。一个边长也为d=0.1m，质量m=0.18kg，电阻R=0.1Ω的单匝正方形金属线框，某时刻从斜面上某一位置处由静止释放。线框的CD边刚要离开区域Ⅲ下边界时，线框加速度恰好为0，速度大小为。当线框AB边刚到MN时，速度大小为，从此时起立刻对线框施加水平向右的作用力F，保证线框做匀速直线运动。已知在运动过程中线框AB边始终平行于斜面底边，取。 (1)求速度的大小； (2)求线框从静止释放到CD边离开区域Ⅲ，所需要的时间； (3)如果以线框AB边刚到MN边界时作为t=0时刻，分析水平外力F随时间t变化的规律。 变式1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图所示，一倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面内两水平且互相平行的虚线之间存在垂直斜面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，绕过定滑轮的绝缘轻质不可伸长细绳一端与物块A相连，另一端与正方形金属线框C相连，开始时线框C被锁定在斜面上，其上边框恰好处于磁场的下边界处。已知线框C的边长为L，电阻为2R，物块A和线框C的质量都为m，磁场区域的宽度为d（d>L），物块A离地面足够高，重力加速度为g。现解除锁定，物块A向下运动，且线框C恰能匀速通过磁场的上边界，求： (1)线框C匀速通过磁场上边界的速度大小； (2)线框C通过磁场下边界的过程中产生的焦耳热； (3)从解除锁定到线框下底边刚好出磁场，线框运动的时间。 变式2．（2026·浙江杭州·模拟预测）2025年9月22日，我国福建舰（舷号18）舰载机完成首次电磁弹射训练，这标志着中国空军歼-35等战斗机具备了更强的远程打击能力。在此启发下，某实验小组设计装置，研究电磁弹射和电磁阻尼实验。如图所示，质量均为、长度均为、电阻均为的金属棒、、、静置于水平且平行的光滑金属导轨上，导轨间距为。导轨被、处的光滑绝缘小段分隔成左右两区：左区导轨平面内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为；右区存在变化的磁场，其磁感应强度大小与点的水平距离满足关系式：，其中为常量。储能装置由电源与电容器组成，电源电动势为，电容器电容为C。单刀双掷开关先投向1，电容器充电完成后再将开关投向2，随即向右弹射，到达左、右区分界处时，与“线框”发生完全非弹性碰撞，而后一起向右运动。已知导轨电阻不计且左右两区均足够长，各金属棒始终与导轨接触良好且、始终与导轨垂直。不考虑空气阻力，求： (1)电容器充电完成后的电荷量； (2)金属棒可获得的最大速度； (3)若已知金属棒质量为，长度，电源电动势为，电容器电容为，，，。求金属棒最终停下的位置与点的水平距离。 变式3．（2026·江苏镇江·二模）如图甲所示，磁悬浮电梯依据电磁学原理实现轿厢悬停与上下运动，其模型可简化为如图乙所示：两根相距的平行绝缘竖直导轨，处于垂直导轨平面、等距相间分布且方向相反的匀强磁场中，磁场磁感应强度，各磁场区间长为d。电梯轿厢内固定一宽为L、长为d、总电阻的竖直单匝长方形闭合金属线框，、沿导轨方向，、垂直导轨且始终在相反磁场中。当磁场以的速度匀速向上运动，轿厢受移动磁场驱动从地面由静止启动，经过一段时间轿厢达到最大速度并匀速运动。轿厢匀速上行一段时间后让磁场向下匀速运动从而使轿厢制动，从开始制动到轿厢速度减为零用时，轿厢位移。已知轿厢总质量，忽略运行阻力与金属框电感，导轨足够长，。求： (1)启动瞬间金属线框的热功率P； (2)电梯轿厢向上运动最大速度的大小； (3)制动过程磁场向下匀速运动的速度v的大小。 考点二 法拉第电磁感应定律的应用：单杆模型 核心知识点 1. 模型构成：光滑/粗糙平行导轨 + 一根可滑动导体棒，导轨接定值电阻，棒自带内阻。导体棒为电源。 1. 两种电动势来源 · 平动切割：瞬时电动势 ； · 变力、变加速过程用平均电动势求电量、能量。 1. 三大典型运动情景 ① 恒定外力拉动：安培力随速度增大而增大，加速度减小，做加速度减小的加速运动，最终达到收尾匀速； ② 无外力、给初速度：安培力为阻力，减速至静止； ③ 倾斜导轨：重力分力、安培力、摩擦力共同参与受力。 1. 核心衍生公式 收尾速度：； 动量推论（变加速必用）：。 例1．（25-26高二下·云南昭通·期末）如图甲所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图乙所示的磁场，时磁场方向垂直纸面向里。在到的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；时，释放金属棒。金属棒质量为m，重力加速度为g，整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，求： (1)在时，金属棒受到安培力的大小； (2)金属棒释放后运动的最大速度。 例2．（25-26高二下·福建福州·期末） 如图甲所示，两平行长直金属导轨水平放置，间距。PQ右侧区域有匀强磁场，磁感应强度大小，方向竖直向上。时，磁场外的细金属杆M以的速度向右运动，时，细金属杆M恰好到达PQ处，同时，对磁场内处于静止状态的细金属杆N施加一与轨道平行的水平向右的恒力，其大小。N杆运动2s后两杆速度相等，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直，细金属杆M速度随时间变化的图像如图乙所示，两杆质量均为，与导轨间的动摩擦因数相同，在导轨间的电阻均为，感应电流产生的磁场忽略不计，取重力加速度。求： (1)金属杆与导轨间的动摩擦因数； (2)为保证两杆不发生碰撞，初始时金属杆N到边界PQ的最小距离； (3)金属杆N最终运动的速度大小，并在乙图中作出金属杆N速度随时间变化的图像； 例3．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）为探究磁悬浮列车低速段电磁制动规律，实验小组搭建了如图模型装置∶斜轨与足够长的水平轨平滑连接，间距为。质量为的金属杆始终垂直导轨，导轨左端经开关接阻值为的电阻。金属杆从距水平轨道高度处由静止释放，滑至时立即闭合开关。水平轨依次分为三个区域∶为长、磁感应强度为的预制动区；为长、磁感应强度为的强制动区；为无磁弹簧缓冲区。弹簧右端固定，左端自然位置在与的交界处，劲度系数为，弹簧最大允许压缩量为。要求金属杆通过末端时速度满足，其中（未知）为金属杆到达点时的速度。MN与轨道的电阻不计，忽略一切阻力，。 (1)求开关刚闭合时，金属杆所受安培力的大小； (2)设区域中电阻上产生的焦耳热为金属杆到达末端时的动能的3倍。则该设计对应的磁感应强度； (3)实际工程中，由于磁场控制系统可能整体偏弱，、区域中实际磁感应强度均为设计值的倍，其中。要求金属杆通过末端时仍满足上述速度条件，且弹簧最大压缩量不超过。则磁场控制系统允许的最大相对偏弱误差。 变式1．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨足够长且电阻不计，导轨间距l＝0.5m，左端接有阻值R＝0.3Ω的电阻，一质量m＝0.1kg，电阻r＝0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.4T．棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以a＝2m/s2的加速度做匀加速运动，当通过电阻R的电荷量为q＝4.5C时撤去外力，之后棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1.棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求： (1)棒在匀加速运动过程中的位移大小x； (2)撤去外力后金属棒MN上产生的焦耳热QMN； 变式2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）在倾角为θ的足够长绝缘斜面上铺设如图所示的金属导轨，顶端OA1、OA2为“”形，D1与D2是两条足够长平行金属导轨的上端点。两电阻不计的平行直金属丝A1D1、A2D2将金属导轨“”形轨道和D1、D2连接，C1、C2是其中间对称的两点。在C1C2上方区域均存在垂直导轨平面向外的匀强磁场B1，D1D2下方区域存在沿导轨平面向上的匀强磁场B2，其他部分无磁场。质量为m的导体棒PQ在导轨上运动，它与D1D2下方区域的动摩擦因数为µ，其余部分摩擦不计，运动过程中始终保持与A1A2平行。已知金属导轨单位长度的电阻为λ，其余电阻均不计，OA1、OA2及导轨间距A1A2均为d且d=2m，m=0.8kg，λ=0.5Ω/m，µ=0.5，θ=30°，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，两磁场互不影响。 (1)若B1=1T，金属棒PQ从“”形轨道上端O点开始，在沿外力作用下以v=1m/s的速度沿导轨匀速下滑，滑至A1A2处撤去外力。 ①求PQ到达A1A2处的瞬间，回路中感应电流的大小与方向； ②若PQ滑过A1A2后下滑x=3.6m再次达到匀速（未离开磁场B1），求变速过程的时间t； ③若PQ单位长度的电阻也为λ，求PQ滑动至OA1、OA2的中点连线处瞬间，PQ两端的电势差UPQ； (2)若磁场B1、B2均从0开始随时间以的变化率均匀增加，让金属PQ从D1D2处由静止释放，同时对PQ施加平行于导轨向下的外力F，使其做加速度大小为a=2m/s2的匀加速直线运动，求经过多少时间，外力F达到最大值。 变式3．（2026·河北衡水·模拟预测）相距为的足够长的金属导轨如图放置，倾斜部分与水平面夹角为，其他部分水平，左边接有一个定值电阻，阻值为，右端接有一个电容为的电容器，为倾斜轨道最低点，左边导轨光滑，右边轨道动摩擦因数为，轨道足够长，金属杆ab的质量为，金属杆与轨道垂直且接触良好，导轨所在处左端有竖直向上的磁场，右边有水平向右的匀强磁场。以左端金属杆初始位置处为处，水平向右为轴，磁感应强度随的分布规律如图所示，其他所有电阻均不计，闭合开关，在水平拉力的作用下让金属杆ab从初始位置开始以速度水平向右做匀速运动，已知，，拐角圆弧状，不计拐角处的机械能损失，，，电容器在无电阻的电路中放电极快，此过程不计重力。 (1)金属杆从开始位置运动到时，通过电阻的电荷量为多少？ (2)金属杆在水平轨道上（小于时）运动时（电容器充电）水平拉力与的关系； (3)当运动到时，撤去外力并断掉开关，试求撤出外力后，金属杆ab运动的时间（结果用分数表示）。 考点三 法拉第电磁感应定律的应用：双杆模型 核心知识点 1. 基础结构：两根导体棒放在同一平行导轨上，构成闭合回路，两棒均可滑动。 1. 电动势叠加规则 两棒切割产生电动势，同向串联相加、反向串联相减： ，相对切割速度决定总电动势。 1. 两种经典分类 （1）导轨光滑、无外力（一杆初速度，另一杆静止） · 安培力大小相等、方向相反，系统合外力为0，动量守恒； · 两棒最终共速 ； · 系统损失的动能全部转化为回路焦耳热 。 （2）一杆施加恒定外力，另一杆自由滑动 · 系统合外力不为零，动量不守恒； · 初始两棒加速度不同，速度差稳定后，总电动势恒定、电流恒定、安培力恒定，两棒加速度相同，做匀差加速。 1. 通用配套：回路电流 ，两棒安培力大小相等。 例1．（25-26高二下·福建三明·期末）如图，绝缘水平面上固定足够长的平行金属导轨，其右端与平行倾斜金属导轨平滑连接，轨道间距均为，导轨光滑无摩擦。虚线左侧有磁感应强度为，方向竖直向上的匀强磁场。金属棒a、b静置于导轨上，b与之间的距离为。时，a以初速度开始水平向右运动，当b离开磁场区域瞬间，a的速度为，当b回到磁场前，a已停止运动。整个运动过程中a、b未发生碰撞，始终与导轨垂直且接触良好。已知两棒质量均为、电阻均为，导轨电阻不计，重力加速度为。求： (1)时b棒的加速度大小； (2)整个运动过程中，a棒中产生的焦耳热； (3)时a棒距虚线的最短距离。 例2．（25-26高二下·山东烟台·期末）如图所示，间距为的光滑金属导轨由右侧倾斜部分和左侧水平部分组成，倾斜部分与水平面夹角为，处于竖直向上的匀强磁场中，水平部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小均为，两导体棒、质量均为，接入电路的电阻分别为和。两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不会碰撞，棒仅在水平导轨上运动。忽略金属导轨的电阻，重力加速度为。 (1)若锁定棒，棒由静止释放，已知棒到达水平轨道前已开始做匀速运动，求棒匀速运动的速度大小； (2)若解除棒的锁定，棒仍由静止释放，棒在沿倾斜导轨下滑过程中回路电流达到稳定，求此时棒的加速度大小； (3)在（2）问稳定状态下，棒进入水平轨道时，由于水平轨道的撞击，棒竖直方向速度突变为零，水平方向速度不变，从棒运动到水平导轨开始计时，经过时间，棒向右运动的距离为，速度恰好为0。求时刻棒的速度及时间内棒运动的距离。 例3．（25-26高二下·江西赣州·期末）如图所示，相距的平行轨道由两部分组成，绝缘圆弧轨道与水平导体轨道在、点平滑连接。水平轨道区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度。光滑导体棒的质量，另一导体棒的质量，两棒的电阻均为，放置在足够长的水平轨道上，导体棒与水平轨道间的动摩擦因数（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。右侧有一个光滑且足够长斜面，倾角，顶端固定一轻质光滑小定滑轮，滑轮与水平轨道等高。一绝缘轻绳绕过定滑轮，一端与导体棒中点相连且与边平行，另一端与处于斜面上质量的物块相连且与斜面平行。锁定棒，使与物块均保持静止，让棒静止于距水平轨道高为处。两棒达到稳定状态前均未出磁场区域，不计水平导轨电阻，重力加速度。 (1)静止释放棒，求其进入磁场时的速度； (2)若时刻解除锁定，同时对物块施加一个沿斜面向下的恒力，求时棒的速度（此时棒还未释放）； (3)在（2）问的情况下，某时刻释放棒，时棒刚好进入磁场，同时撤去，求整个过程中，导体棒产生的焦耳热。 变式1．（25-26高二下·江西吉安·期末）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨放置于水平面内，导轨间距为，导轨左、右两端分别固定有弹性绝缘挡板、，挡板之间的距离为。导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度。两根完全相同的导体棒、，质量均为，电阻均为，静置于导轨上。初始时导体棒在左挡板右侧，导体棒在右挡板左侧。现给两棒一瞬时冲量，使导体棒获得水平向右的初速度，导体棒获得水平向左的初速度。导体棒之间的碰撞以及导体棒与挡板的碰撞均为弹性碰撞，导轨电阻不计，运动过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好。 (1)求两导体棒刚开始运动时，回路中的电流大小； (2)求两导体棒第一次碰撞前瞬间，导体棒的速度大小； (3)通过计算说明导体棒在整个运动过程中与挡板碰撞的总次数，并求导体棒产生的焦耳热。 变式2．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为L、2L；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以、的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态。从开始运动到两棒稳定的过程中，求： (1)两棒加速度的大小的比； (2)稳定时两棒的速度大小； (3)电路中产生的焦耳热； (4)流过导体棒a的某一横截面的电荷量； 变式3．（25-26高二下·重庆渝中·期末）如图，间距的固定金属导轨的倾斜部分光滑，水平部分粗糙并平滑连接。倾斜导轨与水平面夹角为，处于垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小均为。两相同金属杆甲和乙与水平导轨间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两杆的质量均为，接入电路的电阻均为。乙杆最初静置于水平导轨上，甲杆从倾斜导轨上某处由静止释放，甲杆滑至斜面某一位置时乙杆开始运动，且仅能在水平导轨上运动。之后甲杆继续下滑，到达水平轨道之前，杆中的电流已达到稳定值。当甲杆刚滑入水平导轨时开始计时，乙杆的部分图像如图乙所示。若两金属杆在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不会相碰，忽略金属导轨的电阻，取重力加速度。求： (1)乙杆刚要开始运动时，甲杆的速度大小； (2)甲杆中电流稳定时乙杆的加速度； (3)若时乙杆的加速度是其速度反向前瞬间加速度的1.8倍，时乙杆的速度达到极值，求这段时间通过甲杆的电量。 2 学科网（北京）股份有限公司 $