精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年度第二学期期末考试七年级数学卷

2025-2026学年度第二学期期末考试 七年级数学卷 考试时间：120分钟 试卷分值：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，不能通过其中一个图形平移得到的是（ ） A.     B.     C.     D.      2. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3. 若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，将庆阳市部分旅游景点放在平面直角坐标系中，则公刘庙所在位置点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 9 D. 12 9. 已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（ ） A. B. C. D. 10. 用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍且小于较小数的4倍，则这两个正整数中较大数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，采用最合适的调查方式为_____．（填“普查”或“抽样调查”） 12. 已知点在轴上，则点坐标是__________． 13. 某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省30元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为x个月，则可列不等式为_______．（不必化简） 14. 如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点完成第1次运动；再分别从点，出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点完成第8次运动时，从左往右数的第二个点的坐标是__________． 三．解答题（一）（共3小题，每小题7分，满分21分） 16. 解不等式组：，并把不等式组解集表示在数轴上． 17. 计算 （1） （2） 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，已知，，，现将平移得到，点对应点，点对应点，点对应点．其中点的坐标是． （1）请画出，并直接写出点的坐标__________； （2）连接、，线段和的位置关系为__________． （3）仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得． 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，满分27分） 19. 当今的“低头族”随处可见，走在路上刷手机、等公交刷手机，各类APP无情地吞噬着我们．一项调查显示，颈部承受的压力随着颈部弯曲角度的增大而增大．某校生物兴趣小组对“低头族”人群习惯性的颈部弯曲角度进行随机问卷调查，按颈部弯曲的角度x（单位：）分为六组， 即A．； B．；C．；D．；E．；F． ． 级别 弯曲角度 频数 A 8 B 24 C a D 12 E 4 F 2 并绘制了以下不完整的统计图表： 习惯性颈部弯曲角度调查结果频数统计表： 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）本次调查的总人数为 人， ， ； （2）直接在图中补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中E组对应的圆心角的度数； （4）“低头族”长期刷手机会对颈部造成危害，请你为“低头族”提出一条合理化的建议． 20. 下面是数学家普罗克拉斯的两种证明三角形内角和为的方法： 如图1，已知：三角形．求证：． 方法一：如图2，过点作于点，过点作，过点作． ，，， ，，， （依据一）． ． 又， ． （依据二）． 方法二：（将辅助线一般化）如图3，在边上任取一点（不与，重合），连接．分别过点，作的平行线 （1）材料中方法一的证明过程中的依据一，依据二分别指的是： 依据一：_______________，依据二：_______________． （2）材料中证法一的思路是用平行线的性质得到，，将三角形内角和问题转化为与的和，进而得到三角形内角和是， 这种方法主要体现的数学思想是__________（填选项） A．函数思想 B．分类思想 C．转化思想 （3）请将方法二的证明过程补充完整，在图3中作出辅助线，并标清字母． （4）请你用此数学思想验证四边形的内角和为．已知：四边形，求证： 21. 如图①，在中，；点在边上．将点绕点按逆时针方向旋转一定角度得到点，连接，，作，的角平分线交于点． （1）如图②，若，则______°； （2）如图③，当点恰好落在边上时，探索之间的关系，并说明理由； （3）随着点的旋转，当点不在边上时，探索之间的关系，直接写出结论． 五．解答题（三）（共2小题，22题13分，24题14分，满分27分） 22. 根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务：甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；送件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克，且里程和重量都为整数，总费用是29元． 解决问题 （1）任务1 根据素材1内容填空： ①送件里程4千米，送件重量5千克，则费用为__________元； ②送件里程6千米，送件重量6千克，则用含有，的代数式表达费用为__________元． （2）任务2 根据素材2中的内容，请你求出，的值． （3）任务3 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． （4）任务4 直接写出丙这单跑腿的计价里程以及计价重量的所有情况． 23. 材料阅读：如图在方格纸上画出两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另外一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线的长度． 我们把两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另外一条直线的距离，叫做两条平行线的距离．经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等，由此我们得到平行线的又一性质：平行线间的距离处处相等．利用这一性质，我们可以进行面积等积转化．如图，若，，，则．，， 知识应用：在平面直角坐标系中，已知，，过的直线平行于轴，平移线段至线段（点的对应点是点，点的对应点是点）． （1）如图1，当时． ①直接写出点的坐标__________； ②连接，，求的面积； （2）已知点在线段上，连接，，记的面积为． ①如图2，当时，若，求的值； ②若，求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试 七年级数学卷 考试时间：120分钟 试卷分值：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，不能通过其中一个图形平移得到的是（ ） A.     B.     C.     D.      【答案】A 【解析】 【详解】解：A、不能通过其中一个图形平移得到，故本选项符合题意； B、能通过其中一个五边形平移得到，故本选项不符合题意； C、能通过其中一个圆平移得到，故本选项不符合题意； D、能通过其中一个图形平移得到，故本选项不符合题意． 2. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键． 3. 若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子即可，即反例需同时满足和． 【详解】解：对各选项逐一验证： 选项A：， ，得，满足命题条件，又，即，不满足命题结论，该选项可以作为反例； 选项B：，满足，也满足，不能作为反例； 选项C：，满足，也满足，不能作为反例； 选项D：，，不满足命题条件，不能作为反例． 4. 如图，将庆阳市部分旅游景点放在平面直角坐标系中，则公刘庙所在位置点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：在如图所示的平面直角坐标系中，公刘庙所在位置在第四象限， 故公刘庙所在位置点的坐标可能是． 5. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的取值范围，再求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； 则， ∴， 即． 6. 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的性质，得出，再根据是的外角，求解即可． 【详解】解：如图，设与的交点为， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 7. 已知，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一分析各选项即可得出答案，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴不一定大于，故选项符合题意； D、∵， ∴， ∴，故选项不符合题意； 故选：C． 8. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合新定义分情况讨论，筛选出符合条件的结果，对照选项得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 根据“倍长三角形”定义分情况讨论： ①若，则，不满足，舍去； ②若，则，满足，符合条件； ③若，则，满足，符合条件； ④若，则，不满足，舍去； 综上所述，符合条件的第三边长为或，对照选项，只有符合． 9. 已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二元一次方程组的消元法，要得到，的恒有关系式，只需消去参数即可． 【详解】解：方程组， ∵得：， 两边消去，整理得：， ∴无论取何值，，恒有关系式． 10. 用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍且小于较小数的4倍，则这两个正整数中较大数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设较大数为，较小数为，根据题意得，按照更相减损术的步骤逐步推导，联立方程即可求解得较大数的值． 【详解】解：设较大正整数为，较小正整数为， ， ，，， 第一步：计算，得到两个数，， 第二步：计算，得到两个数，， 第三步：计算，得到两个数，， 第四步：计算， 四步运算后求得最大公约数为， ∴，， 两式相加得， 代入得， 即两个正整数中较大数为． 二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，采用最合适的调查方式为_____．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】普查 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的特点，即可解答． 【详解】解：神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，由于事关重大，宜采用普查的调查方式． 故答案为：普查． 12. 已知点在轴上，则点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的坐标特征，横坐标为，求出的值，再计算得到纵坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：点在轴上， 点的横坐标为，即， ， 点的坐标为． 13. 某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省30元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为x个月，则可列不等式为_______．（不必化简） 【答案】 【解析】 【分析】根据总经费不少于500元的不等关系，结合已有经费和个月节省的经费列出不等式即可． 【详解】解：由题意可知，已有经费120元，个月节省的经费为元，要求总经费不少于500元， 因此可列不等式为． 14. 如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，利用 得到 ，利用点 、 分别为 、 的中点得到 ，，所以阴影部分的面积 ． 【详解】解：， ， ， 点 、 分别为 、 的中点， ，， ， 即阴影部分的面积 ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点完成第1次运动；再分别从点，出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点完成第8次运动时，从左往右数的第二个点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给运动方式，依次求出每次运动后最左侧第一个点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第1次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第2次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第3次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第4次运动后，最左侧第一个点的坐标为， …， 按此规律，第次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 由题意可得：每完成一次运动，左右两个点的横坐标相差2，纵坐标相同， 即第次运动后，从左往右数的第二个点的坐标是，即， ∵当时，，， ∴第8次运动后，从左往右数的第二个点的坐标是． 三．解答题（一）（共3小题，每小题7分，满分21分） 16. 解不等式组：，并把不等式组解集表示在数轴上． 【答案】，把不等式组解集表示在数轴上如图： 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 图略． 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的运算，还涉及二次根式的加减法、乘法等相关知识点，解题的关键是熟知相关运算法则． （1）根据算术平方根与立方根的运算进行计算即可； （2）根据绝对值、二次根式的加减及乘法法则进行化简与计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，已知，，，现将平移得到，点对应点，点对应点，点对应点．其中点的坐标是． （1）请画出，并直接写出点的坐标__________； （2）连接、，线段和的位置关系为__________． （3）仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； 点的坐标为； （2）平行 （3）解：如图所示，点T即为所求． 【解析】 【分析】（1）由点平移后的对应点为，得到先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，即可解答； （2）根据平移的性质进行求解即可； （3）可以看作是平移后得到的，根据平移的性质，得到，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图 由平移的性质，得； 【小问3详解】 略 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，满分27分） 19. 当今的“低头族”随处可见，走在路上刷手机、等公交刷手机，各类APP无情地吞噬着我们．一项调查显示，颈部承受的压力随着颈部弯曲角度的增大而增大．某校生物兴趣小组对“低头族”人群习惯性的颈部弯曲角度进行随机问卷调查，按颈部弯曲的角度x（单位：）分为六组， 即A．； B．；C．；D．；E．；F． ． 级别 弯曲角度 频数 A 8 B 24 C a D 12 E 4 F 2 并绘制了以下不完整的统计图表： 习惯性颈部弯曲角度调查结果频数统计表： 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）本次调查的总人数为 人， ， ； （2）直接在图中补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中E组对应的圆心角的度数； （4）“低头族”长期刷手机会对颈部造成危害，请你为“低头族”提出一条合理化的建议． 【答案】（1）80，30，10 （2）见解析 （3） （4）定期进行颈部肌肉的锻炼，如颈部伸展运动，以增强颈部支撑力，预防颈椎病（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据样本容量频数所占百分数，频数之和等于样本容量，频数除以样本容量等于所占百分数； （2）由（1）知，即可补全频数分布直方图； （3）用乘以E组所占的比例即可； （4）科学提出建议即可． 【小问1详解】 解：∵(人)， 故(人)， ， 故； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：扇形统计图中E组对应的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：建议：定期进行颈部肌肉的锻炼，如颈部伸展运动，以增强颈部支撑力，预防颈椎病（答案不唯一）． 20. 下面是数学家普罗克拉斯的两种证明三角形内角和为的方法： 如图1，已知：三角形．求证：． 方法一：如图2，过点作于点，过点作，过点作． ，，， ，，， （依据一）． ． 又， ． （依据二）． 方法二：（将辅助线一般化）如图3，在边上任取一点（不与，重合），连接．分别过点，作的平行线 （1）材料中方法一的证明过程中的依据一，依据二分别指的是： 依据一：_______________，依据二：_______________． （2）材料中证法一的思路是用平行线的性质得到，，将三角形内角和问题转化为与的和，进而得到三角形内角和是， 这种方法主要体现的数学思想是__________（填选项） A．函数思想 B．分类思想 C．转化思想 （3）请将方法二的证明过程补充完整，在图3中作出辅助线，并标清字母． （4）请你用此数学思想验证四边形的内角和为．已知：四边形，求证： 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 （2）C （3）证明：分别过点，作，，如下图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． （4）证明：在上取点E，连接，过点C作，过点A作交交于点P，过点D作，如图 ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质判断即可； （2）根据“将三角形内角和问题转化为与的和”即可确定解题思想； （3）分别过点，作，，根据平行线的性质证明即可． （4）在上取点E，连接，过点C作，过点A作，过点D作，推导出，再根据平行线的性质证明即可． 【小问1详解】 解：依据一：同位角相等，两直线平行； 依据二：两直线平行，内错角相等； 【小问2详解】 解：由题意得，这种方法主要体现的数学思想是：转化思想； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 21. 如图①，在中，；点在边上．将点绕点按逆时针方向旋转一定角度得到点，连接，，作，的角平分线交于点． （1）如图②，若，则______°； （2）如图③，当点恰好落在边上时，探索之间的关系，并说明理由； （3）随着点的旋转，当点不在边上时，探索之间的关系，直接写出结论． 【答案】（1） （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，四边形内角和定理，注意角的转换是解题的关键． （1）直接利用三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可； （2）直接利用直角三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论，当点在外时，利用四边形内角和定理结合角平分线的定义求解；当点在内时，利用三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，∴ ； 【小问3详解】 解：当点在外时，如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 整理得； 当点在内时，如图， 同理， 在中，， 在中，， ∴， ∴ ， 整理得； 综上，或． 五．解答题（三）（共2小题，22题13分，24题14分，满分27分） 22. 根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务：甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；送件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克，且里程和重量都为整数，总费用是29元． 解决问题 （1）任务1 根据素材1内容填空： ①送件里程4千米，送件重量5千克，则费用为__________元； ②送件里程6千米，送件重量6千克，则用含有，的代数式表达费用为__________元． （2）任务2 根据素材2中的内容，请你求出，的值． （3）任务3 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． （4）任务4 直接写出丙这单跑腿的计价里程以及计价重量的所有情况． 【答案】（1） ①；② （2） （3） 元 （4） 共有4种情况：①计价里程7千米，计价重量10千克；②计价里程10千米，计价重量8千克；③计价里程11千米，计价重量7千克；④计价里程12千米，计价重量6千克. 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，处理表格所给的信息列出方程组是解题的关键． （1）①根据里程及重量均不超过可得费用为10元，②根据不超过的费用加上超过的费用即可解答； （2）根据甲的配送信息列出二元一次方程组运算求解即可； （3）根据乙的计价里程和计价重量列式运算即可； （4）设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克，分类讨论列式运算即可． 【小问1详解】 ①送件里程4千米，送件重量5千克，则费用为10元； ②送件里程6千米，送件重量6千克，则费用为元； 【小问2详解】 解：由题意可以列出方程组， 解得：； 【小问3详解】 由题意可知乙的计价里程和计价重量分别为千米，千克， ∴乙的这单跑腿费用为（元）； 【小问4详解】 设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克（，）， ①若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元）， ∴ 整理得， ∴代入验证可得或， ②若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ③若，时，跑腿费用为， 整理得，即， ∵为偶数， ∴代入验证可得或， 即丙这单跑腿共有4种情况：①计价里程7千米，计价重量10千克；②计价里程10千米，计价重量8千克；③计价里程11千米，计价重量7千克；④计价里程12千米，计价重量6千克． 23. 材料阅读：如图在方格纸上画出两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另外一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线的长度． 我们把两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另外一条直线的距离，叫做两条平行线的距离．经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等，由此我们得到平行线的又一性质：平行线间的距离处处相等．利用这一性质，我们可以进行面积等积转化．如图，若，，，则．，， 知识应用：在平面直角坐标系中，已知，，过的直线平行于轴，平移线段至线段（点的对应点是点，点的对应点是点）． （1）如图1，当时． ①直接写出点的坐标__________； ②连接，，求的面积； （2）已知点在线段上，连接，，记的面积为． ①如图2，当时，若，求的值； ②若，求出的取值范围． 【答案】（1）①；②8 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）①先求出，得到平移方式是先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，再根据平移的性质求解即可； ②过作轴于点E，过作轴于点F，得到，，，，再根据割补法求三角形的面积即可； （2）①过作直线于点T，过作直线于点N，作，交的延长线于点M，连接，推导出平移方式是先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，，，求出，，，推导出，根据面积等积转化，得到，进而列方程求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当，即点C在点的下方时，第二种情况：当，即点C在点的上方时，逐项分析求解即可． 【小问1详解】 ，，过 解∶ ①当时，， ∵点平移后的对应点为， 平移方式是先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，即； ②如图，过作轴于点E，过作轴于点F， 依题意得∶ ，，，， 【小问2详解】 解：①如图，过作直线于点T，过作直线于点N，作，交的延长线于点M，连接， 线段平移得线段，的对应点为， ∴平移方式是先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到， ∴， 依题意得∶ ，，， ， 线段平移得线段， ，， ， ； ②第一种情况：当，即点C在点的下方时， 由(2)①，同理可得， ∵， ∴， 解得； 第二种情况：当，即点C在点的上方时， 如图，过作直线，过作，作，连接 同理，可得 ，，， ， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $