内蒙古包头市第四中学2025-2026学年高一下学期期末模拟考试数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，通过露营地游客统计、降水量测量等真实情境与正方体动点、菱形翻折等动态问题，考查空间观念、数据意识等数学眼光，推理运算等数学思维及模型应用等数学语言，梯度覆盖基础与能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量性质、统计百分位数|基础概念辨析，如第3题考查百分位数计算| |多选题|3/18|棱柱概念、向量运算、正方体动态问题|概念辨析与动态探究，如第11题动点位置分析| |填空题|3/15|投影向量、复数模最值、圆台降水量|数学语言表达，如第14题降水量模型应用| |解答题|5/77|统计直方图分析、菱形翻折证明与线面角|综合应用与逻辑推理，如第18题翻折问题证明与计算|

包头四中高一年级2025-2026学年度 第二学期期末模拟考试 数学参考答案与评分标准 一、单选题(每小题5分，共40分。每小题只有一个正确选项) 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C A D A B B 二、多选题(每小题6分，共18分。在本题的4个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9 10 11 ABC CD ABC 三、填空题(每小题5分，共15分) 12．3． 13．． 14．29.6． 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．【解答】解：（1）为纯虚数， ，解得， 时，为纯虚数 6分 （2）复数在复平面内对应点在第四象限， ，即， 解得 12分 实数的取值范围是时，复数在复平面内对应点在第四象限 13分 16．【解答】解：（1）因为向量，，且， 所以， 所以， 整理得 5分 所以， 因为，所以 7分 （2）因为，， 由（1）可知， 所以，10分 解得 12分 所以．15分 17．【解答】解：（1），解得 3分 （2）由频率分布直方图，估计该地中学生体重的众数为 5分 因为， 7分 所以上四分位数位于，组内，设为， 所以，解得 9分 所以众数为52.5，上四分位数为58.75 10分 （3）由题意，从该地中学生中随机抽取100名学生， 其中样本数据落在区间，的有人，在区间，的有人， 所以总平均值为 13分 方差为 15分 18．【解答】解：（1）证明：，为的中点，， 菱形的边长为2，又，， 连接，则， 又， 4分 ， 5分 又，所以， 7分 又，且，平面，平面， 点是点在平面上的射影 8分 （2）设点到面的距离为，设菱形边长为2，则的面积为， 10分 的面积为2，由（Ⅰ）知平面， ， 12分 设直线与平面所成角为， 则 16分 直线与平面所成角的正弦值 17分 19．【解答】（1）在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以 8分 （2）由题意可知点到平面的距离即为点到平面的距离， 因为四棱锥是正四棱锥，所以在底面的射影为正方形的中心， 即的中点，由题意可得，所以， 又 12分 设点到平面的距离为，根据等体积法可得： 15分 所以， 解得点到平面的距离为 17分 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头四中高一年级2025-2026学年度 第二学期期末模拟考试 数学 出题人:李雪婷 审题人:武启勐 2026.7 一、单选题(每小题5分，共40分。每小题只有一个正确选项) 1．已知复数，则的虚部为（　　） A． B． C．1 D． 2．下列关于平面向量的说法正确的是（　　） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，，则 3．某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 4．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（　　） A． B．2 C． D． 5．下列说法正确的是（　　） A．一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行 B．和同一条直线都相交的两条直线一定相交 C．经过空间中三个点有且只有一个平面 D．经过两条相交直线有且只有一个平面 6．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 7．某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东方向，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西方向，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在货轮的南偏东方向，则则灯塔C与D处之间的距离是（　　） A． B． C． D． 8．已知正三棱锥的底面△的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（　　） A． B． C． D． 二、多选题(每小题6分，共18分。在本题的4个选项中有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9．下列命题中不正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 10．已知向量，，则下列结论正确的是（　　） A．当时， B．当时，向量与向量的夹角为锐角 C．存在，使得 D．若，则 11．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（　　） A．在点运动过程中，直线与始终为异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与直线所成的角为定值 D．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 三、填空题(每小题5分，共15分) 12．已知向量 ，若在方向上的投影向量，则　 ． 13．复数满足，则的最大值为 　 　． 14．降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为、底面直径为，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是 　　． 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分）复数，当实数取什么值时： （1）为纯虚数； （2）复数在复平面内对应点在第四象限． 16．(15分）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17．(15分）《中国居民膳食指南》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按，，，，，，，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）根据频率分布直方图求； （2）根据调查的数据，估计该地中学生体重的众数和上四分位数； （3）根据调查，样本数据落在区间，的平均数是57，方差是2，落在区间，的平均数是63，方差是5，据此求样本数据落在区间，的总平均值和方差． 18．(17分）如图（1），已知菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（2）． （1）求证：点是点在平面上的射影； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19．(17分）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且． （1）记平面平面，证明：； （2）求点到平面的距离； 数学试题 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $