精品解析：福建莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷高二数学

莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的性质直接求解. 【详解】由，则. 2. 若函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. e 【答案】C 【解析】 【详解】，求导可得， 当时，. 3. 若随机事件满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 4. 在四面体中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 是的中点，故， 故． 5. 根据成对分类变量与的样本观测数据，计算得到，依据的独立性检验，可认为（ ） 附： A. 变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过 B. 变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过 C. 变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过 D. 变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验规则直接判断即可. 【详解】由题知，零假设：变量与相互独立， 查表得临界值，由， 则原假设不成立，即变量与不相互独立， 且该推断犯错误的概率不超过. 6. 若向量，，共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 7. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数存在单调递减区间转化为不等式在有解问题，结合不等式的性质可得. 【详解】函数的定义域为，求导得： . 若在内存在单调递减区间，则存在，使得. 由于，故等价于，整理得. 当时，，因此，即. 要存在满足，只需小于在区间内的最大值即可， 因为当，当，所以. 故实数的取值范围是. 8. 已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且满足，，则（ ） （附：若，则，，） A. 0.1359 B. 0.1573 C. 0.2718 D. 0.34135 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解得参数值，将所求概率转化为标准正态分布下的概率进行求解. 【详解】已知，令，则，即与服从同一分布， 因为，即， 所以，即， 因为，即， 所以，解得， 因此，故选项A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知线性相关的两个变量，的10对样本观测数据满足，用最小二乘法得到关于的回归直线方程为；若剔除一个数据后，剩下数据的样本中心为，其回归直线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查线性回归方程的核心性质：回归直线恒过样本中心点，先计算剔除数据后的样本均值，再代入新回归方程求解截距即可判断各选项。 【详解】 选项A：已知10个的和为，剔除数据的横坐标为9，剩余9个的和为，因此，A正确. 选项B：原10个数据的样本横坐标均值，回归直线过样本中心，代入原回归方程得原纵坐标均值，故10个的和为，剔除数据的纵坐标为10，剩余9个的和为，因此，B错误. 选项C：新回归直线过新样本中心，代入得，解得，C正确. 选项D：由选项C的计算可知，D错误. 10. 已知正方体的棱长为1，若，则（ ） A. 若，则 B. 若平面，则点轨迹的面积为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则点的轨迹与正方体表面交线的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，分别写出的坐标表示可得，即可得到；对于B，先证明平面平面，进而可得点在等边内运动，即可求出点轨迹的面积；对于C，根据柯西不等式或不等式配方可得的最小值；对于D，先得出点在以为球心，半径的球面上，再分别考虑与正方体每个表面的交线长度即可. 【详解】如图，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 由于，故. 对于A，若，则， 又，故， 故，因此，故A正确； 对于B，因为，平面，平面， 故平面， 又，平面，平面，故平面， 而平面，，故平面平面， 由于平面，所以平面， 又，故点在内运动，轨迹面积即为的面积， 易得为边长为的等边三角形，， 因此点的轨迹面积为，故B正确； 对于C，由于，故， 这是因为， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，故C错误； 对于D，， 故点在以为球心，半径的球面上， 考虑平面，取，则，故该球与正方形仅交于点， 同理，与正方形仅交于点，与正方形仅交于点， 考虑平面，取，则， 故该球与正方形的交线为以点为圆心，半径为1的圆弧，长度为， 同理，与正方形、正方形的交线长度均为， 因此点的轨迹与正方体表面交线的长度为，故D正确. 11. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则（ ） A. B. C. 在处取得极大值 D. 若方程有两个实数根，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】构造，求导，考察，求导验证，结合，得到，利用导数判断单调性，极值及函数取值范围，逐个选项进行判断即可. 【详解】因为，所以， 令，则， 考察函数，求导验证， 所以 （ C 为常数），结合解得 ， 故，，符合题意， 对于A，当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以，A正确； 对于B，， ，当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，B正确； 对于C，由B选项可知在处取得极大值，C正确； 对于D，，当时，， 当时，， 所以若方程有两个实数根，则实数的取值范围是，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设， 因， 所以曲线在点处的切线方程的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为：， 化简可得：. 故答案为： 13. 在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值可得. 【详解】由于直三棱柱中，且侧棱底面， 故以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系. 设，可得，，，，. 因为为的中点，因此的坐标为. 则直线的方向向量，直线的方向向量. 设异面直线与所成角为，， ， ，； 所以. 因此直线与所成角的余弦值为. 14. 有4个尺寸不同的蛋糕，事先尺寸未知．现随机排列逐个呈现，按如下策略进行选择：拒绝第一个蛋糕，之后选择首个比第一个大的；若第一个本身就是最大的，则选择最后一个．按此策略选到最大尺寸蛋糕的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算总样本数，再按关键元素分类，逐一分析最大蛋糕位置计算成功选中最大蛋糕的排列数，进而得到最终概率． 【详解】4个尺寸不同的蛋糕随机排列，总排列数为； 将蛋糕从小到大升序标记为， 若最大蛋糕在第1位，拒绝第一个后，后续都比第一个小，故选不到最大，成功数为0； 最大蛋糕在第2位，第二个是首个比第一个大的蛋糕，直接选中，必然成功， 排列数为其余3个全排列，共； 最大蛋糕排在第3位：需满足第2位比第1位小，才不会在第2位误选， 等到第3位选中最大蛋糕， 前2位从剩余3个中选2个排列，降序排列共3种，对应3种成功排列； 最大蛋糕排在第4位：需满足第2、3位都比第1位小，即第1位是前3个里最大的， 才会最后选中最大蛋糕，前3位中第1位固定为第二大，剩余两位全排列， 共2种， 综上，成功排列数为：， 概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 在处有极值. （1）求函数的单调区间 （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调增区间：；单调减区间： （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据极值点求出参数的值，最后根据导数的正负来确定函数的单调区间. （2）根据（1）中得到的函数单调性，找出函数在区间上的极值点和端点值，然后比较这些值的大小，从而得到最大值和最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处有极值，所以， 即，解得， 故，， 令，则或， 当时，，所以在上单调递减， 当或时，，所以在和上单调递增， 所以单调增区间：，单调减区间：， 【小问2详解】 由（1）知，在区间上，在上单调递减， 在上单调递增，所以在处取极小值， 即， ， ， 所以最大值为，最小值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接，交于点，连接. 正方形中，、交于点，则为中点. 又为的中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可 （2）根据线面角的定义，结合等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，底面， 所以，，. . 在中，，，则， 同理可得，. 在中，，所以，则. 设直线与平面所成角为，点到平面的距离为， 则，所以，解得. 所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）证明：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）因为函数的定义域为， 又，设， 则，所以在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析的最值，可得出，即可证得结论成立； （2）分离参数得到，再利用导数分析的最值即可求得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为对恒成立， 所以对恒成立． 令． 解法一：， 令，则在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以的取值范围为． 解法二：，设， 则，所以在上单调递增， 又， 所以，使得，即，即， 所以， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以的取值范围为． 解法三：因为， 令，则， 所以． 由得；由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以的取值范围为． 18. 如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． （1）求的长； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作于点,连接,证明平面，得到，再使用等面积法，计算出，最后求出的长； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再计算出平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心,利用求出球心的坐标，再求出点到直线的距离，最后求得三角形的面积. 【小问1详解】 作于点,连接， 因为平面平面，平面平面，平面, 所以，平面，平面， 所以，，又，，平面, 所以，平面，平面， 所以，， 由，得 即, 翻折前在梯形中，由得，沿将梯形翻折后，, 在平面四边形中，，那么, 又所以四边形是平行四边形， 所以，, 设，则，， 即，解得, 所以，. 【小问2详解】 在原直角梯形中，作于点，那么 四边形为矩形，, ,所以为等腰直角三角形，， 由于,所以，， 所以，沿将梯形翻折后，为等腰直角三角形, , 以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，那么 ,, , 设平面法向量为，平面法向量为，那么 ， 取，则为平面一个法向量， , 取，则为平面一个法向量， , 所以，平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 若四面体的四个顶点都在球上， 由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心，则由可得 ，解得， 所以，， 点到直线的距离为 , 所以，. 19. 某通信系统包含个信号节点，，，…，，它们通过条光纤依次连接，光纤支持双向信号传输．每条光纤因故障信号传输中断的概率为，各光纤故障与否相互独立．两端节点，作为信号源分别发送信号，其余中间节点仅可经光纤通路接收信号． （1）若每个节点正常工作的概率为，且每个节点是否正常工作相互独立．设为个信号节点正常工作的节点数． （i）求，； （ii）证明：对任意自然数，都有． （2）已知每个节点均正常工作． （i）求所有节点都有信号的概率（结果用表示）； （ii）当时，若对任意，均可从，，，…，中适当选取个节点作为新增信号源，使得所有节点都有信号的概率大于（其中是自然对数的底数），求正整数的最小值． 【答案】（1）（i），； （ii）当时，显然成立； 当时，设为个信号节点正常工作的节点数，那么， ，, 当时， 即，整理，得 ； 当时，， 即，整理，得 ； 综上所述，. （2）（i）;（ii） 【解析】 【分析】（1）设为个信号节点正常工作的节点数，那么， （i）利用二项分布的概率计算公式即可求解； （ii）利用二项分布的概率之和为1分类讨论即可证明； （2）（i）若所有节点都有信号，则故障光纤条数不超过， 设为光纤信号传输中断条数，那么，则存在两种情况， 第一种：所有光纤都正常工作；第二种：信号源节点，之间中间某个信号节点的光纤发生故障无法收到一端信号，只能收到另一端信号，利用二项分布的概率计算公式即可计算； （ii） 若从 中选取个节点作为新增信号源，则此时条光纤被这些信号源分成段，设各段光纤数为，那么， 由于每一段两端都有信号源，所以若某一段内有至少两条光纤故障，则该段中间会有节点收不到信号；若该段内故障光纤数不超过 ，则该段所有节点都有信号， 所以，某段信号节点有条光纤信号传输时， 该段“所有节点都有信号”的概率为 ， 因此所有节点都有信号的概率为 通过第（1）问结论计算出，由于 所以，，得 即，构造函数，通过求导计算出函数最小值，，所以，,又，故. 【小问1详解】 设为个信号节点正常工作的节点数，那么， （i），； （ii）略. 【小问2详解】 （i）若所有节点都有信号，则故障光纤条数不超过1， 设为光纤信号传输传输中断条数，那么,则存在两种情况， 第一种：所有光纤都正常工作；第二种：信号源节点，之间中间某个信号节点的光纤发生故障无法收到一端信号，只能收到另一端信号， 所有节点都有信号的概率为 ; (ii)若从 中选取个节点作为新增信号源，则此时条光纤被这些信号源分成段，设各段光纤数为，那么， 由于每一段两端都有信号源，所以若某一段内有至少两条光纤故障，则该段中间会有节点收不到信号；若该段内故障光纤数不超过 ，则该段所有节点都有信号， 所以，某段信号节点有条光纤信号传输时， 该段“所有节点都有信号”的概率为 ， 因此所有节点都有信号的概率为 即 由（1）得 即， 所以，， 将所有不等式两边相乘，得 ， 即，由于 所以，，得 即， 设,则由得 即， ， 令，那么， 当时，；当时，， 所以时，函数取得极小值，也是最小值，， 所以，，, 所以，，又，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. e 3. 若随机事件满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 根据成对分类变量与的样本观测数据，计算得到，依据的独立性检验，可认为（ ） 附： A. 变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过 B. 变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过 C. 变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过 D. 变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过 6. 若向量，，共面，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且满足，，则（ ） （附：若，则，，） A. 0.1359 B. 0.1573 C. 0.2718 D. 0.34135 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知线性相关的两个变量，的10对样本观测数据满足，用最小二乘法得到关于的回归直线方程为；若剔除一个数据后，剩下数据的样本中心为，其回归直线方程为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方体的棱长为1，若，则（ ） A. 若，则 B. 若平面，则点轨迹的面积为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则点的轨迹与正方体表面交线的长度为 11. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则（ ） A. B. C. 在处取得极大值 D. 若方程有两个实数根，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为________． 13. 在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 14. 有4个尺寸不同的蛋糕，事先尺寸未知．现随机排列逐个呈现，按如下策略进行选择：拒绝第一个蛋糕，之后选择首个比第一个大的；若第一个本身就是最大的，则选择最后一个．按此策略选到最大尺寸蛋糕的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 在处有极值. （1）求函数的单调区间 （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）证明：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． （1）求的长； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积． 19. 某通信系统包含个信号节点，，，…，，它们通过条光纤依次连接，光纤支持双向信号传输．每条光纤因故障信号传输中断的概率为，各光纤故障与否相互独立．两端节点，作为信号源分别发送信号，其余中间节点仅可经光纤通路接收信号． （1）若每个节点正常工作的概率为，且每个节点是否正常工作相互独立．设为个信号节点正常工作的节点数． （i）求，； （ii）证明：对任意自然数，都有． （2）已知每个节点均正常工作． （i）求所有节点都有信号的概率（结果用表示）； （ii）当时，若对任意，均可从，，，…，中适当选取个节点作为新增信号源，使得所有节点都有信号的概率大于（其中是自然对数的底数），求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $