1 二次函数与一元二次不等式-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以“三个二次”关系为核心，构建从概念到含参不等式求解的完整方法体系，注重逻辑推理与数学表达 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次不等式|例1-9+32题|“三步法”解不含参不等式；含参讨论三要素（系数/判别式/根大小）；分式不等式转化整式；序轴标根法解高次不等式|概念（定义/解集）→原理（三个二次关系）→解法（含参/不含参）→拓展（分式/绝对值/高次）→应用（恒成立/参数求解）|

二次函数与一元二次方程不等式及解含参不等式 知识点 1 一元二次不等式 1. 一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 或 ，其中 均为常数， 2. 一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的 的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形. 注意： 不等式的解集最好写成集合形式，也可以写成区间形式，不能写成不等式的形式！如果求参数的取值范围，以上三种都可！ 知识点 2 一元二次不等式与函数和方程 1. 二次函数的零点 一般地，对于二次函数 ，我们把使 的实数 叫二次函数 的零点. 2. 三个“二次”间的关系 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 3. 理解 1. 零点不是点，而是函数的图象与 轴交点的横坐标. 1. 若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. 1. 不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 知识点 3 一元二次不等式的解法 1. 解不含参数的一元二次不等式的步骤及其它说法 1. 识别： 识别二次项系数是否为正.可通过对不等式变形，使不等式的右侧为 0，使二次项系数为正. 1. 求实根. 求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. 1. 画草图. 根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 其他说法： 1. 将原不等式化为 的形式（利用开口向上的二次函数的图象来解不等式）； 1. 不等式若能因式分解，则求出两根，利用图象求出解集（口诀“大于取两边，小于取中间”）； 1. 不等式若不能因式分解，则判断 ：当 ，不等式 恒成立，不等式 无解；当 ，用求根公式或者配方求出根，再用口诀！ 2. 解含参数的一元二次不等式的讨论 1. 不等式类型的讨论：二次项系数 . 1. 不等式对应的方程根的讨论：先看看能否因式分解，若不可则需讨论判别式！两不同实根 ，两相同实根 ，无根 . 1. 不等式对应的方程根的大小的讨论：. 知识点 4 分式不等式、解绝对值和高次不等式的解法 1. 解分式不等式的步骤 1. 移项通分；如：；(2) ；(3) . 1. 再化为整式（注意分母不能为 0）.如 ，注意： 且 . 2. 解绝对值和高次不等式 ★ 绝对值不等式： 常用方法：① 零点分段法 ② 绝对值定义法 ③ 平方法；例：(1) ；(2) ；(3) . ★ 高次不等式的解法： 先把高次不等式分解因式化成 的形式（ 的系数必须为正） 标记方程的实根（注意空心和实心之分） 穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿） 写出不等式的解集.实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 知识点 5 解决一元二次不等式应用问题的关键和步骤 解决一元二次不等式应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再根据题目中的不等关系列不等式.解决一元二次不等式的应用问题，一般步骤如下： 1. 审题：阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，找准不等关系； 1. 设元：引进数学符号，用不等式表示不等关系； 1. 列式：解不等式； 1. 解答：回归实际问题. 例 1. 解下列不等式： 1. ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) . 例 2. 若不等式 的解集为 ，求 的值. 例 3. 若关于 的不等式 的解为一切实数，求实数 的取值范围. 例 4. 解关于 的不等式 . 例 5. 解关于 的不等式 . 例 6. 解关于 的不等式 . 例 7. 解关于 的不等式 . 例 8. 解关于 的不等式 . 例 9. 解关于 的不等式: 7. 根据不等式的解求值求参数 一元二次不等式解集的端点方程为方程等于 0 的根,结合韦达定理 求解如: 的解集为 ,则 为方程 两根. 1. 不等式 的解集为 或 ,则实数 的值为( ) A. 2    B. -3    C. 1    D. 3 1. 已知不等式 的解集为 ,则 ( ) A. -1    B. 1    C. -2    D. 2 1. 关于 的不等式 的解集为 ,且 ,则 ( ) A.    B.    C.    D. 1. 关于 的不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为( ) A.    B.    C.    D. 1. 关于 的不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为( ) A.    B.    C. ,或    D. ,或 1. 已知关于 的不等式 的解集是 ( ),则不等式 的解集是( ) A.    B.    C. ,或    D. ,或 1. 若关于 的不等式 的解集中恰有 4 个正整数,则实数 的取值范围为( ) A.    B.    C.    D. 1. 关于 的不等式 的解集中恰有两个整数,则实数 的取值范围是( ) 巩固练习 一、单选题 1．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 5．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 6．使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 11．已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 14．已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 二、多选题 15．已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．的最大值为 16．已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 17．关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 18．下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 19．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 20．已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 21．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 22．对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 23．若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 24．已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 25．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 26．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 27．已知函数的值域为，且关于x的不等式的解集为．则有如下结论： ①； ②函数图像与直线的两个交点之间的距离等于6； ③若关于x的不等式的解集为，则； ④的值与的大小有关． 其中所有正确结论的序号是_________． 28．已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 29．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 30．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 31．已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 32．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 四、解答题 33．已知函数． (1)当时，，恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数图象的顶点M在第二象限，且经过点，与x轴的另一个交点为C，求实数a的取值范围. 34．设函数，关于的不等式（为常数）的解集为. (1)若，求实数的值； (2)当时， 恒成立，试求的取值范围. 35．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 36．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 37．设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 38．解不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与一元二次方程不等式及解含参不等式 知识点 1 一元二次不等式 1. 一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 或 ，其中 均为常数， 2. 一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的 的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形. 注意： 不等式的解集最好写成集合形式，也可以写成区间形式，不能写成不等式的形式！如果求参数的取值范围，以上三种都可！ 知识点 2 一元二次不等式与函数和方程 1. 二次函数的零点 一般地，对于二次函数 ，我们把使 的实数 叫二次函数 的零点. 2. 三个“二次”间的关系 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 3. 理解 1. 零点不是点，而是函数的图象与 轴交点的横坐标. 1. 若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. 1. 不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 知识点 3 一元二次不等式的解法 1. 解不含参数的一元二次不等式的步骤及其它说法 1. 识别： 识别二次项系数是否为正.可通过对不等式变形，使不等式的右侧为 0，使二次项系数为正. 1. 求实根. 求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. 1. 画草图. 根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 其他说法： 1. 将原不等式化为 的形式（利用开口向上的二次函数的图象来解不等式）； 1. 不等式若能因式分解，则求出两根，利用图象求出解集（口诀“大于取两边，小于取中间”）； 1. 不等式若不能因式分解，则判断 ：当 ，不等式 恒成立，不等式 无解；当 ，用求根公式或者配方求出根，再用口诀！ 2. 解含参数的一元二次不等式的讨论 1. 不等式类型的讨论：二次项系数 . 1. 不等式对应的方程根的讨论：先看看能否因式分解，若不可则需讨论判别式！两不同实根 ，两相同实根 ，无根 . 1. 不等式对应的方程根的大小的讨论：. 知识点 4 分式不等式、解绝对值和高次不等式的解法 1. 解分式不等式的步骤 1. 移项通分；如：；(2) ；(3) . 1. 再化为整式（注意分母不能为 0）.如 ，注意： 且 . 2. 解绝对值和高次不等式 ★ 绝对值不等式： 常用方法：① 零点分段法 ② 绝对值定义法 ③ 平方法；例：(1) ；(2) ；(3) . ★ 高次不等式的解法： 先把高次不等式分解因式化成 的形式（ 的系数必须为正） 标记方程的实根（注意空心和实心之分） 穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿） 写出不等式的解集.实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 知识点 5 解决一元二次不等式应用问题的关键和步骤 解决一元二次不等式应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再根据题目中的不等关系列不等式.解决一元二次不等式的应用问题，一般步骤如下： 1. 审题：阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，找准不等关系； 1. 设元：引进数学符号，用不等式表示不等关系； 1. 列式：解不等式； 1. 解答：回归实际问题. 例 1. 解下列不等式： 1. ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) . 解： (1) 因式分解：，解得： 解集： (2) 因式分解：，解得： 解集： (3) 判别式：，解集： （空集） (4) 移项并整理：，得 平方项恒非负，故对任意实数 均成立。 解集： （全体实数） (5) 判别式： 二次项系数 ，抛物线开口向上，且与 x 轴无交点，故 恒为正。 因此原不等式恒成立。 解集： （全体实数） 例 2. 若不等式 的解集为 ，求 的值. 解： 经分析一元二次不等式的解集的端点值，就是对应的一元二次方程的实数根.由题意可知： 是方程 的两个实数根，由根与系数的关系定理可得： 解之得：. 例 3. 若关于 的不等式 的解为一切实数，求实数 的取值范围. 解： 当 ，即 时， 恒成立，符合题意； 当 ，即 时，则有： 解之得：. 综上所述，实数 的取值范围是 . 例 4. 解关于 的不等式 . 解： 原不等式可化为 . 当 时，，解之得：；当 时，原不等式可化为 . 若 ，则 ，解之得：. 若 ，则 . 当 时，，此时原不等式的解集为 . 当 时，，此时原不等式的解集为 . 当 时，，此时原不等式的解集为 . 综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 . 时，原不等式解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 . 例 5. 解关于 的不等式 . 解析： 不等式 ，变形为 . 当 时, 不等式的解集为 . 当 时, 不等式的解集为 或 . 当 时, 若 则 , 不等式的解集为 ; 若 , 则 , 不等式的解集为 ; 若 , 则 , 不等式的解集为 . 综上所述, 当 时, 不等式的解集为 ; 当 时, 不等式的解集为 或 ; 当 时, 不等式的解集为 ; 当 时, 不等式的解集为 ; 当 时, 不等式的解集为 . 例 6. 解关于 的不等式 . 解析: ; ① 当 时, , 即 ② 当 时, , 即 ; ③ 当 时, , 即 综上: 时, ; 当 时, ; 当 时 例 7. 解关于 的不等式 . 解: 原不等式等价于 1. 当 时,原不等式为 ,解得 ,(2) 若 时,原不等式两个根为 ① 若 ,即 时,不等式的解为 或 ; ② 若 ,即 时,不等式的解集为空集 ③ 若 ,即 时,不等式的解为 或 1. 若 时,原不等式两个根为 ;显然 时,不等式的解为 综上: 当 时,原不等式的解集为 ;当 时,不等式的解集为 ;当 时, 不等式的解集为空集;当 时,不等式的解集为 ;当 时,不等式的解集为 例 8. 解关于 的不等式 . 解析: ; ① 当 时,即 或 时,不等式的解为: 或 ② 当 时,即 时,不等式的解为: ; ③ 当 时,即 时,不等式的解为:全体实数 综上所述: 当 或 时,不等式的解集为: 或 当 时,不等式的解集为: ;当 时,不等式的解集为: 例 9. 解关于 的不等式: 解析: 当 时,不等式为一次不等式,原不等式可化为 ,原不等式的解集为: 当 时,(1) 当 时,原不等式可化为 所以不等式的解集: 或 (2) ,原不等式可化为 ,因为 当 时, ,原不等式解集为 当 时, ,原不等式的解集为 当 时, ,原不等式的解集为 综上: 省略! 7. 根据不等式的解求值求参数 一元二次不等式解集的端点方程为方程等于 0 的根,结合韦达定理 求解如: 的解集为 ,则 为方程 两根. 1. 不等式 的解集为 或 ,则实数 的值为( ) A. 2    B. -3    C. 1    D. 3 1. 已知不等式 的解集为 ,则 ( ) A. -1    B. 1    C. -2    D. 2 1. 关于 的不等式 的解集为 ,且 ,则 ( ) A.    B.    C.    D. 1. 关于 的不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为( ) A.    B.    C.    D. 1. 关于 的不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为( ) A.    B.    C. ,或    D. ,或 1. 已知关于 的不等式 的解集是 ( ),则不等式 的解集是( ) A.    B.    C. ,或    D. ,或 1. 若关于 的不等式 的解集中恰有 4 个正整数,则实数 的取值范围为( ) A.    B.    C.    D. 1. 关于 的不等式 的解集中恰有两个整数,则实数 的取值范围是( ) 参考答案: 1-5: D, B, A, D, C    6-8: A, A, 或 巩固训练 一、单选题 1．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 2．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 3．命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原命题的否命题：“，”为真命题，结合不等式恒成立求解即可. 【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题． ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则，结合. 综上，． 4．函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解. 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 5．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 6．使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，对参数进行分类讨论求出充要条件，然后分析即可得出结论. 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. 7．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，解得． 9．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 10．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得且，即可将不等式等价转化为，求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且，则， 所以不等式，即，即，等价于， 解得或， 所以不等式的解集为. 11．已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 12．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简得，作差比较与的大小，利用一元二次不等式即可求解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 则，故有， 则原不等式等价于， 所以原不等式的解集为. 13．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【答案】A 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 14．已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算的取值范围，能成立，即转化为. 【详解】，， 所以，所以， ，所以能成立， 令，所以， 所以当时，有最小值0， 所以，在上有最小值0， 能成立，即， 所以实数的最小值是0. 二、多选题 15．已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于，根据不等式的解集，可得的两根，进而求出对称轴；对于，根据不等式解的结构及韦达定理可判断的范围；对于，求出的值，直接解不等式即可；对于，利用，化简表达式，再利用基本不等式求解即可. 【详解】易知方程的根为和，且， 对称轴为直线，正确； 由韦达定理得，， 则，错误； 若，则， 所以方程可化为， 即恒成立，故不等式的解集为，正确； 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，正确， 故选： 16．已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对A，B，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C，利用基本不等式求最值，对D，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果. 【详解】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误； 对于B，由题意可知： ，可得 ，. 不等式 化为： ， 由 可得 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ，故B正确； 对于C，因为， ， 可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值是，故C正确； 对于D，当 时， ， 则 ， 当 时， 取到最大值 ， 由 得， 或 ， 的值域是 ， 因 在 上的最小值为 ，最大值为1， 从而得 或 ， 因此 ，故D正确. 故选：BCD. 17．关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 18．下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 三、填空题 19．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 20．已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，对任意恒成立，需满足： ，解得， 综上可得． 21．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 22．对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围. 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. 23．若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 24．已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 25．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． 26．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 27．已知函数的值域为，且关于x的不等式的解集为．则有如下结论： ①； ②函数图像与直线的两个交点之间的距离等于6； ③若关于x的不等式的解集为，则； ④的值与的大小有关． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】②③ 【分析】根据二次函数的性质与一元二次不等式的解之间的关系判断． 【详解】由已知，①错误； 关于x的不等式的解集为．即函数图像与直线的两个交点的横坐标分别为，它们的距离为6，②正确； 由上讨论知，因此把的图象向右平行个单位得函数的图象，从而直线与函数的图象的两个交点间距离也是6，③正确； 由③的分析知，是确定的值，与的大小无关， ④错． 故答案为：②③． 28．已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则，且分别为方程的两根， 由根与系数的关系，得即. 将代入不等式， 化简得，即. 容易判断或时，均不符合题意，所以. 所以原不等式即为， 依题意应有且，所以. 故答案为： 29．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数图象性质可得答案 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 30．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 31．已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】关于的方程的四有正实根，两边同除以，等价变形为，然后利用分离变量法转化成值域问题即可解决. 【详解】由题意知：， 关于的方程有正实根，， 等价变形为，（1） 设，则，（1）可变形为：有根， 分离变量得：， 原方程有四个正根，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等， 所以， 32．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【分析】通过不断构造函数利用一元二次函数性质求解最值. 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 四、解答题 33．已知函数． (1)当时，，恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数图象的顶点M在第二象限，且经过点，与x轴的另一个交点为C，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用一元二次型不等式恒成立，并按是否为0分类求解. （2）求出函数图象的顶点坐标，列出不等式求解. 【详解】（1）由，得， 当时，恒成立，当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）依题意，，由的图象过点，得，即， 因此， 由顶点在第二象限，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 34．设函数，关于的不等式（为常数）的解集为. (1)若，求实数的值； (2)当时， 恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将问题转化为的两根分别为，利用韦达定理即可； （2）利用韦达定理得出，，再结合一元二次函数的性质求参即可. 【详解】（1）时，的解集为， 则的两根分别为， 故，，得. （2）因为的两根分别为， 所以，，得，，则， 因为当时，恒成立， 所以对恒成立， 则且，得， 故的取值范围为. 35．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 36．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）分别按照和讨论求出实数的取值范围； （2）原不等式可化为，利用基本不等式求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 37．设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）问题等价于恒成立，然后分，两种情况可得答案. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即，所以不等式的解集为； （2）由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 38．解不等式. 【答案】当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】需要分类讨论，先讨论，和，时，相应方程的两根大小易判断，可直接得出不等式的解集，时，相应方程的两根的大小不确定，需按两根大小分类． 【详解】当，原不等式等价于，解得． 当时，原不等式 1）当时，原不等式，此时，原不等式解集为 2）当时，原不等式 ①当，即时，原不等式解集为 ②当，即时，易得原不等式解集为 ③当，即时，易得原不等式解集为 综上所述得：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【点睛】思路点睛：本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论，分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，在有实根的前提下，第三层次就是比较两根的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $