广西贺州市2025-2026学年高二下学期期末质量检测数学试题

2026年春季学期高二年级期末质量检测试卷 数学 时间：120分钟 试题满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．选择题务必用2B铅笔填涂，非选择题务必用0.5 mm的黑色签字笔书写，否则作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是虚数单位，是原点，则向量对应的复数是（ ） A． B． C． D． 3．已知变量，具有线性相关关系，由样本数据得到关于的经验回归方程为，若，，则当时，的预测值为（ ） A．13 B．19 C．23 D．59 4．下列图象与函数图象最符合的为（ ） A． B． C． D． 5．已知各边长均为1，，，，那么（ ） A． B． C． D． 6．在研发一款超导量子芯片时，需要将5个功能单元（3个“量子逻辑门”和2个“经典控制单元”）排成一条线性序列进行布线．为保证量子相干性，要求2个“经典控制单元”不能相邻；同时，3个“量子逻辑门”中承担纠错功能的“主控门”不能排在整条线性序列的首位．则满足上述条件的布线方案共有（ ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 7．已知，，是的三个内角，，的对边，且，则（ ） A． B． C． D． 8．如下图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．数列是等差数列，已知，，是的前项和，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．是公差为2的等差数列 D．的最小项为或 10．在直三棱柱中，，，为的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A． B．平面 C．平面平面 D．存在点，使得平面 11．已知函数，则（ ） A．为偶函数 B．曲线的对称中心为， C．在区间上单调递减 D．在区间上有一条对称轴 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，的系数为__________． 13．已知正实数，满足，则的最小值为__________． 14．若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知公比大于1的等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，若，，求证：是等差数列． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，侧面底面，，，，点，分别在棱，上，且，，是线段上任意一点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：．动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值． 18．（本小题满分17分） 人工智能（简称AI）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业．某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”．为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 40 20 40 20 假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响． （1）从该地区大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； （2）采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望； （3）若某学生最喜爱视频创作，则他每天使用该软件超过1小时的概率为0.8；若最喜爱语言翻译，则超过1小时的概率为0.5；若最喜爱图像修复或智绘设计，则超过1小时的概率为0.6．现随机抽取一人，发现他每天使用该软件超过1小时，求他最喜爱视频创作的概率． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点，，且满足，求的值； （3）在（2）的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺州市2026年春季学期高二年级期末质量检测试卷 数学参考答案 一二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B D B C A C ABD BCD BD 三、填空题： 12．15；13．；14．4． 15．解：（1）是公比大于1的等比数列，设公比为， ①，又有 ② 由①②解得， 3分 所以 所以 6分 （2）由（1）知，所以 ③ 得 ④ 由③④得 ⑤ 9分 ⑤等式两边同时除以得： 即 12分 所以是公差为的等差数列． 13分 16．解： （1）连接，，由于，，所以四边形是平行四边形， 所以，由于，所以． 2分 由于平面，平面，所以平面． 3分 由于平面，平面，所以平面． 4分 由于，所以平面平面， 6分 由于平面，所以平面． 7分 （2）由于平面平面，，过作轴平面， 显然轴平面，由此以为原点，建立以如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 9分 设平面的法向量为， 则，故可设， 11分 因为轴平面，所以平面的一个法向量为， 13分 设平面与平面的夹角为， 则． 15分 17．解：（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，，所以曲线的方程为：． 3分 （2）（i）因为直线不垂直轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程， ，， 5分 因为，所以 得，又因为，所以 8分 即直线方程为，则过定点 9分 （ii）由（i）知直线过定点，所以 故 11分 因为， 所以 13分 当且仅当时，等号成立， 即面积的最小值为16． 15分 18．解：（1）设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为， 用频率估计概率，则． 2分 （2）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为， 所以的所有可能取值为0，1，2， ，，， 7分 所以的分布列为： 0 1 2 9分 （或，则） （3）定义以下事件：抽取学生喜爱视频创作；：抽取学生喜爱图像修复；：抽取学生喜爱语言翻译；：抽取学生喜爱智绘设计； ：学生每日使用软件超过1小时． 由题意得 ，，，， ，，， 11分 由 得 . 14分 每天使用该软件超过1小时，他最喜爱视频创作的概率 . 17分 19．解：（1）当，时，，， 1分 所以，所以． 所以曲线在点处的切线方程为． 3分 （2）因为，，所以， 因为有两个极值点，，所以有两个大于0的变号零点， 所以方程有两个不等正根， 所以，解得， 5分 又因为，即有， 整理得， 7分 代入，，可得，解得， 9分 又因为，所以可得，经检验，符合题意． 10分 （3）由（2）可知且，从而， 因为在上恒成立，令，， 则有在上恒成立，易得， 因为，所以， 令，，，对称轴， ①当时，，， 所以在单调递增，从而恒成立， 所以在也恒成立， 所以在单调递增，从而恒成立． 13分 ②当时，， 所以有两个不等实根，（不妨设）， 所以，且当时，，从而， 所以在上单调递减， 所以，与“在上恒成立”矛盾， 16分 综上，的取值范围是． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $