动生电动势：导体棒平动切割磁感线问题、导体棒转动切割磁感线问题 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 聚焦动生电动势两类核心切割问题，以“公式推导-电路分析-动力学建模-能量转化”为主线，构建系统性方法体系，强化物理观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导体棒平动切割磁感线问题|3例+2变式（含高考真题）|电动势公式（垂直分量处理）、电路分析（电源内阻模型）、动力学三类运动状态（匀速/匀变速/变加速）、能量与电量计算（Q=I²Rt、q=ΔΦ/R总）|从公式推导到电路构建，结合安培力分析运动状态，形成“力-电-能”递进逻辑链| |导体棒转动切割磁感线问题|3例+3变式（含模拟预测）|电动势推导（平均速度法，绕端点E=1/2BL²ω）、电路特点（恒定电动势）、电势判断（右手定则）、拓展应用（扇形/圆盘模型）|基于线速度分布推导电动势，结合电路分析与力矩平衡，实现模型建构与科学推理|

动生电动势：导体棒平动切割磁感线问题、导体棒转动切割磁感线问题专项训练 动生电动势：导体棒平动切割磁感线问题、导体棒转动切割磁感线问题专项训练 考点目录 导体棒平动切割磁感线问题 导体棒转动切割磁感线问题 考点一 导体棒平动切割磁感线问题 核心知识点 1. 电动势公式 导体棒垂直磁场、垂直速度平动： · ：匀强磁场磁感应强度；：有效切割长度；：垂直切割速度； · 若速度与棒不垂直，取垂直分量 。 1. 电路分析 导体棒为电源，内阻，外部导轨、电阻为外电路； 感应电流 。 1. 动力学受力 棒受安培力阻碍运动：，与速度反向。 1. 三类典型运动状态 ① 匀速运动：外力，合力为0，速度不变，电动势恒定； ② 匀变速运动：外力恒定，均匀变化，线性变化； ③ 变加速（常见：无外力、恒定拉力）：随减小，加速度减小，最终匀速收尾（收尾速度）。 1. 能量与电量 · 焦耳热：；匀速时 ； · 流过导体棒电量：。 例1．（25-26高二下·安徽宣城·期末）如图所示，间距为L=1 m的倾斜光滑平行金属导轨的倾角θ=30°，底端接有阻值为R=1 Ω的定值电阻，虚线MN上方的导轨区域存在垂直导轨平面向上的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度的大小为B=0.5 T，质量为m=1 kg、阻值为R=1 Ω、长度为L=1 m的导体棒ab垂直导轨放置。某时刻给ab一平行导轨斜面向上的初速度，已知ab进入磁场时速度大小为20 m/s，经过时间t0=3.5 s速度减小为零，一段时间后，以大小为10 m/s的速度平行导轨斜面向下离开磁场，不计导轨的电阻，导体棒与导轨接触良好，且两者始终垂直，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)导体棒刚进入磁场时的加速度大小； (2)导体棒在磁场中下滑过程中通过定值电阻的电荷量大小和经历的时间； (3)整个过程中定值电阻产生的焦耳热。 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）导体棒刚进入磁场时速度为，沿斜面向上运动切割磁感线，产生的感应电动势为 对应的回路电流为 由右手定则可知，电流方向从指向，进一步通过左手定则判断，导体棒受到沿斜面向下的安培力，大小为 结合受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得 （2）导体棒在磁场中上滑过程中通过定值电阻的电荷量大小为 由于导体棒在磁场中下滑过程通过的距离等于上滑过程通过的最大距离，可知导体棒在磁场中下滑过程中通过定值电阻的电荷量大小 对导体棒在磁场中的上滑过程，以沿导轨向上为正方向，根据动量定理得 由此解得 对导体棒在磁场中的下滑过程，导体棒沿斜面向下切割磁感线，受到的安培力沿斜面向上，根据动量定理得 其中为在磁场中下滑的时间，解得 （3）导体棒沿斜面向下离开磁场，速度为，根据能量守恒定律，可得整个过程中电路产生的总的焦耳热为   根据焦耳定律，可得定值电阻产生的焦耳热为 例2．（25-26高二下·安徽·期末）如图所示，水平面上平行绝缘光滑轨道的间距为L，以轨道上O点为坐标原点，沿轨道向右为x轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域Ⅰ、Ⅱ，区域左右边界线与轨道垂直，区域Ⅰ（-2L≤x<-L）内充满竖直向下的匀强磁场；区域Ⅱ（x≥0）内充满竖直向上的磁场，磁感应强度大小随位置x的变化关系为B2=kx（k为常量）。现将质量为m、边长为L、总电阻为R的匀质正方形闭合刚性金属框efnm放置在轨道上，ef边与轨道垂直，mn边与区域Ⅰ左边界的距离也为L，金属框在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，并恰好匀速通过区域Ⅰ。已知轨道足够长且不可移动，不考虑磁场边缘效应和自感。 (1)若L=0.1 m，m=0.1 kg，F=2 N，求金属框刚运动到区域Ⅰ左边界时的速率v1； (2)在（1）的条件下，若R=0.25 Ω，求区域Ⅰ的磁感应强度大小B1； (3)若ef边刚进入区域Ⅱ时金属框的速率为v2，此时撤去水平拉力F，求金属框停止时端点f的坐标xf（用L、m、v2、k、R表示）。 【答案】(1) (2)B15 T (3) 【详解】（1）金属框运动到区域Ⅰ左边界的过程由动能定理得 代入数据得 （2）金属框mn边刚到区域I时，根据法拉第电磁感应定律得     金属框做匀速运动，即合力为零， 有     代入数据得B1=5 T （3）设金属框在区域Ⅱ内速度为v时，左右两边在x轴上所处的位置分别为、，由右手定则可判断，左右两边切割磁感线产生的电动势方向相反，线框中电动势为 由法拉第电磁感应定律得 由欧姆定律得 由左手定则可判断，金属框左右两边所受安培力方向相反，因此线框所受安培力大小为 由动量定理得 即 可得端点f的坐标为 例3．（25-26高二下·北京朝阳·期末）通过以下装置可以探究匀速圆周运动、简谐运动及正弦式交变电流的内在联系。 如图甲所示，一个水平放置的固定圆盘绕竖直轴以恒定角速度匀速转动，固定在圆盘边缘上的小圆柱带动绝缘形支架沿轴运动。形支架与一长为的金属杆连接，金属杆处于磁感应强度为的匀强磁场中。磁场方向竖直向下，与金属杆垂直。金属杆、阻值为的电阻与光滑金属轨道构成闭合回路。除电阻外，其他电阻忽略不计。圆盘半径为，其中心位于处，时刻小圆柱和圆盘中心的连线与轴负方向的夹角为。 (1)求小圆柱和金属杆运动的周期、。 (2)推导金属杆的速度与时间的关系式，并在图乙坐标系中画出图像。(作图时，取，至少画出一个周期，并标出关键位置的坐标) (3)当金属杆运动时 a.求电阻的电功率； b.圆盘转动任意半周的过程中，安培力对金属杆的冲量大小为，求的最大值。 【答案】(1)， (2)， (3)a.；b. 【详解】（1）小圆柱随圆盘匀速转动，则 金属杆由小圆柱带动做简谐运动，振动周期等于圆盘转动周期，即 （2）小圆柱线速度 将小圆柱线速度沿x方向和y方向分解，则沿x方向的分速度为金属杆ab的速度，则 可知t=0时，金属杆的速度大小为，规定向右为正方向，则一个周期内图如下: （3）a.金属杆ab产生的电动势 则电动势有效值为 因此电阻的电功率 b.金属杆的冲量大小为 可知半个周期内金属杆位移最大时，冲量有最大值，分析可知半个周期内金属杆位移最大为2r，则 变式1．（2026·江苏·高考真题）扫地机器人可利用磁场对通电线圈的安培力实现悬浮与驱动。如图，一扫地机器人内含、两矩形线框，其中为平衡框，用于保持悬浮，abcd为驱动框，用于提供向前的动力。上下两导线中通电后，其间形成的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。每个框都有一条边长为并嵌入金属芯，金属芯使得该边处磁场的磁感应强度变为原来的（）倍。两线框通过绝缘杆固定连接，总质量为，运动过程中线框整体受到的摩擦阻力大小恒定，导线和线框均始终在同一竖直平面内，且线框的上下边与导线始终水平。（重力加速度为g） (1)为了使线框整体悬浮，求框中的电流的大小和方向； (2)若线框向右运行速度大小为，求边的感应电动势； (3)若线框以速度大小在水平方向上匀速运动，某时刻保持电流大小不变，仅将动力线框中的电流反向，线框在安培力和阻力作用下做匀减速直线运动，经过位移后停止，求整个减速过程，动力线框边所受安培力的平均功率。 【答案】(1)，电流方向为逆时针 (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，为了使线框整体悬浮，竖直方向上有 解得 由左手定则可知，电流方向为逆时针。 （2）若机器人向右运行速度为，ab边的感应电动势 （3）根据题意，若某时刻线框的水平速度为，由于cd边所受安培力一直为边所受安培力的倍，设cd边所受安培力大小为，则边所受安培力大小为，则有 保持电流大小不变，方向反向，则安培力方向反向，由牛顿第二定律有 又有 解得线框cd边所受安培力大小为 线框cd边所受安培力的平均功率 变式2．（25-26高二下·四川成都·期末）如图所示，两根足够长光滑平行金属导轨、固定在倾角绝缘斜面上，底部接有一阻值的定值电阻，轨道上端开口，间距，整个装置处于磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量的金属棒置于导轨上，通过细线（细线与导轨平行）经定滑轮与质量为的小物块相连。金属棒在导轨间的电阻，导轨电阻不计。金属棒由静止释放到匀速运动前，电阻产生的焦耳热量总共为，金属棒与导轨接触良好，不计空气阻力，，，，求： (1)金属棒匀速运动时的速度大小； (2)金属棒沿导轨运动过程中，电阻上的最大电功率； (3)从金属棒开始运动至达到最大速度过程中，流过电阻的总电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设金属棒匀速运动时的速度大小为，则产生的感应电动势 通过棒的电流 棒受到的安培力大小 由左手定则可知安培力方向沿导轨向下，棒匀速运动时，根据平衡条件得 整理得 代入数据解得 （2）匀速运动时棒中电流最大，且为 代入数据解得 故电阻上的最大电功率 （3）设金属棒从开始运动到最大速度沿导轨运动的距离为，由能量守恒得 串联电路电流相同，故电阻与金属棒产生的热量之比为 解得 代入能量守恒表达式，解得 从金属棒开始运动至达到最大速度过程中，流过电阻的总电荷量 其中感应电流的平均值满足 联立得 代入数据解得 考点二 导体棒转动切割磁感线问题 核心知识点 1. 电动势推导：棒绕一端在垂直磁场平面匀速转动，各点线速度线性分布，取平均速度 · ：棒总长；：角速度；也可替换 ； · 若绕中点转动：两段电动势反向抵消，总。 1. 电路特点 转动棒为电源，电动势恒定（不变）；两端存在电势差，转轴与端点电势不等。 1. 电势判断：右手定则，四指指向高电势（电源内部由低电势指向高电势）。 1. 拓展：扇形导轨、圆盘发电机本质都是绕一端转动切割，公式通用。 1. 电量、安培力：若形成闭合回路，，安培力力矩阻碍转动。 例1．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）某兴趣小组设计了一种发电装置，如图所示。在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角均为，磁场均沿半径方向。匝数为N的矩形线圈abcd的边长 、 线圈以角速度绕中心轴匀速转动，bc和ad边同时进入磁场。在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B、方向始终与两边的运动方向垂直。线圈的总电阻为r，外接电阻为求： (1)线圈切割磁感线时，感应电动势的大小； (2)线圈切割磁感线时，bc边所受安培力的大小F； (3)外接电阻上电流的有效值 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 、bc边的运动速度为 根据法拉第电磁感应定律可知，产生的感应电动势为 （2）由闭合电路的欧姆定律可得，感应电流为 bc边受到的安培力为 （3）两磁场区域的圆心角均为，一个周期内，通电时间为 一个周期内R上消耗的电能为 解得 例2．（25-26高二下·广东惠州·期末）某兴趣小组利用转动导体棒、平行板电容器与带电油滴等开展复合场探究实验，实验装置分为电路区与偏转区两部分。简化模型如图所示，电阻不计、半径为的圆形金属导轨竖直放置，内有方向垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场。长为、电阻为的导体棒可绕圆心匀速转动，外端与导轨接触良好。阻值为的电阻通过导线、开关分别与导轨外侧及圆心相连，其右侧并联长度和间距均为、上下水平相对的平行板电容器。一系列质量为m、带电量为的油滴以的水平速度沿平行板正中央射入。闭合开关，当导体棒以某一角速度顺时针匀速转动时，油滴恰好能从下极板右端飞出；角速度大小不变，仅改变导体棒转动方向，在平行板间加上合适的匀强磁场，油滴恰好能从上极板右端飞出。忽略油滴之间的相互作用力，取重力加速度大小为。求： (1)油滴从下极板右端飞出过程中的加速度； (2)导体棒匀速转动过程中的角速度大小； (3)平行板间所加匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2) (3) 【详解】（1）油滴做类平抛运动，水平方向有 代入 解得运动时间 竖直方向位移 解得 加速度方向竖直向下。 （2）设导体棒匀速转动过程中的角速度大小为，则导体棒转动切割产生的感应电动势 电路的总电阻 电容器两端的电压等于路端电压 平行板电容器内的电场强度 对油滴，由牛顿第二定律有 可得 联立解得 （3）改变导体棒转动方向后，电场大小不变、方向反向，因此油滴所受电场力方向向上，与重力恰好平衡，油滴仅受洛伦兹力，做匀速圆周运动。 设圆周运动半径为，油滴恰好能从上极板右端飞出，由几何关系 解得 由洛伦兹力提供向心力 联立解得 例3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）某科创小组设计了一种可以使金属杆周期性地交替运动和静止的装置，其设计方案如图所示，绝缘水平面上固定两个光滑的同心金属圆环，圆心为O，半径分别为和。直线MOP垂直ON，MON区域充满垂直圆环平面向下的匀强磁场。通过电刷将两金属圆环引出到右侧两根水平固定的平行金属导轨上，导轨光滑且足够长，间距为L，并处于垂直导轨平面向下大小为的匀强磁场中。电阻为R的金属杆ab位于ON处沿半径方向架在两环间（始终接触良好），时刻，施加周期性外力使ab杆以角速度绕O点顺时针匀速旋转，并同时释放位于GG的金属杆（质量为m，电阻为2R，长度也为），当ab杆首次转到OM处时，cd杆的速度为v，当ab杆首次转到OP处时，cd杆刚好运动到处且速度为0。不计一切摩擦和其它电阻，运动过程中金属杆始终垂直于平行导轨。求： (1)时刻金属杆ab产生的电动势的大小并判断ab中电流的方向； (2)若ab杆从ON转到OM的过程中，ab杆上产生的焦耳热为Q，到时间内回路中电流的有效值； (3)到的距离x的大小。 【答案】(1)，方向为 (2) (3) 【详解】（1）金属杆ab绕O点顺时针匀速旋转切割磁感线，产生的感应电动势大小 根据右手定则，磁场方向垂直纸面向下，ab杆在ON处速度方向向上，则杆内感应电流方向为。 （2）在ab杆从ON转到OM的时间内，ab杆作为电源发电，已知ab杆产生的焦耳热为Q，由于ab与cd串联且电阻比为：：：2，则此阶段cd杆产生的焦耳热为2Q，回路总热量 在ab杆从OM转到OP的过程中，ab杆离开磁场区域不产生电动势，cd杆由于惯性切割磁感线发电并最终停止，根据能量守恒定律，此阶段回路产生的总焦耳热等于cd杆动能的减少量，即 其余时间回路无电流。则一个周期内产生的总热量 根据有效电流定义 解得 （3）从到cd杆停止运动，设ab在磁场中运动阶段cd的位移为，平均电流为，流过的电荷量为 ab离开磁场到cd停止阶段，cd位移为，流过的电荷量为 根据动量定理，第一阶段有 第二阶段有 由此可得 联立电荷量表达式得 整理得总距离 根据第一阶段能量守恒，电源做的总功 将代入解得 将此关系式及代入位移公式，解得 变式1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图甲所示为永磁式径向电磁阻尼器，由永磁体、定子、驱动轴和转子组成，永磁体安装在转子上，驱动轴驱动转子转动，定子上的线圈切割“旋转磁场”产生感应电流，从而产生制动力。如图乙所示，单个永磁体的质量为m，长为、宽为（宽度相对于所在处的圆周长度小得多，可近似为一段小圆弧）、厚度很小可忽略不计，永磁体的间距为，永磁体在转子圆周上均匀分布，相邻磁体磁极安装方向相反，靠近磁体表面处的磁场可视为匀强磁场，方向垂直表面向上或向下，磁感应强度大小为B，相邻磁体间的磁场互不影响。定子的圆周上固定着多组金属线圈，每组线圈由两个矩形线圈组成，连接方式如图乙所示，每个矩形线圈的匝数为N、电阻为R，长为，宽为，线圈的间距为，两组相邻线圈的间距也为。转子半径为r，转轴及转子质量不计，定子和转子之间的缝隙忽略不计。 (1)当转子角速度为时，求每组线圈所受安培力F的大小； (2)若转子的初始角速度为，求转子转过的最大弧长； (3)若在外力作用下转子加速，转子角速度随转过的角度的图象如图丙所示，求角度转至的过程中产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）转子边缘的线速度，每组线圈的两条边均切割磁感线，产生的总感应电动势为 每组线圈的总电阻为2R，感应电流为 每组线圈所受的安培力 联立解得 （2）转子圆周上永磁体的总个数为，故转子的总质量。 定子圆周上线圈组的总数 转子受到的总安培力 取微小时间段，由动量定理有 因 ，即 对减速到零的全过程求和，有 ，其中 联立解得转子转过的最大弧长 （3）系统产生的焦耳热等于克服安培力所做的功。 在微小转角内，克服安培力做功 将的表达式代入，可得该过程的阻力矩 由图丙可知，与成正比，则阻力矩也与成正比。 此过程克服安培力做的总功等于 图象与横轴围成的三角形面积，即总焦耳热 联立解得 变式2．（2026·湖北武汉·三模）如图所示，半径为的水平金属圆盘绕过中心。的竖直轴以角速度匀速转动，圆盘处在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。是间距为的足够长、水平光滑平行金属导轨，导轨处在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。导轨的端用导线通过电刷与圆盘边缘相连，、之间连接电容为的电容器和单刀双掷开关，且的接线柱1通过电刷与圆盘中心相连。在导轨上间隔一定距离垂直于导轨放置着两根金属棒、，质量分别为和，电阻值分别为和，不计其他电阻，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。 (1)将S掷于1，稳定后，求电容器所带的电荷量； (2)当电容器所带电荷量为时，将从1掷于2， i．求、棒稳定后的速度大小； ii．为使、棒不相碰，求两棒初始距离的最小值。 【答案】(1) (2)i．ii． 【详解】（1）圆盘转动，根据法拉第电磁感应定律有 稳定后，电容器所带的电荷量为 根据电路知识可得 解得 （2）i．将开关从1掷于2时，、棒均开始向右运动，稳定后，电路中无感应电流，、棒的速度大小相等，有 对棒，根据动量定理有 其中 对棒，根据动量定理有 其中 对电容器 根据法拉第电磁感应定律有 又 解得 ii．设、棒运动过程中的速度大小为、，则棒两端的电压为， 整理可得 而，， 联立可得两棒初始距离的最小值为 变式3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图所示，半径为r的金属圆环固定在竖直平面内，金属杆一端与固定在圆心O处的转轴相连，另一端A与圆环接触良好（未固定）。在O点和圆环之间连接电阻R和电容器，电容器P、Q两极板水平放置，两极板之间的距离为d，在环内及P、Q两极板间均有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在外力作用下金属杆逆时针匀速转动时，质量为m、带电量为q的微粒从电容器的左侧以速率沿虚线射入，在P、Q两极板之间的竖直平面内恰做匀速圆周运动，重力加速度为g，其它电阻不计。求： (1)金属杆转动的角速度ω； (2)若金属杆的转速减半，微粒在电容器中偏离虚线的最大距离h； (3)在第（2）问的条件下，若微粒射出电容器时的偏移量为最大距离的四分之一，微粒射出时的速度大小及电容器极板的可能长度L。 【答案】(1) (2) (3)，，k = 0，1，2，…或，k = 0，1，2，… 【详解】（1）微粒在电容器间做匀速圆周运动时，重力与电场力平衡mg = Eq 电容器内电场强度，U等于金属杆转动产生的感应电动势，金属杆转动切割磁感线的感应电动势为 联立得 解得 （2）转速减半后，角速度，感应电动势，电场强度 电场力 恒力合力大小 将初速度分解为 取（水平向右），恰好平衡恒力合力 剩余（水平向右）做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 可得 微粒在电容器中的运动为初速为的匀速直线运动，与初速为的匀速圆周运动的合运动 最大偏离为圆周运动的直径 （3）偏移量大小为最大距离的，即 因此 可得 即或 其中圆周运动角速度 ①射出速度大小 速度分量 可得速度大小 代入 可得 ②极板可能长度 水平位移满足，代入参数整理得两种可能 时，k = 0，1，2，… 时，k = 0，1，2，… 2 学科网（北京）股份有限公司 $动生电动势：导体棒平动切割磁感线问题、导体棒转动切割磁感线问题专项训练 动生电动势：导体棒平动切割磁感线问题、导体棒转动切割磁感线问题专项训练 考点目录 导体棒平动切割磁感线问题 导体棒转动切割磁感线问题 考点一 导体棒平动切割磁感线问题 核心知识点 1. 电动势公式 导体棒垂直磁场、垂直速度平动： · ：匀强磁场磁感应强度；：有效切割长度；：垂直切割速度； · 若速度与棒不垂直，取垂直分量 。 1. 电路分析 导体棒为电源，内阻，外部导轨、电阻为外电路； 感应电流 。 1. 动力学受力 棒受安培力阻碍运动：，与速度反向。 1. 三类典型运动状态 ① 匀速运动：外力，合力为0，速度不变，电动势恒定； ② 匀变速运动：外力恒定，均匀变化，线性变化； ③ 变加速（常见：无外力、恒定拉力）：随减小，加速度减小，最终匀速收尾（收尾速度）。 1. 能量与电量 · 焦耳热：；匀速时 ； · 流过导体棒电量：。 例1．（25-26高二下·安徽宣城·期末）如图所示，间距为L=1 m的倾斜光滑平行金属导轨的倾角θ=30°，底端接有阻值为R=1 Ω的定值电阻，虚线MN上方的导轨区域存在垂直导轨平面向上的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度的大小为B=0.5 T，质量为m=1 kg、阻值为R=1 Ω、长度为L=1 m的导体棒ab垂直导轨放置。某时刻给ab一平行导轨斜面向上的初速度，已知ab进入磁场时速度大小为20 m/s，经过时间t0=3.5 s速度减小为零，一段时间后，以大小为10 m/s的速度平行导轨斜面向下离开磁场，不计导轨的电阻，导体棒与导轨接触良好，且两者始终垂直，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)导体棒刚进入磁场时的加速度大小； (2)导体棒在磁场中下滑过程中通过定值电阻的电荷量大小和经历的时间； (3)整个过程中定值电阻产生的焦耳热。 例2．（25-26高二下·安徽·期末）如图所示，水平面上平行绝缘光滑轨道的间距为L，以轨道上O点为坐标原点，沿轨道向右为x轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域Ⅰ、Ⅱ，区域左右边界线与轨道垂直，区域Ⅰ（-2L≤x<-L）内充满竖直向下的匀强磁场；区域Ⅱ（x≥0）内充满竖直向上的磁场，磁感应强度大小随位置x的变化关系为B2=kx（k为常量）。现将质量为m、边长为L、总电阻为R的匀质正方形闭合刚性金属框efnm放置在轨道上，ef边与轨道垂直，mn边与区域Ⅰ左边界的距离也为L，金属框在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，并恰好匀速通过区域Ⅰ。已知轨道足够长且不可移动，不考虑磁场边缘效应和自感。 (1)若L=0.1 m，m=0.1 kg，F=2 N，求金属框刚运动到区域Ⅰ左边界时的速率v1； (2)在（1）的条件下，若R=0.25 Ω，求区域Ⅰ的磁感应强度大小B1； (3)若ef边刚进入区域Ⅱ时金属框的速率为v2，此时撤去水平拉力F，求金属框停止时端点f的坐标xf（用L、m、v2、k、R表示）。 例3．（25-26高二下·北京朝阳·期末）通过以下装置可以探究匀速圆周运动、简谐运动及正弦式交变电流的内在联系。 如图甲所示，一个水平放置的固定圆盘绕竖直轴以恒定角速度匀速转动，固定在圆盘边缘上的小圆柱带动绝缘形支架沿轴运动。形支架与一长为的金属杆连接，金属杆处于磁感应强度为的匀强磁场中。磁场方向竖直向下，与金属杆垂直。金属杆、阻值为的电阻与光滑金属轨道构成闭合回路。除电阻外，其他电阻忽略不计。圆盘半径为，其中心位于处，时刻小圆柱和圆盘中心的连线与轴负方向的夹角为。 (1)求小圆柱和金属杆运动的周期、。 (2)推导金属杆的速度与时间的关系式，并在图乙坐标系中画出图像。(作图时，取，至少画出一个周期，并标出关键位置的坐标) (3)当金属杆运动时 a.求电阻的电功率； b.圆盘转动任意半周的过程中，安培力对金属杆的冲量大小为，求的最大值。 变式1．（2026·江苏·高考真题）扫地机器人可利用磁场对通电线圈的安培力实现悬浮与驱动。如图，一扫地机器人内含、两矩形线框，其中为平衡框，用于保持悬浮，abcd为驱动框，用于提供向前的动力。上下两导线中通电后，其间形成的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。每个框都有一条边长为并嵌入金属芯，金属芯使得该边处磁场的磁感应强度变为原来的（）倍。两线框通过绝缘杆固定连接，总质量为，运动过程中线框整体受到的摩擦阻力大小恒定，导线和线框均始终在同一竖直平面内，且线框的上下边与导线始终水平。（重力加速度为g） (1)为了使线框整体悬浮，求框中的电流的大小和方向； (2)若线框向右运行速度大小为，求边的感应电动势； (3)若线框以速度大小在水平方向上匀速运动，某时刻保持电流大小不变，仅将动力线框中的电流反向，线框在安培力和阻力作用下做匀减速直线运动，经过位移后停止，求整个减速过程，动力线框边所受安培力的平均功率。 变式2．（25-26高二下·四川成都·期末）如图所示，两根足够长光滑平行金属导轨、固定在倾角绝缘斜面上，底部接有一阻值的定值电阻，轨道上端开口，间距，整个装置处于磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量的金属棒置于导轨上，通过细线（细线与导轨平行）经定滑轮与质量为的小物块相连。金属棒在导轨间的电阻，导轨电阻不计。金属棒由静止释放到匀速运动前，电阻产生的焦耳热量总共为，金属棒与导轨接触良好，不计空气阻力，，，，求： (1)金属棒匀速运动时的速度大小； (2)金属棒沿导轨运动过程中，电阻上的最大电功率； (3)从金属棒开始运动至达到最大速度过程中，流过电阻的总电荷量。 考点二 导体棒转动切割磁感线问题 核心知识点 1. 电动势推导：棒绕一端在垂直磁场平面匀速转动，各点线速度线性分布，取平均速度 · ：棒总长；：角速度；也可替换 ； · 若绕中点转动：两段电动势反向抵消，总。 1. 电路特点 转动棒为电源，电动势恒定（不变）；两端存在电势差，转轴与端点电势不等。 1. 电势判断：右手定则，四指指向高电势（电源内部由低电势指向高电势）。 1. 拓展：扇形导轨、圆盘发电机本质都是绕一端转动切割，公式通用。 1. 电量、安培力：若形成闭合回路，，安培力力矩阻碍转动。 例1．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）某兴趣小组设计了一种发电装置，如图所示。在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角均为，磁场均沿半径方向。匝数为N的矩形线圈abcd的边长 、 线圈以角速度绕中心轴匀速转动，bc和ad边同时进入磁场。在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B、方向始终与两边的运动方向垂直。线圈的总电阻为r，外接电阻为求： (1)线圈切割磁感线时，感应电动势的大小； (2)线圈切割磁感线时，bc边所受安培力的大小F； (3)外接电阻上电流的有效值 例2．（25-26高二下·广东惠州·期末）某兴趣小组利用转动导体棒、平行板电容器与带电油滴等开展复合场探究实验，实验装置分为电路区与偏转区两部分。简化模型如图所示，电阻不计、半径为的圆形金属导轨竖直放置，内有方向垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场。长为、电阻为的导体棒可绕圆心匀速转动，外端与导轨接触良好。阻值为的电阻通过导线、开关分别与导轨外侧及圆心相连，其右侧并联长度和间距均为、上下水平相对的平行板电容器。一系列质量为m、带电量为的油滴以的水平速度沿平行板正中央射入。闭合开关，当导体棒以某一角速度顺时针匀速转动时，油滴恰好能从下极板右端飞出；角速度大小不变，仅改变导体棒转动方向，在平行板间加上合适的匀强磁场，油滴恰好能从上极板右端飞出。忽略油滴之间的相互作用力，取重力加速度大小为。求： (1)油滴从下极板右端飞出过程中的加速度； (2)导体棒匀速转动过程中的角速度大小； (3)平行板间所加匀强磁场的磁感应强度大小。 例3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）某科创小组设计了一种可以使金属杆周期性地交替运动和静止的装置，其设计方案如图所示，绝缘水平面上固定两个光滑的同心金属圆环，圆心为O，半径分别为和。直线MOP垂直ON，MON区域充满垂直圆环平面向下的匀强磁场。通过电刷将两金属圆环引出到右侧两根水平固定的平行金属导轨上，导轨光滑且足够长，间距为L，并处于垂直导轨平面向下大小为的匀强磁场中。电阻为R的金属杆ab位于ON处沿半径方向架在两环间（始终接触良好），时刻，施加周期性外力使ab杆以角速度绕O点顺时针匀速旋转，并同时释放位于GG的金属杆（质量为m，电阻为2R，长度也为），当ab杆首次转到OM处时，cd杆的速度为v，当ab杆首次转到OP处时，cd杆刚好运动到处且速度为0。不计一切摩擦和其它电阻，运动过程中金属杆始终垂直于平行导轨。求： (1)时刻金属杆ab产生的电动势的大小并判断ab中电流的方向； (2)若ab杆从ON转到OM的过程中，ab杆上产生的焦耳热为Q，到时间内回路中电流的有效值； (3)到的距离x的大小。 变式1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图甲所示为永磁式径向电磁阻尼器，由永磁体、定子、驱动轴和转子组成，永磁体安装在转子上，驱动轴驱动转子转动，定子上的线圈切割“旋转磁场”产生感应电流，从而产生制动力。如图乙所示，单个永磁体的质量为m，长为、宽为（宽度相对于所在处的圆周长度小得多，可近似为一段小圆弧）、厚度很小可忽略不计，永磁体的间距为，永磁体在转子圆周上均匀分布，相邻磁体磁极安装方向相反，靠近磁体表面处的磁场可视为匀强磁场，方向垂直表面向上或向下，磁感应强度大小为B，相邻磁体间的磁场互不影响。定子的圆周上固定着多组金属线圈，每组线圈由两个矩形线圈组成，连接方式如图乙所示，每个矩形线圈的匝数为N、电阻为R，长为，宽为，线圈的间距为，两组相邻线圈的间距也为。转子半径为r，转轴及转子质量不计，定子和转子之间的缝隙忽略不计。 (1)当转子角速度为时，求每组线圈所受安培力F的大小； (2)若转子的初始角速度为，求转子转过的最大弧长； (3)若在外力作用下转子加速，转子角速度随转过的角度的图象如图丙所示，求角度转至的过程中产生的焦耳热。 变式2．（2026·湖北武汉·三模）如图所示，半径为的水平金属圆盘绕过中心。的竖直轴以角速度匀速转动，圆盘处在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。是间距为的足够长、水平光滑平行金属导轨，导轨处在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。导轨的端用导线通过电刷与圆盘边缘相连，、之间连接电容为的电容器和单刀双掷开关，且的接线柱1通过电刷与圆盘中心相连。在导轨上间隔一定距离垂直于导轨放置着两根金属棒、，质量分别为和，电阻值分别为和，不计其他电阻，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。 (1)将S掷于1，稳定后，求电容器所带的电荷量； (2)当电容器所带电荷量为时，将从1掷于2， i．求、棒稳定后的速度大小； ii．为使、棒不相碰，求两棒初始距离的最小值。 变式3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图所示，半径为r的金属圆环固定在竖直平面内，金属杆一端与固定在圆心O处的转轴相连，另一端A与圆环接触良好（未固定）。在O点和圆环之间连接电阻R和电容器，电容器P、Q两极板水平放置，两极板之间的距离为d，在环内及P、Q两极板间均有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在外力作用下金属杆逆时针匀速转动时，质量为m、带电量为q的微粒从电容器的左侧以速率沿虚线射入，在P、Q两极板之间的竖直平面内恰做匀速圆周运动，重力加速度为g，其它电阻不计。求： (1)金属杆转动的角速度ω； (2)若金属杆的转速减半，微粒在电容器中偏离虚线的最大距离h； (3)在第（2）问的条件下，若微粒射出电容器时的偏移量为最大距离的四分之一，微粒射出时的速度大小及电容器极板的可能长度L。 2 学科网（北京）股份有限公司 $