精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学期末试卷 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若的展开式中系数最大的项只有第4项，则它的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二项式系数最大项只有第项求出，再应用通项公式求常数项即可. 【详解】由于的展开式的通项公式为， 其中系数最大的项只有第项，因此且，解得， 因此常数项为，故A正确. 2. 若定义在上的函数满足，则极值点为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义以及极值的定义求解验证即可. 【详解】因为，所以， 令，且，解得：， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的极小值点. 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以. 4. 若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量法求线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则. 5. 已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】易知是抛物线的焦点，根据切线长求得 ，结合抛物线的定义可得点P到M的准线的距离. 【详解】抛物线的焦点为，即为圆心. 设切点为Q，则， 则. 由抛物线的定义知，点P到M的准线的距离为4. 6. 某不透明的盒子中有5个红色小球和4个黑色小球(小球的形状、大小均相同)，小明从中随机取出1个小球丢掉(未看被丢掉小球的颜色).现从剩下8个小球中取出2个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典型概率公式、全概率公式以及条件概率公式分析计算即可. 【详解】用事件表示“丢掉一个小球后任取两个小球均为红球”， 事件表示“丢掉的小球为红球”，事件表示“丢掉的小球为黑球”， 则， 由全概率公式可得：， 所以. 7. 高二(3)班从6名同学a，b，c，d，e，f中选取4人参加校运会的4×100米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从a，b中选一人跑，且a，b不相邻，第四棒不能由d跑，则不同的选取方法有（ ） A. 88种 B. 78种 C. 66种 D. 58种 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及排列计数问题，结合排除法列式求解. 【详解】在不考虑a，b是否相邻的情况下，第一棒的选取方法有2种，第四棒的选取方法有4种， 剩下两棒的选取方法有种，此时共有种选取方法， 若相邻，则只能是第一、二棒，有2种选取方法，第四棒的选取方法有3种，第三棒的选取方法有3种，共有18种选取方法， 所以符合条件的选取方法共有种. 8. 记为数列的前n项积，已知，则（ ） A. 11 B. 18 C. 19 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】由积与项的关系得是等差数列，从而求得. 【详解】当时，，所以， 又，所以， 所以当时，， 即，即， 所以是首项为2，公差为1的等差数列. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的离心率为，焦点为则（ ） A. 的短轴长为 B. 上存在点，使得 C. 若点在椭圆上，则的取值范围为 D. 与曲线重合 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率求出可判断A；设，利用坐标表示出，求出其范围可判断BC；根据两点间的距离公式的几何意义，结合椭圆定义可判断D. 【详解】对于A，由题知，解得，所以，所以的短轴长为，A正确； 对于BC，由A可知，， 设椭圆上一点，则， 又，即， 所以， 因为，所以，得，故C错误， 由，则椭圆上存在点，使得，故B正确；    对于D，由的几何意义可知： 动点到定点的距离之和等于， 表示以为焦点，的椭圆，故D正确. 10. 已知集合，，，且，设事件A为“”，事件B为“”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】列举事件的所有可能情况，求出，依次判断A，B，C，由条件概率公式可求得，判断D. 【详解】易得， 由元素的无序性知=，故A不正确； 由题意知可能的情况有 ； ； ； ； ； ； ； ； ； 共10种情况，所以 ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确. 11. 已知函数与其导函数的定义域均为R，且与均为偶函数，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 是奇函数 D. 4是函数的周期 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用已知条件及导函数与原函数的图象关系，结合函数的奇偶性及复合函数求导法则，逐一分析判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称， 则原函数的图象关于点对称，所以A错误； 因为为偶函数，所以，即， 所以当时，，， 即为奇函数，所以B正确； 因为为偶函数，即， 所以，即是奇函数，所以C正确； 所以，又， 所以，同理可得， 所以，故4是的周期，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 给图中的三个区域涂色，有四种颜色可供选择，要求相邻区域涂不同的颜色，共有____种涂色方法.  【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计算原理分析计算即可. 【详解】从左边第一个区域开始涂色，第一个区域有种方法，第二个区域有种方法，第三个区域有种方法，共种涂色方法. 13. 已知一组数据1，2，2，5，5，6的第30百分位数为m，随机变量X的分布列为 X m 5 14 P 0.3 0.6 0.1 则D(X)=____. 【答案】10.8 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 14. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【解析】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某环保网站为增强网站的吸引力，举行环保知识阅读有奖比赛，即所有的题目均可从网站上阅读获取答案，通过网民的申请发放10000份网络试卷，从中随机抽取50份试卷，将其成绩整理后制成频率分布直方图如图. （1）求的值，并估计此次有奖比赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； （2）若80分以上（含80分）有奖且男性有2人，80分以下男性有24人，补全下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“有奖”是否与“性别”有关. 单位：人 性别 成绩 合计 80分以上（含80分） 80分以下 女性 男性 2 24 合计 50 附：临界值表及参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 . 【答案】（1），68.4； （2）列联表如下： 性别 单位：人 80分以上（含80分） 80分以下 合计 女性 6 18 男性 2 24 26 合计 8 42 50 有关.【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求出值，比赛成绩的平均数即可. （2）完善列联表，计算的观测值，与临界值比较即可得解. 【小问1详解】 由频率分成直方图得， 所以， 此次有奖比赛成绩的平均数约为68.4（分）. 【小问2详解】 由频率分布直方图得80分以上（含80分）的人数为，列联表如下： 性别 单位：人 80分以上（含80分） 80分以下 合计 女性 6 18 男性 2 24 26 合计 8 42 50 零假设为：有奖与性别之间无关联. 根据列联表中数据，经计算得到. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“有奖”与“性别”有关，此推断犯错误的概率不大于0.1. 16. 已知双曲线经过点 （1）求E的方程； （2）设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）由（1）知E的右焦点为，则， 联立消去y得，. 设，则，即， 故，. 因为点N关于x轴的对称点为P，所以， 则直线的方程为. 根据对称性可知，直线经过的定点必在x轴上， 令，得 . 当且时，， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由两点坐标代入方程，求解可得； （2）设，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，所以令，化简可得横坐标为定值，即直线过定点. 【小问1详解】 由题意可得解得所以E的方程为. 【小问2详解】 略 17. 某景区举行五一游网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从5个减免红包中随机抽取2个，5个红包的金额分别为0元、10元、10元、30元、50元.已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票. （1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为，求的分布列与期望. （2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%.假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了? ②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了? 【答案】（1）分布列为 X 10 20 30 40 50 60 80 P E(X)=40 （2）①五一期间的门票收入减少了，理由如下： 假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间的客流量为n人，则门票收入为元，举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入为， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入减少了. ②五一期间总收入增加了，理由如下： 每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，， 则期望值为30×+40×+60×=， 不举行抽奖活动，该景区在五一期间的总收入为n=n， 举行抽奖活动后，该景区在五一期间的总收入为， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了. 【解析】 【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望；（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加． 【小问1详解】 由题意得X的取值可以是10，20，30，40，50，60，80. ，=，=， =，=，=， =， 所以X的分布列为 X 10 20 30 40 50 60 80 P 10×+20×+30×+40×+50×+60×+80×=40. 【小问2详解】 ①略 ②略 18. 已知. （1）当时，求的值. （2）当时，证明：. （3）设，求. 【答案】（1）4246 （2）由题意得 ， 所以, （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法分别求得和，即可得； （2）由已知式得的表达式，再根据组合数公式化简可得； （3）利用（2）的结果及组合数性质，得，进而求得，代入，利用组合数性质分组求和可得. 【小问1详解】 当时，. 令，则. 令，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， ∵， 当时，； 当时， 所以 . 19. 对于函数，规定叫做函数的阶导数.若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项.已知函数. （1）写出函数在处的2阶泰勒展开式（用表示即可）； （2）设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的； （3）求证：…<. 【答案】（1） （2）由于，结合（1），得. 所以函数在处的3阶泰勒展开式为， 所以. ，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减. 所以，即对任意的. （3）由（2）知，当时，，即， 因为，所以. ， 因为， 所以， 即， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据函数在处的阶泰勒展开式的定义进行求解即可； （2）根据定义求得，结合导数求出在的最大值即可证明； （3）由（2）知，当时，，从而得到，将问题转化为证明，结合数列知识即可证明. 【小问1详解】 由，得 所以， 所以函数在处的2阶泰勒展开式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末试卷 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若的展开式中系数最大的项只有第4项，则它的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 2. 若定义在上的函数满足，则极值点为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 4 6. 某不透明的盒子中有5个红色小球和4个黑色小球(小球的形状、大小均相同)，小明从中随机取出1个小球丢掉(未看被丢掉小球的颜色).现从剩下8个小球中取出2个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 高二(3)班从6名同学a，b，c，d，e，f中选取4人参加校运会的4×100米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从a，b中选一人跑，且a，b不相邻，第四棒不能由d跑，则不同的选取方法有（ ） A. 88种 B. 78种 C. 66种 D. 58种 8. 记为数列的前n项积，已知，则（ ） A. 11 B. 18 C. 19 D. 37 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的离心率为，焦点为则（ ） A. 的短轴长为 B. 上存在点，使得 C. 若点在椭圆上，则的取值范围为 D. 与曲线重合 10. 已知集合，，，且，设事件A为“”，事件B为“”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数与其导函数的定义域均为R，且与均为偶函数，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 是奇函数 D. 4是函数的周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 给图中的三个区域涂色，有四种颜色可供选择，要求相邻区域涂不同的颜色，共有____种涂色方法.  13. 已知一组数据1，2，2，5，5，6的第30百分位数为m，随机变量X的分布列为 X m 5 14 P 0.3 0.6 0.1 则D(X)=____. 14. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某环保网站为增强网站的吸引力，举行环保知识阅读有奖比赛，即所有的题目均可从网站上阅读获取答案，通过网民的申请发放10000份网络试卷，从中随机抽取50份试卷，将其成绩整理后制成频率分布直方图如图. （1）求的值，并估计此次有奖比赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； （2）若80分以上（含80分）有奖且男性有2人，80分以下男性有24人，补全下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“有奖”是否与“性别”有关. 单位：人 性别 成绩 合计 80分以上（含80分） 80分以下 女性 男性 2 24 合计 50 附：临界值表及参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 . 16. 已知双曲线经过点 （1）求E的方程； （2）设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 17. 某景区举行五一游网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从5个减免红包中随机抽取2个，5个红包的金额分别为0元、10元、10元、30元、50元.已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票. （1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为，求的分布列与期望. （2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%.假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了? ②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了? 18. 已知. （1）当时，求的值. （2）当时，证明：. （3）设，求. 19. 对于函数，规定叫做函数的阶导数.若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项.已知函数. （1）写出函数在处的2阶泰勒展开式（用表示即可）； （2）设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的； （3）求证：…<. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $