3.1.2勾股定理的证明-课件-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的证明，核心介绍赵爽弦图、伽菲尔德证法、外补大正方形证法三种面积法。课堂导入通过赵爽弦图构造操作及《周髀算经》等数学文化，连接定理内容与证明思路，搭建从定理表述到逻辑证明的学习支架。 其亮点是融合数学文化与实践探究，以赵爽弦图动手拼图、总统证法简洁推理为例，通过图形割补与面积等量代换培养几何直观和推理意识。例题结合苏州模拟题等，强化符号表达与模型应用，帮助学生用数学语言表达证明过程，教师使用可系统整合知识与素养，提升教学效率。

苏科版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月12日 3.1.2勾股定理的证明 第三章 勾股定理 3.1.2 勾股定理的证明 勾股定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边长为$$a、b$$，斜边长为$$c$$，则：$$a^2+b^2=c^2$$。 初中阶段最常用、考试必考三种证明方法，均采用面积法（等面积法：图形割补前后总面积不变）。 一、方法一：赵爽弦图（中国经典证法、考试高频） 图形构造：用四个完全相同的直角三角形（直角边$$a、b$$，斜边$$c$$）拼成一个大正方形，大正方形边长为$$c$$，中间围成一个小正方形。 证明步骤： 1. 大正方形面积：$$S_大=c^2$$ 2. 四个直角三角形总面积：$$4\times\frac{1}{2}ab=2ab$$ 3. 中间小正方形边长为$$b-a$$，小正方形面积：$$S_小=(b-a)^2=a^2-2ab+b^2$$ 4. 大正方形面积 = 四个直角三角形面积 + 小正方形面积 $$c^2=2ab+(a^2-2ab+b^2)$$ 5. 化简得：$$c^2=a^2+b^2$$ 优点：构图简洁、无复杂计算，是教材官方标准证法。 二、方法二：美国总统伽菲尔德证法（梯形证法） 图形构造：将两个全等的直角三角形（直角边$$a、b$$，斜边$$c$$）与一个腰长为$$c$$的等腰直角三角形，拼成一个直角梯形。 证明步骤： 1. 梯形上底为$$a$$，下底为$$b$$，高为$$a+b$$ 2. 梯形总面积：$$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$$ 3. 梯形由三个直角三角形组成，总面积：$$S=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$$ 4. 面积相等列等式：$$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$$ 5. 化简：$$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$$，消去$$ab$$ 6. 两边同乘2得：$$a^2+b^2=c^2$$ 优点：步骤少、计算简单，考试快速解题首选。 三、方法三：外补大正方形证法（割补法） 图形构造：以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，利用大正方形面积割补证明。 证明步骤： 1. 作边长为$$a+b$$的大正方形，四个角摆放四个全等直角三角形。 2. 大正方形面积：$$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 3. 除去四个直角三角形面积，剩余中间正方形面积：$$c^2$$ 4. 列式：$$a^2+2ab+b^2-4\times\frac{1}{2}ab=c^2$$ 5. 化简得：$$a^2+b^2=c^2$$ 四、证明核心考点总结 1. 核心思想：所有勾股定理证明的本质都是等面积割补法，无需求解角度，仅通过面积等量代换推导。 2. 必考易错点：证明前提必须是直角三角形，非直角三角形不满足勾股定理。 3. 考试优先级：赵爽弦图 > 伽菲尔德梯形证法 > 割补正方形证法。 新知探究 赵爽，东汉末至三国时代的吴国人，是中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家. 赵爽弦图 新知探究 讨论交流 “赵爽弦图”证明的基本思路是什么？ 利用“面积相等”证明． 操作思考 根据“弦图”的思路，用4张如图所示的直角三角形纸片拼成一个边长为c的大正方形．你能用这个图形证明勾股定理吗？ b c a b c a C A B D 证明：∵S正方形ABCD＝c2， S正方形ABCD＝4×ab＋(b－a)2， ＝2ab＋b2－2ab＋a2 ＝a2＋b2 ∴a2＋b2＝c2． 尝试交流 1. 用4张如图所示的直角三角形纸片拼成如图所示的大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？ b c a b c a b a b a b a 证明：∵S大正方形＝(a＋b)2， S大正方形＝4×ab＋c2， ∴ (a＋b)2＝4×ab＋c2 a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2 ∴ a2＋b2＝c2． 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算 经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为 “商高定理”.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 7 2. 对勾股定理的一种证法采用了如图所示的方 法，其中两个全等的直角三角形的边, 在同一条直线上，证明中用 到的面积相等关系是( ) B （第2题） A. B. C. D. 返回 中考考法 8 尝试交流 2. 连接左图中小正方形的对角线，可以得到右图．试利用右图中的面积关系证明勾股定理. b c a b a b a b a b c a b a ∟ ∟ ∟ c 尝试交流 2. 连接左图中小正方形的对角线，可以得到右图．试利用右图中的面积关系证明勾股定理. b c a b a ∟ ∟ ∟ c 证明：∵S梯形＝(a＋b)2， S梯形＝ab＋ ab＋c2， ∴ (a＋b)2＝ab＋ ab＋c2 a2＋ab＋b2＝ab＋ab＋ c2 ∴ a²＋b²＝c². “总统”证法 知识链接 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法．1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法． 加菲尔德总统证法 探索交流 b c a b a b a b a b a a a a b b b (1) (2) 观察两个图形有什么相同点和不同点？ 同一个图形, 不同的分割方法. 利用下面图形，证明勾股定理． 探索交流 利用下面图形，证明勾股定理． b c a b a b a b a b a a a a b b b 证明：由图(1)得， S大正方形＝4×ab＋a²＋b²， 由图(2)得， S大正方形＝4×ab＋c2， ∴4×ab＋a²＋b²＝4×ab＋c2， ∴ a²＋b²＝c². (1) (2) 新知巩固 图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形． 试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理． 这个图形有几种不同的分割方法？ 新知巩固 图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形． 试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理． A B C D E F G 证明：如图， ∵S多边形ABEFG＝S梯形ABDG＋S梯形DEFG ＝b[(b＋(a＋b)]＋a[(a＋(a＋b)] ＝b2＋ ab＋a2＋ab ＝a2＋b2 ＋ab， S多边形ABEFG＝S正方形ACFG+2S直角三角形ABC ＝c2 ＋ab， ∴a2＋b2 ＋ab＝c2 ＋ab． 即a2＋b2＝c2． （第3题） 3. 中国古代数学家们对于 勾股定理的发现和证明，在世界数 学史上具有独特的贡献和地位.学习 了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵 爽弦图”，如图①所示，已知他绘制 10 的图①中的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间 的小正方形恰好能拼成如图②所示的长方形，则 的长为____. 返回 中考考法 16 4.用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个 正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为 , ,斜边长为 . 中考考法 17 （1）结合图①，求证： ; 解：证明： , ， ,即 . 中考考法 18 （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起， 得到图形.若该图形的周长为48， ，求该图形的面积. 解：由题意知 该图形的周长为48， . 设,则 . 在中，由勾股定理，得 ,即 ,解得 . 该图形的面积为 . 返回 中考考法 19 5.如图，在中， ，，， 的垂直平 分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接 .求 的长. 中考考法 20 解：是线段 的垂直平分线， ， . ， ， . . 故的长为 . 返回 中考考法 21 6. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大 正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为， .若小正方形 的面积为5， ，则大正方形的面积为( ) B A.12 B.13 C.14 D.15 返回 中考考法 22 勾股定理的证明 利用面积相等证明 赵爽弦图 图形不同的切割(或拼接)方法计算面积 课堂小结 Lavf58.20.100 $