16.2第3课时 多项式与多项式相乘-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“多项式与多项式相乘”法则，通过复习单项式乘单项式、单项式乘多项式旧知，结合绿地面积计算情境，引导学生用多种方法推导面积表达式，搭建新旧知识转化的学习支架。 其亮点在于以现实问题驱动，让学生用数学眼光观察数量关系，通过转化思想将多项式乘法转化为单项式乘多项式，培养推理意识与运算能力。如面积推导、例题分步展开及“多乘多”顺口溜，帮助学生规范数学语言，理解法则本质，教师可借此提升教学效率。

16.2 第3课时 多项式与多项式相乘 第16章 整式的乘法 1. 理解多项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算. (重点) 2. 经历探索多项式与多项式相乘的运算过程，体会分配律和转化思想在代数运算中的应用. (难点) 3. 应用多项式与多项式相乘的法则解决一些简单的实际问题，培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值. 复习回顾 回 顾旧知 单项式乘单项式的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式的法则： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 如：2x2y·3xy2z 6·(x2·x)(y·y2)·z 6x3y3z 如：x(2xy1) x·2xx·yx·1 2x2xyx 3 探究与应用 如图16-2-2,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a m、宽p m的长方形绿地,加长了b m,加宽了q m.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积? 活动　理解多项式乘多项式的法则,并能运用其进行计算 问题情境 图16-2-2 解:方法一:扩大后的绿地可以看成长为(a+b)m,宽为(p+q)m的长方形,∴这块绿地的面积(单位:m2)为(a+b)(p+q). 方法二:扩大后的绿地可以看成由四个小长方形组成,∴这块绿地的面积(单位:m2)为ap+aq+bp+bq. 方法三:扩大后的绿地可以看成由上下两个长方形组成,∴这块绿地的面积(单位:m2)为p(a+b)+q(a+b). 方法四:扩大后的绿地可以看成由左右两个长方形组成,∴这块绿地的面积(单位:m2)为a(p+q)+b(p+q). 某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方形林区，若长增加了n米，宽增加了b米，请你计算这块林区现在的面积. a m b n 新课精讲 知识点 多项式乘多项式的法则 计算(a+b)(p+q)，可以先把其中的一个多项式，如p+q，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得。 (a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q) 再利用单项式与多项式相乘的法则，得。 a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq 总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即。 ma na mb nb a m b n 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？ 这块林区现在长为(m+n)米，宽为(a+b)米. (m+n)(a+b) m(a+b)+n(a+b) ma+mb+na+nb 方法一： 方法二： 方法三： 思路二：数量关系 扩大后的面积＝扩大后的长×扩大后的宽 (p + q) (a + b) × 问题：根据思路一可知 (a + b)(p + q)＝ap + aq + bp + bq，那么思路二的计算结果是否同样满足？ 多项式 多项式 多项式×多项式 单项式×多项式 转化 猜测：满足. 探究点：多项式与多项式相乘 (a + b)×(p + q) 整体 ＋ ＝a ( p + q ) b ( p + q ) 单项式×多项式 ＝ ap + aq + bp + bq ∴ ( a + b )( p + q )＝ap + aq + bp + bq，等式成立. 验证：(a + b)(p + q)＝ap + aq + bp + bq 成立. 从图形上的结果＝从数量关系的结果 探究点：多项式与多项式相乘 解:(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq. 解:(a+b)(p+q)的结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项,再把所得的积相加而得到的,即 . 引发思考 问题1　不同的表示方法之间有什么关系? 问题2　通过观察上面的关系,你发现了什么规律? 概括新知 每一项 多项式乘多项式的法则:一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的　　　 乘另一个多项式的　 　　,再把所得的积 　　　　.  即 每一项 相加 探究 apaqbpbq (ab)(pq) a(pq)b(pq) (ab)p(ab)q 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn “多乘多” 顺口溜： 多乘多，来计算，多项式各项都见面. 乘后结果要相加，化简、排列才算完. 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_______乘另一个多项式的_______，再把所得的积_____. 多项式乘多项式乘法法则 每一项 每一项 相加 ( a + b )( p + q )＝ ap + aq + bp + bq 探究点：多项式与多项式相乘 例1 计算： (1) (a＋3)(a-2)； (2) (3x＋1)(x＋2)；　 (3) (x -8y)(x-y)；　 (4) (a＋b)(a2-ab＋b2)． 解：(1)(a＋3)(a-2) = a·a+a·(-2)+3·a+3×(-2) = a2 - 2a + 3a - 6 = a2 + a-6 (2)(3x＋1)(x＋2) ＝(3x)·x＋(3x)×2＋1·x＋1×2 ＝3x2＋6x＋x＋2 ＝3x2＋7x＋2 探究点：多项式与多项式相乘 (3) (x - 8y)(x - y) ＝x2 - xy - 8xy＋8y2 ＝x2 - 9xy＋8y2； (4) (a＋b)(a2 - ab＋b2) ＝a3 - a2b＋ab2＋a2b-ab2＋b3 ＝a3＋b3. 思考：在多项式相乘的运算时，应该注意什么问题？ 1. 运算中不遗漏和不重复乘任何一项； 2. 多项式与多项式相乘，结果仍得多项式，但必须是最简形式，即不再含有同类项. 3. 多项式中每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号至关重要. 探究点：多项式与多项式相乘 多项式乘多项式的步骤 (1)用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项; (2)把所得的积相加. 记 重点 解:(1)(a+3)(a-2) =a·a+a·(-2)+3·a+3×(-2) =a2-2a+3a-6 =a2+a-6. 理解应用 例 1 (教材典题)计算: (1)(a+3)(a-2); 　　　　 (2)(3x+1)(x+2); (2)(3x+1)(x+2) =(3x)·x+(3x)·2+1·x+1×2 =3x2+6x+x+2 =3x2+7x+2. (3)(x-8y)(x-y); 　　　　(4)(a+b)(a2-ab+b2). (3)(x-8y)(x-y) =x2-xy-8xy+8y2 =x2-9xy+8y2. (4)(a+b)(a2-ab+b2) =a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3 =a3+b3. 例 计算: (1)(3x+1)(x+2)； (2)(x–8y)(x–y)； 解： (1) 原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2 =3x2+6x+x+2 (2) 原式=x·x–xy–8xy+8y2 结果中有同类项的要合并同类项. =3x2+7x+2； 计算时要注意符号问题. =x2–9xy+8y2； 素养考点 用多项式乘以多项式法则进行计算 (3) 原式=x·x2–x·xy+xy2+x2y–xy2+y·y2 =x3–x2y+xy2+x2y–xy2+y3 = x3+y3. 需要注意的几个问题：(1)漏乘；(2)符号问题；(3)最后结果应化成最简形式. 计算时不能漏乘. (3) (x+y)(x2–xy+y2). 例2 如图，某小区有一块长为 (2a + 3b) ，宽为 (3a + 2b) 的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形的小路，小路的底边宽为 a ，将阴影部分进行绿化 . 3a+2b 2a+3b a (1) 用含有 a、b 的式子表示绿化的总面积 S ； (2) 若a = 3，b = 6 求出此时绿化的总面积 S ． 探究点：多项式与多项式相乘 解：(1) S＝(3a＋2b)(2a＋3b－a) 3a+2b 2a+3b a ＝(3a＋2b)(a＋3b) ＝3a2＋11ab＋6b2. (2) 当 a = 3，b = 6 时， S＝3×32＋11×3×6＋6×62＝441. 答：当 a = 3，b = 6 时，S＝441. 探究点：多项式与多项式相乘 多项式×多项式 运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 注意 不要漏乘；正确确定各符号；结果要最简。 实质上是转化为单项式×多项式的运算。 课堂小结 $