精品解析：山东省聊城市茌平区2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025-2026学年第二学期学业水平检测 七年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，其中用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 2. 以下调查中，适宜采用全面调查的是（ ） A. 即将发射的载人航天器零部件的质量 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C. 调查某批次电动车的电池使用寿命 D. 中央电视台《开学第一课》的收视率 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 把多项式因式分解时，提取的公因式是，则k的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 5. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A. 72 B. 68 C. 65 D. 60 9. 如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 杨辉三角形，又称贾宪三角形,帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律观察下列各式及其展开式：请你猜想展开式的第三项的系数是（ ） A. 66 B. 55 C. 45 D. 36 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知，，则的值是___________． 12. 已知是等腰三角形，若，则的周长是 _______． 13. 符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为，例如．请根据阅读材料，化简二阶行列式______________． 14. 如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_________． 15. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是_____． ①的面积等于的面积；②；③；④． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算和因式分解 （1）计算： ①； ②； （2）分解因式： ①； ②． 17. 解方程组： （1）； （2）． 18. 先化简再求值：；其中，． 19. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（所对应的是人）．根据图中提供的信息、解答下列问题： （1）这次抽样调查的学生人数是______人； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图的值为______，其中“”组对应的圆心角度数为______； （4）已知该校共有学生人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数． 20. 如图，点O在直线上，，与互余，F在上，连接． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，求的度数． 21. 生活中的数学：确定租车方案 素材一 某租车公司有甲、乙两种型号客车可选择，下表是公司租车记录单上部分信息： （1）任务一，根据该公司记录单上信息，确定甲、乙两种型号客车每辆租金分别是多少元？ （2）任务二，某学校本次研学准备租用该租车公司的客车（每种型号客车至少有一辆）．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 22. 完成以下问题 （1）若关于m，n的多项式中不含有项，则a的值为 ． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴ ， ∴． ①如图，点C是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为24，则的面积为 ； ②若，求的值． 23. 【发现问题】如图①，亮亮同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】亮亮提出：，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）请你帮亮亮解决这个问题，并说明理由． （2）如图②，，，的数量关系为 ； 如图③，若，，，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图④，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期学业水平检测 七年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，其中用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，正确的确定的值即可． 【详解】解：； 故选：C 2. 以下调查中，适宜采用全面调查的是（ ） A. 即将发射的载人航天器零部件的质量 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C. 调查某批次电动车的电池使用寿命 D. 中央电视台《开学第一课》的收视率 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查调查方式的选择，根据全面调查的适用条件判断：全面调查适用于调查要求结果精确、不具有破坏性、事关重大的调查；调查范围广、具有破坏性的调查适合抽样调查. 【详解】∵载人航天器零部件质量直接关系飞行安全，必须保证每个零件合格，对精度要求极高，∴选项A适宜采用全面调查； ∵全国中学生群体规模大，调查范围广，∴选项B适合抽样调查，不适宜全面调查； ∵测试电池使用寿命会对电池造成损耗，调查具有破坏性，∴选项C适合抽样调查，不适宜全面调查； ∵《开学第一课》收视率调查涉及的受众范围极广，不需要也难以逐个统计，∴选项D适合抽样调查，不适宜全面调查. 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质求出的度数，由垂线的定义求出的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 把多项式因式分解时，提取的公因式是，则k的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】公因式中相同字母的次数取多项式各项中该字母的最低次数，据此确定k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵提取的公因式为，多项式中第一项的次数为， ∴第二项中的次数满足， ∵选项中只有满足， ∴的值可能为． 5. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用二元一次方程的解的定义解题，将已知的方程解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：将，代入方程得 移项得 两边同除以得． 6. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 7. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，结合各选项给出的角的数量关系，计算各角度数，判断是否为直角三角形即可． 【详解】解：A、将代入得，解得，则是直角三角形，不符合题意； B、由得，代入得，解得，则是直角三角形，不符合题意； C、由得、，代入得，解得、，则是直角三角形，不符合题意； D、将代入得，解得、，则三个角都不是，故不是直角三角形，符合题意． 8. 有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A. 72 B. 68 C. 65 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 9. 如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理并结合折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在三角形纸片中，，， ∴， 如图： 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴． 10. 杨辉三角形，又称贾宪三角形,帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律观察下列各式及其展开式：请你猜想展开式的第三项的系数是（ ） A. 66 B. 55 C. 45 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】观察题干得出规律（，且为整数）展开式的第三项系数为，由此计算即可得出结果． 【详解】解：对于展开式的第三项系数为， 对于展开式的第三项系数为， 对于展开式的第三项系数为， …， （，且为整数）展开式的第三项系数为， ∴展开式的第三项的系数是． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知，，则的值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法法则将所求代数式变形，再代入已知条件求值即可． 【详解】解：． 12. 已知是等腰三角形，若，则的周长是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形定义分情况讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，底边长为，由于，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，底边长为，满足三角形三边关系，可以构成三角形，此时的周长为． 13. 符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为，例如．请根据阅读材料，化简二阶行列式______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，整式的混合运算，根据材料提示进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意， ， 故答案为： ． 14. 如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_________． 【答案】9或 【解析】 【分析】利用即可解决问题． 【详解】解：， ∵多项式是一个完全平方式， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上所述，m的值是9或． 15. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是_____． ①的面积等于的面积；②；③；④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故③正确； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算和因式分解 （1）计算： ①； ②； （2）分解因式： ①； ②． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①先计算有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算乘法，最后计算加减； ②先计算积的乘方，再根据单项式与单项式相乘的运算法则求解即可； （2）①先提公因式，再运用完全平方公式因式分解即可； ②先用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：① ； ② ． 17. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法计算即可得出结果； （2）利用加减消元法计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴二元一次方程组的解为； 【小问2详解】 解：整理得， 由得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 18. 先化简再求值：；其中，． 【答案】，7 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式、平方差公式以及完全平方公式去括号，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可化简，代入，计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 19. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（所对应的是人）．根据图中提供的信息、解答下列问题： （1）这次抽样调查的学生人数是______人； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图的值为______，其中“”组对应的圆心角度数为______； （4）已知该校共有学生人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数． 【答案】（1）； （2）补全频数分布直方图见解析； （3），； （4）估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生有人． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，画频数分布直方图，求圆心角度数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）利用所对应的人数除以其所占百分比，即可得到这次抽样调查的学生总人数； （）先求出所对应的人数，再补全频数分布直方图即可； （）根据调查总人数，计算得到的值，再利用乘以“”组所占比，即可得出“”组对应的圆心角度数； （）利用总人数人乘以该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数所占比，即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：所对应人数是：（人）， 补全频数分布直方图如下， 【小问3详解】 解：扇形统计图的值为:， ∴， “”组对应的圆心角度数为， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生有人． 20. 如图，点O在直线上，，与互余，F在上，连接． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1），理由如下： ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）同旁内角互补，两直线平行； （2）先求出，由角平分线的定义可得，最后再由平角的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21. 生活中的数学：确定租车方案 素材一 某租车公司有甲、乙两种型号客车可选择，下表是公司租车记录单上部分信息： （1）任务一，根据该公司记录单上信息，确定甲、乙两种型号客车每辆租金分别是多少元？ （2）任务二，某学校本次研学准备租用该租车公司的客车（每种型号客车至少有一辆）．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 【答案】（1）每辆甲型号客车的租金是600元，每辆乙型号客车的租金是1000元； （2）共有2种租车方案，方案1：租用1辆甲型号客车，10辆乙型号客车；方案2：租用10辆甲型号客车，5辆乙型号客车 【解析】 【分析】（1）设每辆甲型客车租金是x元，每辆乙型号客车租金是y元，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设租用m辆甲型号客车，n辆乙型号客车，根据题意列出关于、的二元一次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：任务一：设每辆甲型客车租金是x元，每辆乙型号客车租金是y元， 根据题意得， 解得， 答：每辆甲型号客车的租金是600元，每辆乙型号客车的租金是1000元； 【小问2详解】 解：任务二：设租用m辆甲型号客车，n辆乙型号客车， 根据题意得， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种租车方案，方案1：租用1辆甲型号客车，10辆乙型号客车；方案2：租用10辆甲型号客车，5辆乙型号客车． 22. 完成以下问题 （1）若关于m，n的多项式中不含有项，则a的值为 ． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴ ， ∴． ①如图，点C是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为24，则的面积为 ； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①3；②9 【解析】 【分析】（1）多项式不含某项，令某项的系数为0即可； （2）①设，，根据题意可得，，根据例题步骤进行计算即可； ②令，，则可得出，根据例题步骤进行计算即可． 【小问1详解】 解： ∵多项式不含项， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①设，，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②令，，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 【发现问题】如图①，亮亮同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】亮亮提出：，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）请你帮亮亮解决这个问题，并说明理由． （2）如图②，，，的数量关系为 ； 如图③，若，，，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图④，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数． 【答案】（1），理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴； （2），138 （3） 【解析】 【分析】（1）两直线平行，内错角相等； （2）两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补； （3）利用平行线的性质、角平分线的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴，， ∴， 作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $