精品解析：安徽省桐城中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 如果数据x1，x2，…，xn的平均值为，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值和方差分别是（ ） A. 和s2 B. 3+2和9s2 C. 3+2和3s2 D. 3+2和9s2+2 3. 甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则，是异面直线 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）m A. B. 8 C. 12 D. 6. 已知在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知△是锐角三角形，内角，，所对的边分别为，，，若且，则△面积的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，点是△的边上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 是纯虚数 10. 若△的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 一定为锐角三角形 B. C. D. 的最大值为 11. 在正三棱柱中，，，，，分别为，，，的中点，动点在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线异面 B. 正三棱柱的外接球表面积为 C. 由三棱柱形石块打磨出一个球，则球的最大体积为 D. 若平面，则动点的轨迹长度为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________ 14. 中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知平面向量，. （1）若，求实数的值； （2）若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 16. 某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，，，，，六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； （2）求参加挑战赛的学生成绩的分位数； （3）已知落在区间，的样本平均分是63，方差是5；落在区间，的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 17. 如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． （1）求证：平面；平面平面； （2）若二面角为，求四棱锥的体积． 18. 的内角的对边分别为，若. （1）求； （2）若，的面积为. （i）求； （ii）边上一点，记面积为，面积为，当达到最小值时，求的长. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”. （1）记的“友函数”为，求函数的单调递增区间； （2）设，其中，求的“友向量”模长的最大值； （3）已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为样本按比例分配，男女比例为， 所以应抽取的男生人数为. 2. 如果数据x1，x2，…，xn的平均值为，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值和方差分别是（ ） A. 和s2 B. 3+2和9s2 C. 3+2和3s2 D. 3+2和9s2+2 【答案】B 【解析】 【分析】利用均值、方差的性质求新数据的均值和方差. 【详解】由题设，，， 故选：B 3. 甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式求解. 【详解】设这份密码被破译出为事件， 所以, 所以, 故选:D. 4. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则，是异面直线 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理、异面直线的定义，结合线面平行的性质、面面垂直的性质定理逐一判断即可. 【详解】A：只有当，相交时，才有，所以本选项说法不正确； B：当，时，，的位置关系为平行、相交、异面，所以本选项说法不正确； C：过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故本选项说法正确； D：若， 如果或，则不能判断 ，故本选项说法不正确. 5. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）m A. B. 8 C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图： 依题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理，得. 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以. 6. 已知在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，确定其为三棱锥外接球的球心，进而可求解. 【详解】如图所示，取中点，因为， 所以， 而，所以， 所以， 所以点为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径为，故所求为. 7. 已知△是锐角三角形，内角，，所对的边分别为，，，若且，则△面积的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正余弦定理进行边角互化即可得，利用三角形的面积公式求出，然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出的取值范围即可． 【详解】， 故，即 故， 且，故， 由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形， 故，即， 所以，故， 所以， 故面积的取值范围为． 8. 已知非零向量与满足，且，点是△的边上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，根据的范围，可求出最小值. 【详解】与分别表示与同方向的单位向量， 故与的平分线共线. 又因为，故角平分线所在直线与直线垂直. 由三线合一可得. 取的中点，则， ,, 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， ，设， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 是纯虚数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由共轭复数的概念，虚部的概念，和复数的乘法、除法运算逐项判断即可. 【详解】由，得， 所以，A对， ，B对， ，虚部为，C错， ，D对. 10. 若△的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 一定为锐角三角形 B. C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的符号判断角的取值范围，判断A的真假；利用余弦定理，结合可判断B的真假；利用，结合正弦定理，可判断C的真假；结合C选项的结果，利用基本不等式可判断D的真假. 【详解】对A，因为，所以角为钝角，故为钝角三角形，故A错误； 对B，因为，故B正确； 对C，由，根据正弦定理，可得， 所以. 两边同除以可得，故C正确； 对D，由C选项可得， 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号. 所以，故D正确. 11. 在正三棱柱中，，，，，分别为，，，的中点，动点在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线异面 B. 正三棱柱的外接球表面积为 C. 由三棱柱形石块打磨出一个球，则球的最大体积为 D. 若平面，则动点的轨迹长度为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由平行关系可得四边形为梯形，即可判断；求出外接球的表面积判断B;对于C，求出该球半径的最大值为，再求出其最大体积，即可判断；对于D，取中点,连接,由面面平行的判定定理可得平面平面,从而可得点的轨迹为线段,求出其长度即可判断. 【详解】对于A，由题意可知, 所以, 所以四边形为梯形，故A错误； 对于B，由题意可知正三棱柱的高为2，上下两底面的外接圆半径为， 由正弦定理可得，解得， 正三棱柱的外接球的球心为上下两底面外接圆圆心连线的中点， 设外接球的半径为， 则， 所以外接球的表面积为，故B错误； 对于C,因为上下两底面的内切圆半径, 所以内切圆的直径为, 所以将三棱柱形石块打磨出一个球，则球的半径的最大值为， 所以此球的体积的最大值为，故C正确； 对于D，取中点,连接, 易知四边形为平行四边形, 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 同理可得平面, 又因为平面,, 所以平面平面, 所以当时， 平面, 则平面, 此时点的轨迹为线段,其长度为，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 13. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________ 【答案】 【解析】 【详解】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为， 所以， 考点：几何体的体积. 14. 中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得；结合平面向量的数量积运算及向量的垂直条件，即可求得. 【详解】由题意，可得， 又，所以， 又为边中点，所以，所以， 所以， 又，，所以. 因为，即，所以， 即，两边同乘得①， 又，， 所以，即， 即，两边同乘得②， 由②得③，代入①得， 即④， 又， 所以， 将③代入，得， 将④代入，得. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知平面向量，. （1）若，求实数的值； （2）若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两向量垂直，则它们的数量积为0列式求值. （2）根据夹角为锐角，则数量积大于0且两向量不共线列式求值. 【小问1详解】 已知平面向量，， 则，， 因为，所以 即， 解得. 【小问2详解】 已知平面向量，， 则， 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 由，解得 当与共线时，由，解得 因为与不共线，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 16. 某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，，，，，六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； （2）求参加挑战赛的学生成绩的分位数； （3）已知落在区间，的样本平均分是63，方差是5；落在区间，的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 【答案】（1），； （2）86； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形的面积之和为1求的值，根据平均数公式求解即可； （2）先确定分位数在区间，内，再由求解即可； （3）根据平均数和方差的权重公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意可得， 解得； 所以平均分的估计值为： ； 【小问2详解】 因为前几组的频率依次为0.1，0.1，0.2，0.3，0.25， 所以分位数一定位于区间,，设为, 则， 解得x=86; 【小问3详解】 因为,，,的频率之比为， 又落在区间,的样本平均分是63，方差是5； 落在区间,的样本平均分是78，方差是4， 两组样本成绩合并后的平均分． 所以两组样本成绩合并后的方差. 17. 如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． （1）求证：平面；平面平面； （2）若二面角为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面． （2）取中点，连接，证得平面，得到，进而证得平面，得到，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 18. 的内角的对边分别为，若. （1）求； （2）若，的面积为. （i）求； （ii）边上一点，记面积为，面积为，当达到最小值时，求的长. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，进而得出，即可得出答案； （2）根据面积公式可推得，然后根据余弦定理可求得；设，，推得，.代入，根据“1”的代换，即可根据基本不等式得出取最小值时的值，进而得出.根据余弦定理，在中，求出.然后在中，根据余弦定理，即可求出的长. 【小问1详解】 由正弦定理以及可得，. 因为，所以. 又，所以. 【小问2详解】 （i）由已知可得，，所以. 由余弦定理可知，， 所以，. （ii）设，，则. 所以，则，所以. 同理可得，. 所以. 当且仅当，即，时取等号. 所以，. 又在中，有， 在中，有， 所以，. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”. （1）记的“友函数”为，求函数的单调递增区间； （2）设，其中，求的“友向量”模长的最大值； （3）已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义直接可得函数解析式并化简，进而可得函数的单调递增区间； （2）化简函数解析式，可判断函数的“友向量”，进而可确定其模长； （3）根据三角函数性质直接可得函数取得最值时根据不等式可得，再利用齐次式可得的最值. 【小问1详解】 由已知， 则令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，； 【小问2详解】 ， 则的“友向量”为， 所以， 又，所以当，时，取得最大值为； 【小问3详解】 由已知点满足， 则，，且， 又，且， 且当，时，函数取得最大值， 即， 所以， 即， 又， 设，则原式， 且在上单调递减， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $