数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列求和三大核心方法，通过分层例题与变式构建从基础到综合的训练体系，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |裂项相消法|3例+3变式|分式型数列（等差倒数、根式有理化）|从通项分解到前后项抵消，强化转化与化归思维| |错位相减法|3例+3变式|等差×等比型数列|基于等比数列求和原理，训练错位作差与化简技巧| |分组与并项求和|3例+3变式|混合型（等差+等比）、周期型数列|通过拆分与合并，体现分类讨论与整体思想|

数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 例1，《(2526高二下湖南怀化期末)已知等差数列a的前”项和为S,4=8=9. 1点分a,的裂赖相消法”项和S, 62 .4052 @数列么，}中a,前n项和为，求清足7，≤459的n的最大值。 例2.(2s26高二下江西期末)在数列a中，4=1,0=2a,+2” )求a的通项公式 ②求a的前”项和S, Sn+1-1 8在②的条件下，令么“(aa+2习，求数列}的前项和 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 6an 例3.（2026-江苏南京模拟预测)已知数列a,}中，4=3,0 an+2. 、设0n4-an,证明：数列bn}是等比数 an 2设26，+，求数列{c}的前n项和S 变式1,2526高三上安徽阶段检测)已知等差数列a的公差不为0，且“，4，“成等比数列， a+a2+a3=a4+4 ①求a,的通项公式 1+1++1< (2)求证：a4,a,4a,a14。 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式2.(2526高二下江西南昌期中)已知数列a,的前”项和为5，若 as S,+S=2n2+2n+1 S=1 ,且 an (1)求”的通项公式； （anan+l 求数列b,}的前n项和为Tn Is. 1 变式3.(2026~陕西榆林模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a,=1,数列an是公差为3的等差数列. 1求a,的通项公式 n…2” b.= (2)设”a+1,记数列bn}的前n项和为Tn,求使得T,>120成立的最小正整数n的值. 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高二下贵州黔南期末)已知数列 ,的前n顶和为5,41，a=81 (1)求数 a,}的通项公式： ②设么，=na,求数列么的前n项和 例2.(2526高二下安徽马鞍山期末)已知数列a,的前”项和为5，且满足41,25，=+1)a-1+1, neN' (1)求数列 的通项公式： ②设受，求数列，}的前n项和工 4 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(2526高=下四川绵阳期末)已知数列a满足00=1aeN）,数列私，}为等比数列，且 b=a =1,bs=as 0)求a,}和的通项公式： 2求数列a.b,}的前n项和7、 {an}、 且%92 变式1.2526商三上福建厦门阶段检测)已知数列a满足=20，+2， a (1)求证：数列2”是等差数列： ta (2)求数列n 的前”项和 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式2.(25-26高二下湖北期末)已知正项等比数列 的前n项和为5，且9，=10S,4,= (1)求数列 的通项： ②创没=，·63,0，求数列么，的前n项和M, {b} 1=a+1 变式3.(25-26高三上：河南鹤壁阶段检测)已知数列an}满足a,=1,a1a+3an+2. (1)求证：数列 a.} 为等差数列： 2, 求数列{bn}的前n项和Tn. 6 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点三 分组与并项求和 例1，(2s26商二下北京西坡期末)已知在等比数列a中，41，公比为9(g>0),且“是9和4，-2的等差 中项， (1)求数列a, 的通项公式： ②若数列}满足 ,求数列a+6}的前2”项的和 从D4=1,6=2aeN）,②+b=3meN)这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 例2.(2526高二下福建福州期末)已知等差数列，中，4=5 ,前8项和为80. ①少求a的通项公式： @从a中装次取出第2927，，”项，按原顺序排成一个新数j,若5，=0+6.求数列 的前n项和 > 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(2526高二下广东深圳期末)设等差数列a}的前”项和为S,且4=3，S=6. ④少求a,}的通项公式： (②创没2=2+a,求数列么的前n项和了. 也} 变式1，(2526高三上江西南昌开学考试》已知正项数列a,满足“，a=4 (①若a}是等比数列，求a的通项公式： ②考4-1，求数列a的前2顶的和 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式2.(25-26高三上·云南昭通阶段检测)已知数列 是公差不为0的等差数列，4=2，且4,4，“成等 比数列 ①)求数列a的通项公式： ②若=2”+2a,求数列，}的前”项和5 1+1+1++1< (3)证明：a4,a,aa,a4a,a2对任意neN恒成立. 变式3。(2026福建厦门模拟预测)在公差不为0的等差数列a}中，已知4,4,4成等比数列， az,=2a,+1(neN") 四求数列a, 的通项公式： 防致到清定=a小oa）,来发到收的面如系和数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知等差数列的前项和为，． (1)求数列的通项以及前项和； (2)数列中，前项和为，求满足的的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求解即可； （2）结合（1）可得，利用裂项相消法可求得，解不等式，可求的最大值． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以，所以，解得， 所以，； （2）由（1）知，所以， 所以， 由，得，解得， 所以满足的的最大值为． 例2．（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式； （2）利用错位相减求和法求解； （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. （2）， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. （3）由（2）知，所以， 所以 例3．（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列中，，. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)在数列中，由，得，， 而，则，， 于是 ，而 ， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. (2). 【分析】（1）利用等比数列的定义证明； （2）由（1）得，再求出，从而可得，然后用裂项相消法求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，， 则， 所以. 变式1．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，． (1)求的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 由(1)得. 则 由于，故，因此， 故得证. 【分析】（1）利用等差数列通项公式与等比中项性质，结合已知等式求出首项和公差，得到通项公式； （2）对通项裂项后用裂项相消法求和，再放缩证明不等式 【详解】（1）设等差数列的公差为，则. 因为成等比数列，所以，即，整理得. 因为，解得. 又由，所以，进而.解得. 因此的通项公式为. （2）略 变式2．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知数列的前项和为，若，且． (1)求的通项公式； (2)令 ，求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过前项和的递推式作差得到相邻两项和的关系，推导得奇数项、偶数项均为公差为4的等差数列，合并得到通项； （2）化简得，用裂项相消法求和. 【详解】（1）当 时，代入递推式得 ，已知 ，故 ，. 当 时，有 ①； 当 时， ②； ①-②得 ， 验证 时 ，故 对所有 成立. 将①中替换为 得 ③； ③-①得 ④； ④减去 ，得 ()，即数列奇数项、偶数项均为公差为 4 的等差数列： 当为正奇数时，设 ()，； 当为正偶数时，设 ()，。 综上， (). （2）将 代入得： ， 故 . 数列的前项和为：，其中 ， 因此： 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再由与间的关系，即可求解； （2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，所以， 则，当时，， 整理得到，则，所以数列是常数列， 又，则，所以． （2）由题意知， 所以， 又， 所以是递增数列， 又，， 所以使得成立的最小正整数的值为． 考点二 错位相减法 例1．（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用数列前n项和与通项的递推关系求出数列通项的递推式，利用等比数列定义即可求出通项； (2)利用错位相减法即可求得数列的前n项和. 【详解】（1）由题意得，当时，， 两式作差得：，即， 当时，，符合上述递推关系， 因此是首项为1、公比为2的等比数列，通项公式为； （2）由(1)得，故， 则 ① ， 由①： ②， ①-②得： ， 因为， 代入得： ， 整理得. 例2．（25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知数列的前项和为，且满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，结合累加法求出数列的通项公式； （2）利用等差乘等比数列的求和方法，乘公比错位相减，即可求出数列的前项和. 【详解】（1）当时，. 由，则 ， 即，所以， ，，， 累加得，又，所以， 检验，当时，符合，所以. （2）由（1）知，则， 则①， ②， ①-②得， 所以. 例3．（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足，数列为等比数列，且． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）因为，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则； 因为，所以公比为，则； （2）由（1）得， 则，则， 两式作差得， 则. 变式1．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：由， 两边同时除以，得，即， 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得，故， 故， ，   两式相减，得 ， 因此． 变式2．（25-26高二下·湖北·期末）已知正项等比数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意求出数列的公比，再求得首项，即可得出结果； （2）结合（1）中表达式，再利用错位相减法计算. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 方法一： ①当时，，显然不合题意； ②时，，得：， 则，又，则； 由题：， 方法二： ，又，， 由题：， （2）， 故： ， 两式相减得： . 变式3．（25-26高三上·河南鹤壁·阶段检测）已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)因为， 两边同时取倒数得：， 即， 所以，所以数列为等差数列； (2) 【分析】（1）对已知递推式化简、变形，得出，从而证明数列为等差数列； （2）求出的通项公式，进而求出，进而利用错位相减法求出． 【详解】（1）略 （2）因为，由（1）可知，数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 所以， ． 所以①， ②， ①－②得： ， 故． 考点三 分组与并项求和 例1．（25-26高二下·北京西城·期末）已知在等比数列中，，公比为，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足__________，求数列的前项的和. 从①，；②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1). (2)选择任意条件答案相同，的前项和为. 【分析】（1）由题意可得，代入，得，求出的值即可得数列的通项公式； （2）选择①，可得，，且数列是以2为周期的周期数列，求出的通项公式，利用分组求和求解即可; 选择②，可得，用分组求和及等比数的求和公式求解即可; 【详解】（1）因为是和的等差中项， 所以，即， 所以， 解得或（舍）， 所以， 所以； （2）选择①，，， 则有，解得， 且， 所以， 所以数列是以2为周期的周期数列， 所以， 设数列的前项的和， 则 ； 选择②，， 则，， 所以， 设数列的前项的和， 则 ； 例2．（25-26高二下·福建福州·期末）已知等差数列中，，前8项和为80. (1)求的通项公式； (2)从中依次取出第项，按原顺序排成一个新数列，若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可； （2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，前8项和为80， 得； （2）因为， 所以由题意可知， 于是， 所以. 例3．（25-26高二下·广东深圳·期末）设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，计算出等差数列的基本量，即可求得通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法，求得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则得，解得， ； （2） ， 的前n项和 ． 变式1．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知正项数列满足 (1)若是等比数列，求的通项公式； (2)若，求数列的前2n项的和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，，得， 因为，则，，两式相乘得，， 则，因，则得，，， 故. （2）因为，，则， 且，两式相除，得，即， 所以数列的奇数项和偶数项均是以4为公比的等比数列， 奇数项：首项为，公比为，则其前项奇数项的和为， 偶数项：首项为，公比为，则其前项偶数项的和为， 故数列的前2n项的和为. 变式2．（25-26高三上·云南昭通·阶段检测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)证明：对任意恒成立. 【答案】(1) (2) (3)因为， 所以. 因为，所以，故. 【分析】（1）根据等比中项含义得到方程，解出公差的值，最后再根据等差数列通项公式即可得到答案； （2）利用分组求和方法即可得到答案； （3）根据裂项求和法即可证明不等式 【详解】（1）设数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以. 因为，所以，解得或（舍去）， 因此的通项公式为. （2）由（1）知 . 因为等比数列的前项和为， 等差数列的前项和为， 所以. （3）略 变式3．（2026·福建厦门·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，已知成等比数列， . (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足 ，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得，求得的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为 ，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 ， 因为，， 可得，， 所以，所以数列的前2n项的和为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $