13.1三角形的概念（2知识点+4大题型+针对训练）【暑假自学课】 2026-2027学年人教版八年级数学上册

13.1三角形的概念 学习目标导航 1.掌握三角形的相关概念，能够熟练判断三角形； 2.熟练判断三角形中边与角的相关关系。 3.掌握三角形的分类方法，能够熟练对三角形进行分类。 洞悉◆教材知识 知识点01 三角形及其相关概念 1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形． 如图，线段AB 、BC 、AC是三角形的边．三角形的边有时也用小写字母a，b，c来表示，a＝BC、b＝AC、c＝ AB ，点A、点B、点C是三角形的顶点 ，∠A 、∠B 、∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角．图中三角形记作△ABC． 知识点02 三角形的分类 2.三角形的分类 ①按内角的大小分类 ②按边的相等关系分类 3.三角形的三边关系 ①三角形两边的和大于第三边 ②三角形两边的差小于第三边 核心题型◆归纳 题型01 数三角形的个数 题型02 判断三角形的对边对角及邻边邻角 题型03 判断三角形的形状 题型04 三角形的分类 针对训练 题型解析◆精准备考 题型01 数三角形的个数 【典例1】如图，三角形的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：由所给图形可知， 图中三角形的个数为：1+2＝3． 故选：B． 【变式1】如图所示，其中三角形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解答】解：△ABE，△DEC，△BEC，△ABC，△DBC共5个．故选D． 题型02 判断三角形的对边对角及邻边邻角 【典例1】如图，在△ABF中，顶点B的对边是　AF　 ． 【答案】AF． 【解答】解：顶点B的对边是AF， 故答案为：AF． 【变式1】如图，在△BCE中，∠CBE所对的边是 　EC　 ；在△AEC中，边AE所对的角是 　∠ACE　 ． 【答案】EC；∠ACE． 【解答】解：在△BCE中，∠CBE所对的边是EC；在△AEC中，边AE所对的角是∠ACE， 故答案为：EC；∠ACE． 题型03 判断三角形的形状 【典例1】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 【变式1】在△ABC中，如果∠A＝91°+∠B，那么△ABC是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝91°+∠B＞90° ∴∠A是钝角， ∴△ABC是钝角三角形． 故选：B． 题型04 三角形的分类 【典例1】如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（　　） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【解答】解：∵等腰三角形包括等边三角形， ∴①分类方法不对， ∵三角形按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， ∴②分类方法对， 故选：B． 【变式1】如图表示三角形的分类，则A表示的是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】D 【解答】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形， ∴A表示三边都不等的三角形． 故选：D． 1．观察下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形是由三条线段首位顺次连接形成的封闭图形，即可解答． 【详解】解：A、C、D不是三角形，不符合题意； B是三角形，符合题意； 故选：B． 2．在中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：如图， 在中，边的对角是， 故选：A． 3．三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 【答案】B 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的定义，熟知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形是解题的关键． 4．如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，，是的内角，原说法正确，不符合题意； B、 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意； C、，但不一定等于，原说法错误，符合题意； D、的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 5．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键. 根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可. 【详解】解：等边三角形的每一个内角均为，由图可知该三角形有一个内角为，故不可能为等边三角形，故选项D符合题意. 故选：D． 6．在中，，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 7．一个三角形的三个内角中最小的一个是，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的分类，根据三角形内角和推理最大角的度数范围是解题的关键． 根据最小角为，设的最大角为，最小角为，结合三角形的内角和可推得最大角为锐角． 【详解】不妨设中的最小角，最大角为，则 即：三角形最大角为锐角． 故三角形一定为锐角三角形． 故选：A． 8．如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，， ∵于点， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形， 综上，直角三角形有、、、、，一共5个， 故选：C． 二、填空题 9．如图所示． （1）图中共有__________个三角形，它们是__________； （2）线段是__________，__________，__________的边； （3）是__________，__________，__________的角． 【答案】 6 【分析】（1）首先根据给出的图形，写出所有的三角形，进而确定个数即可； （2）根据三角形的边的定义作答即可； （3）根据三角形的角的定义作答即可． 【详解】解：（1）由图可知，图中的三角形有：，共6个， 故答案为：6，； （2）由图可知： 以为边的三角形有、、， 故答案为：，，； （3）由图可知： 是、、的角， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查三角形的概念及相关基础问题，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键． 10．的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长___________，___________，___________． 【答案】 5 4 3 【分析】本题考查了三角形周长公式，三角形的边长关系，解题的关键在于理解并应用三角形的周长公式； 根据三角形周长公式及题目中给出的关系式，代入求值即可． 【详解】解：的周长为12， ， ，， ， 解得：， ，， 故答案为：5，4，3． 11．如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是___个． 【答案】4 【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍，从而得解．本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试． 【详解】如图，满足条件的点C共有4个． 故答案为：4． 12．观察以下图形，回答问题： （1）图②有____个三角形；图③有_____个三角形；图④有_____个三角形；…猜测第七个图形中共有_____个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有_______个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 三、解答题 13．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答案】（1）10；24；（2）个 【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可； （2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数． 【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10； 根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24； （2）增加1条线，三角形个数为：； 增加2条线，三角形个数为：； 增加3条线，三角形个数为：； 则增加条线，三角形个数为：， 所以增加10条线，三角形个数为个； 【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系． 14．在中，． (1)求、、； (2)确定的形状．（属于什么类型的三角形） 【答案】(1)，， (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． （1）根据各角之间的关系，结合三角形内角和定理，即可求出、、的度数； （2）由，可得出、、均为锐角，进而可得出是锐角三角形． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ； （2）， 、、均为锐角， 是锐角三角形． 15．在中，， (1)求、、的度数； (2)按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？ 【答案】(1)； (2)按边分类，属于等腰三角形；按角分类，属于直角三角形 【分析】（1）设∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理列方程求解即可； （2）根据三角形按边分类和按角分类即可． 【详解】（1）解：∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理，得 x+x+2x=180°, 解得：x=45°， ∴∠A=∠B=x=45°，∠C=2x=90°； （2）解：∵∠A=∠B=x=45°， ∴AC=BC， ∴△ABC按边分类是等腰三角形； ∵∠C=90°， ∴△ABC按角分类是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形分类，掌握三角形内角和定理和三角形分类方法是解题的关键． 16．【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             【答案】（1）条；（2）个；（3）个；（4）个；（5）个 【分析】（1）数出线段的条数即可； （2）数出角的个数即可； （3）数出三角形的个数即可； （4）根据角的定义，得到每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个，再进行相加即可； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个；再进行相加即可． 【详解】解：（1）图中的线段有条：． 答：图中共有条线段． （2）图中共有个大于且小于的角： 答：图中共有个大于且小于的角． （3）由一个三角形组成的三角形个数有8个，由两个三角形组成的三角形个数有4个，由四个三角形组成的三角形个数有4个，所以共有：（个）． 答：图3中含有个三角形． （4）若从一个角的顶点出发，在角的内部引出条射线，则大于且小于的角中，每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔98条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个， ∴大于且小于的角共有：（个）； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个； ∴共有（个）． 【点睛】本题考查了线段、角、三角形、长方形的个数，注意在数个数时要不重不漏． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1三角形的概念 学习目标导航 1.掌握三角形的相关概念，能够熟练判断三角形； 2.熟练判断三角形中边与角的相关关系。 3.掌握三角形的分类方法，能够熟练对三角形进行分类。 洞悉◆教材知识 知识点01 三角形及其相关概念 1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形． 如图，线段AB 、BC 、AC是三角形的边．三角形的边有时也用小写字母a，b，c来表示，a＝BC、b＝AC、c＝ AB ，点A、点B、点C是三角形的顶点 ，∠A 、∠B 、∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角．图中三角形记作△ABC． 知识点02 三角形的分类 2.三角形的分类 ①按内角的大小分类 ②按边的相等关系分类 3.三角形的三边关系 ①三角形两边的和大于第三边 ②三角形两边的差小于第三边 核心题型◆归纳 题型01 数三角形的个数 题型02 判断三角形的对边对角及邻边邻角 题型03 判断三角形的形状 题型04 三角形的分类 针对训练 题型解析◆精准备考 题型01 数三角形的个数 【典例1】如图，三角形的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】如图所示，其中三角形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 判断三角形的对边对角及邻边邻角 【典例1】如图，在△ABF中，顶点B的对边是　 　 ． 【变式1】如图，在△BCE中，∠CBE所对的边是 　 　 ；在△AEC中，边AE所对的角是 　 　 ． 题型03 判断三角形的形状 【典例1】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在△ABC中，如果∠A＝91°+∠B，那么△ABC是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 题型04 三角形的分类 【典例1】如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（　　） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【变式1】如图表示三角形的分类，则A表示的是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形 针对训练 一、单选题 1．观察下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 3．三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 4．如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 5．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 6．在中，，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 7．一个三角形的三个内角中最小的一个是，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 8．如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 9．如图所示． （1）图中共有__________个三角形，它们是__________； （2）线段是__________，__________，__________的边； （3）是__________，__________，__________的角． 10．的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长___________，___________，___________． 11．如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是___个． 12．观察以下图形，回答问题： （1）图②有____个三角形；图③有_____个三角形；图④有_____个三角形；…猜测第七个图形中共有_____个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有_______个三角形（用含n的代数式表示结论）． 三、解答题 13．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 14．在中，． (1)求、、； (2)确定的形状．（属于什么类型的三角形） 15．在中，， (1)求、、的度数； (2)按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？ 16．【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $