河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（B版）

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1复数 A.3-4i B.4-3i C.4+3i D.3+4i 2.已知向量a=(一2,1)，b=(4,x十4)，若a∥b,则实数x= A.4 B.-2 C.-3 D.-6 3.长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能.某中学为了解学生使用手机的情况，随机 抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20] 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为 A.0.3 B.0.22 C.0.15 D.0.08 4.已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为4√2π，则该圆锥的体积为 A等 B© C.8π D.8√2π 5.已知a,B是不同的平面，m,n,l是不同的直线，若a∩B=L,mCa,nCβ，m⊥l,则“m⊥n”是“a⊥的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在△ABC中，(AB+AC)·BC=0,|AB+AC=√31AB-AC,则△ABC是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【高一数学第1页（共4页）】 HN-B 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b6,若满足b-4,cosA-停的△ABC有两个，则a的取值范 围为 A(0,√13) B.(2√5,4) C.(23,+∞) D.(/13,4) 8.盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件A=“取 出的2个球同色”，事件B=“第一次取出的是黑球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出 的2个球不同色”，则下列结论错误的是 A.A与D对立 BRP(BC)=是 C.C与D相互独立 D.P(BUC) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数x=2一i,则 Az在复平面内对应的点位于第四象限 B.zx2=5-41 C.|x-3十2il=√2 D.之是关于x的方程x2一4x十5=0的一个根 10.已知一组从小到大排列的数据1，x2,x,…,xn的平均数为元，方差为s2,极差为a,中位数为b.由这 组数据得到一组新数据1，y2y3,…,yn,其中y=3x十(i=1,2,3,…,n),则 A若n=8,则b=十之 B.新数据的极差为3a 2 C.新数据的平均数为3元 D.新数据的方差为9s 11.如图，正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，E,F分别是棱AD,DD1的中点，点P是正方形ABCD 内一动点（含边界），则下列结论正确的是 D C A若该正方体的顶点都在球O的球面上，则球O的体积为43π B.若FP∥平面ABCD,则点P的轨迹长度是2 C.若BE⊥CP,则点P的轨迹长度为⑤ D D.过点E,F,B,的平面截正方体所得的截面图形的面积为？， p 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2026年美加墨世界杯于北京时间2026年6月12日开幕，参赛球队首次从32支扩军至48支.某校有 老师300人，男学生1800人，女学生1500人，为了解师生对该届世界杯的评价，现用按比例分配的 分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则女生应抽取 人 13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=25,C=,则△ABC的面积为 14.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,AC=2√3，PA=PB=PC=2V2,M是BC的中点，则异面直线 AB与PM所成角的正弦值为 【高一数学第2页（共4页）】 HN-B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知e1,e2是两个不共线的单位向量，且a=3e1一4e2,b=e1十2e2,c=-3e1十2e2. (1)用a,b表示c: (2)若(a十b)·c=一9，求e1与e2的夹角， 16.(本小题满分15分) 甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有3道题，这3道题都解答正确才能 进人面试环节.已知甲答对这3道题的概率依次为号，受，日，乙答对每道题的概率均为分，且甲，乙两 人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进人面试环节也互不影响. (1)求甲进入面试环节的概率； (2)求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3,且sin2A-sin Asin B=cos2B-cos2C. (1)求C; (2)若角C的平分线交AB于D,CD=2,求△ABC的周长. 【高一数学第3页（共4页）】 HN-B 18.(本小题满分17分) 某校举办益智类答题比赛，对报名参加初赛的学生进行了选拔性测试，为了解参赛者的成绩情况，随 机抽取了200名学生的成绩（满分100分），按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. 频率 组市 0.030 0.025 0.020 0.015 040506070809010成绩/分 (1)求图中a的值： (2)请根据直方图估计参赛者成绩的85%分位数； (3)已知样本数据落在[80,90)的平均数是87，方差是6.2，落在[90,100]的平均数是93，方差是9.2， 求这两组数据合并后的平均数元和方差s2. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD,△PAD是边长为4的等边三角形， AD/∥BC,ABLBC,BC=AB=AD,M是棱CP上的点，且≈-XAE(O,1). (1)若PA∥平面BDM,求λ的值； (2)若X=号，求点P到平面MAB的距离； (3)若入∈[号，号]，设二面角M-BD-C的大小为9，求0的取值 范围。 【高一数学第4页（共4页）】 HN-B高一数学参考答案、提示及评分细则 1.c日得书8些=4+就夜达心 2.D因为a∥b,所以(-2)×(x+4)-1X4=0,解得x=一6.故选D. 3.A由统计表可知，共抽取了50名学生，每周使用手机的时长少于8小时有15人，所以随机抽取1名学生，其每周使用 手机的时长少于8小时的概率为号=0.3放选A 4.A设该圆锥的底面圆半径为r,则高h=r,母线l=√2r,因为侧面积为42π，所以√2π产=4√2π，解得r=2,所以圆锥 的体积V=子h=经故选A. 5.B当a∩B=l,mCa,nC3,m⊥l,m⊥n时，若l∥n,则不能推出m⊥3，则不能进一步推出a⊥3，充分性不成立；当a∩B= l,mCa,nCβ，m⊥l,aL3时，由面面垂直的性质可得mL3,再由线面垂直的性质可得m⊥，必要性成立.故选B. 6.A取BC的中点E,连接AE,因为(AB+AC)·BC=2AE·BC=0,所以AE⊥BC,所以△ABC是等腰三角形，AB= AC,又|AB+AC|=√3|AB-AC1,则2|AE|=√5|BC|,所以AE=√3BE,所以AB=√AE+BE=2BE=BC,所 以△ABC是等边三角形.故选A. 7.D由余弦定理，得a2=16+c2一2×4 ccos A=c2-25c+16,所以c2-23c+16-a2=0,由题意可知该三角形有两解， △=(-25)2-4(16-a2)>0, 所以关于c的一元二次方程有两个正实根，所以9十c2=25>0, 解得√13<a<4.故选D. G1c2=16-a2>0, 8.C设2个白球为a1,a2,3个黑球为b,b2,b,则样本空间2={(a1,a2),(a1,b),(a1,b),(a1,b),(a2,a),(a2b), (a2,b2),(a2,ba),(b,a),(b,a2),(b,b),(b,b),(b2,a),(b2,a2),(b2,b),(b2,b),(b,a),(b,a2),(b,b), (b3,b2)},共20个基本事件.事件A={(a,a2),(a2,a1),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b),(b2,b3),(b3,b),(b3,b2)},共8个基 本事件；事件B={(b,a1),(b,a2),(b,b2),(b,b),(b2,a),(b2,a2),(b2,b),(b,b),(b,a),(b,a2),(b,b), (b,b2)},共12个基本事件；事件C={(a1,a2),(a2,a1),(b1,a1),(b,a2),(b2,a1),(b2,a2),(b3,a),(b3,a2)},共8个 基本事件；事件D={(a1,b),(a,b2),(a,b)(a2,b),(a2,b),(a2,b),(b,),(b,a2),(b2,a),(b2,a2),(b3,a1), (b,a2)},共12个基本事件.因为A∩D=☑，AUD=2,所以事件A与D对立，A正确；BC={(b,a),(b,a2), 仙a).(,e).(h:a),(,)小，共6个基本事作，所以P(BC)=务=是B正确：CD {a).(a).a.a).a).a),共6个基本事件，所以P(CD)=高，又PC)=号=号，P(D) 号-号，PCD)≠P(OPD),C与D不相互孩立，C错误：P(BUC)=PB)+PCO-P(C)=号+号一-是-0， D正确.故选C. 9.ACD2=2-i在复平面内对应的点为(2，一1)，位于第四象限，A正确；2=(2-i)2=3一4i,B错误；之-3+2i= |一1十i=√2，C正确：将=2-i代入方程，得(2-i)2-4(2-i)+5=0,D正确.故选ACD. 10.BD若1=8，则b=4,A错误；新数据中最大的数为3x,十元，最小的数为3十元，则新数据的极差为3x十元 2 (3十)=3(x,-)=3a,B正确：设新数据的平均数为.则了=}(3十z+3十x+…十3z,十z)=(3+ )=4红，C错误：设新数据的方差为了，则=[(30+z-4)2+(3十7-4)+十(3红，十五-4)2门= [(3-3)+(3a-3x)+…+(3一3证)门=号[-x)+(-x)++(x-z)门=9D正确，放 选BD. 1,AC对于A,由题意，球O的半径为②2-5，则球O的体积为寺x(5)°=4x,A正确： 2 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 HN-B 对于B,如图1，取BC中点G,连接EG,FG,因为E为AD中点，所以EG∥AB,又EG￠平面ABCD,ABC平面 ABCD,所以EG∥平面ABCD1,同理，EF∥平面ABCD1,又EF∩EG=E,EF,EGC平面EFG,所以平面EFG∥平 面ABCD,当P在线段EG上运动时，易得FP∥平面ABCD1,即点P的轨迹为线段EG,长度为2，B错误； D D C B 图1 图2 对于C,如图2，连接BE,由正方体的性质，易得BB⊥平面ABCD,因为CPC平面ABCD,所以BB⊥CP,又BE⊥ CP,BE∩BB=B,BE,BB1C平面BEB,所以CP⊥平面BEB,因为BEC平面BEB,所以BE⊥CP,取AB的中 点M,连接CM,CM与BE相交于点N,易得△ABE≌△BCM,所以∠NMB+∠NBM=∠CMB+∠BCM=90°，即BE ⊥CM,当P在线段CM上运动时，BE⊥CP,即点P的轨迹为线段CM,长度为√5，C正确； 对于D,如图3，延长EF,分别与直线AA,A,D,交于点K,T,连接BK交AB于H, D 连接BT交D1C于I,则过点E,F,B的平面截正方体所得的截面为五边形 B,HEFI,因为平面ABCD∥平面AB,CD,平面ABCD∩平面EFB,=EH,平面 A B ABCD,∩平面EFB=BT,所以EH∥BT,易得△HKE∽△B,KT,易知AK=1, F 部部=子需日所以S版=日5m,同理，Sm=号sm,又BK D =BT=3,KT=3E,Sm=×3E×√()2-（色2）】 317 E 2 S=Sa灯一SDm一Sam二号Sas灯7平，D错误故选AC 7 6 1500 12.100女生应抽取的人数为240×300+1800+1500-10. 图3 民5在△ABC中，由正弦定理sA元得，mA 解得mA=合·则A=看或警，因为经+警>，所以 sin 3 A=吾，所以B=吾，所以Sa=csin B=-号×2X2BX号-5. 14.133 14 取AC的中点为O,连接OM,则OM∥AB,OM=1,所以∠PMO即为异面直 线AB与PM所成的角（或其补角）.PO=√PA-OA=√(22)-（√3）=5， PpM=VPm--V2-T-7.os∠P0P0OPC-,所 2PMXOM 以sin∠PM0=33 141 15.解：(1)设c=m0十b(m,n∈R), 则-3e1+2e2=m(3e1-4e2)+n(e十2e2)=(3m+n)e1+(-4m+2n)e2,… …3分 4 m=- 3m+n=-3, 5 所以〈 解得 即c=一 4 3b. …7分 -4m+2n=2, n=- 3 - 5 5 (2)a+b=(3e1-4e2)+(e+2e2)=4e1-2e2, 。。。 8分 因为(a+b)·c=-9,所以(4e-2e)·(-3e+2e2)=-12|e|2+14e·e2-4|e212=-9, 即-12十14e·e-4=-9,解得e·e2=2, …11分 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 HN-B 设6与的夹角为6，则s0=后aT-又e[0,,所以0- ，…13分 16.解：1)设事件A为甲答对第i道题”，i=1,23,则PA)=是，P(A)=,PA)=子 设事件A为“甲进人面试环节”，则A=AA2A,… …2分 所以PA)=PA,)PA:)PCA)号×合×号 …5分 (2)设事件B为乙答对第道题”，i=1,23,则P(B)=P(B)=P(B)= 设事件B为“乙进人面试环节”，则B=BB2B3,…7分 则P(B)=P()P()P(B)=子×号×名-g,P(B)=1-PB)=1-日-名， …10分 i1知P(A所以P(A)=1-P(A最 …11分 由题意可知，事件A,B相互独立，事件A,B相互独立， 设事件C为“甲、乙两人恰有一人进人面试环节”，则C=ABUAB, 12分 所以P(C=PAB)+P(AB)=P(AP(B)+P(AP(B)=0×令+品×g=号 15分 17.:(1)sin2A-sin Asin B=cos2B-cos2 C=(1-sin2B)-(1-sin2C)=sin2C-sin2B, 由正弦定理，得a2一ab=c2-?,即a2十2-c2=ab,… …4分 由余弦定理，得0sC=心+一c=b=1 2ab 2ab2 又0<CK,所以C=苓，… ……………………7分 (2)因为CD为角C的平分线，可得∠ACD=∠BCD=否， 因为S△MC=S△ACD+S△D,且CD=2, 所以2asm吾--lXCDXsin-吾+2 aXCDXsin吾，所以w5ab=2a+b),① …10分 由(1)知c2=a2+b-ab,所以9=(a十b)2-3ab,②…12分 联立①②，解得a十b=3√3或a十b=-√（舍去）， 所以△ABC的周长为a十b+c=35+3.… 15分 18.解：(1)由题意，10×(2a+0.015+0.020+0.025+0.030)=1,解得a=0.005. …3分 (2)设参赛者成绩的85%分位数为t, 由图知成绩在[40,80)内的频率为0.7，成绩在[40,90)内的频率为0.95，所以t在[80,90)内，…6分 所以0.7+(1-80)X0.025=0.85,解得1=86.… …9分 (3)成绩在[80,90)内的人数为0.25×200=50，成绩在[90,100]内的人数为0.05×200=10， 所以这两组数据合并后的平均数元00X87十10 500X93=88,…1 13分 50 方差2三50506.2+(87-8P士50009.2+(93-88)=l.7.………17分 19.解：(1)连接CA交BD于点N,连接MN, 因为PA∥平面BDM,PAC平面PAC,平面BDM∩平面PAC=MN, 所以PA∥MN, 所以器器 …2分 因为AD/BC.BC-AD,所以%，所以器C子 CA CN+NA 3 所以器子 ………………4分 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 HN-B (2)取AD的中点O,连接PO,CO,过M作ME∥PO,ME与CO交于点E,过E 作EF⊥AB,垂足为F,连接MF,过E作EG⊥FM,垂足为G. 因为△PAD是边长为4的等边三角形，所以POLAD,PO=23, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD, 所以ME⊥平面ABCD,又ABC平面ABCD,所以ME⊥AB, 因为EF⊥AB,ME∩EF=E,ME,EFC平面MEF,所以AB⊥平面MEF, 因为EGC平面MEF,所以AB⊥EG, 又AB∩FM=F,AB,FMC平面ABM,所以EG⊥平面ABM,… …7分 因为器，所以ME=号P05所以MF=VE+√+(=2 3 EG-MEXEF MF 7 …8分 22I 3 由题易知AO=BC,AO∥BC,所以四边形ABCO是平行四边形，所以CO∥AB, 又CO过平面ABM,ABC平面ABM,所以CO∥平面ABM, 所以点C到平面ABM的距离与点E到平面ABM的距离相等， 又PM=2CM,所以点P到平面ABM的距离为点C到平面ABM的距离的2， 即点P到平面ABM的距离为BG=29, 7 …10分 (3)取AD的中点O,连接CO,设CO与BD交于点I,过M作ME∥PO,ME与 CO交于点E,过E作EH⊥BD,垂足为H,连接MH, 由(2)知，ME⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,所以ME⊥BD, 因为EH,MEC平面MEH,EH∩ME=E,所以BD⊥平面MEH,又MHC平面 MEH,所以BD⊥MH, A 0 所以∠MHE为二面角M-BD-C的平面角或二面角M-BD-A的平面角， 即0=∠MHE,或0=x-∠MHE,所以sin0=sin∠MHE.…12分B4 因为6器-所以ME=XP0=25x,CE=X00=, 当点E在线段IO上时，IE=CE-CI=4一2， OD 2 因为sin∠OID=ID√O+D序 √22+22 =号.所以EH=IExin∠OD=E(2x-1, 所以MH=√E开+ME=√2(2λ-1)2+(2√31)2=√20以-8A+2, 所n∠MHE-带- 23A 6 √6 √20m2-8A+2 √-2)+6 当点E在线段IC上时，同理可得sin∠MHE 6 15分 √分-2)+6 当xe[3,号]时，∈[是，3]√（只-2）'+6∈[w7], 店9 6 …17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 HN-B