第四十六讲 导数与函数的零点（二）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数与函数零点高考核心考点，涵盖指数对数混合零点、极值点偏移、隐零点代换等必掌握知识，按“知识点梳理-方法提炼-题型突破”逻辑架构，通过考点分类讲解、解题策略指导、真题案例分析等环节，帮助学生系统构建零点问题解题框架。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“同构变形-隐零点代换-多曲线交点综合”阶梯式突破策略，如在极值点偏移证明中引导学生通过换元转化双变量为单函数问题，在三交点题型中构建方程证明横坐标等差等比关系。设置基础巩固与综合提升分层练习，配合即时反馈机制，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高三数学一轮复习 第四十六讲 导数与函数的零点（二） 【学习目标】1.掌握指数、对数混合零点问题，会利用取对数、同构变形简化方程，结合函数图象分析交点。 2.掌握两曲线公共交点综合题型，能分析直线与两条曲线产生三个交点的条件，并证明交点横坐标成等差 、 等比数列。 【学习重点】1.型零点：分离参数、数形结合求参数范围； 2.双零点（极值点偏移）不等式证明； 3.指对函数零点方程变形、同构、数形结合； 【学习难点】1.双零点极值点偏移：合理换元、构造辅助函数的思路； 2.隐零点代换处理最值、零点证明，无法精确求解零点时整体代换； 必掌握知识点 1、 直线与曲线交点类零点 解题思路：分离参数，构造，转化为与交点个数； 步骤：求导求单调区间、极值、极限趋势数形结合确定临界范围； 指对方程处理：等式两边取对数变形，简化解析式再分析。 2、双零点（极值点偏移）不等式证明 已知，证明、； 通用方法：换元构造单变量函数，利用单调性证明； 核心逻辑：将双变量不等式转化为单变量函数最值问题。 3、隐零点代换技巧 无法解出精确，称为隐零点； 代换规则：用消去指数、对数等高次项，化简； 常用于零点范围估计、最值证明、不等式推导。 4、恒成立问题（零点衍生题型） 恒成立； 端点效应：区间端点值为 0 时，优先分析端点附近导函数符号； 隐零点求最小值，通过最小值满足条件求参数范围。 5、指对函数零点方程变形 、与混合方程，两边取对数统一形式； 同构变形，构造相同单调函数简化交点分析。 6、双曲线三交点综合模型 指数、对数两条曲线，存在一条直线与两曲线共 3 个交点； 临界条件：直线过两曲线公共交点； 利用交点横坐标满足的等式，证明横坐标成等差 、 等比数列。 必考题型全归纳 题型一、单函数零点判定（单调性 + 零点存在定理） 1．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ① ②． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； (2)若选择条件①： 由于，故，则， 而， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于，故，则， 当时，，， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当时，构造函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 注意到，故恒成立，从而有：，此时： 当时，， 当时，， 取，则， 即： 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 2．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一）文科数学试题）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）证明：当且时，只有一个零点. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）对函数求导，将分成和两类，讨论函数的单调区间.（2）对分成和两类，利用函数的单调性和零点存在性定理，证明函数只有一个零点. 【详解】解：（1）． 当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增． 当时，由得，由得或，在单调递减，在和单调递增． （2）当时，由（1）知，在上最大值为，在没有零点．因为，，在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点. 当时，根据函数导数可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增．在上最大值为，在没有零点．因为，． 令，，当时，，故在单调递增，所以，在单调递增，所以，因此．因为在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点.综上，当且时，只有一个零点． 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 题型二、给定零点个数求参数范围 3．（福建省宁德市普通高中2022届高三五月份质量检测数学试题）已知函数 (1)若，判断f（x）在（，0）的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，求a的取值范围. ①f（x）在[0，]上有且只有2个零点； ②当时，. 【答案】(1)f（x）在（，0）上单调递增 (2)选择①：；选择②：. 【分析】（1）求导，通过判定导函数在（，0）上的正负确定单调性； （2）选择①：易得，则因此f（x）在上有且只有1个零点，求导通过讨论找出符合条件的a的取值范围； 选择②：构造函数，此时，可通过端点效应或隐零点等思路求a的取值范围. 【详解】（1）当时， . 当时，， 所以， 又， 故，从而， 所以，f（x）在（，0）上单调递增； （2）选择① 由函数，可知 因此f（x）在上有且只有1个零点. ，令， 则在[0.]上恒成立. 即在[0，]上单调递， 当时，，f（x）在[0.]上单调递增. 则f（x）在（0，]上无零点，不合题意，舍去， 当时，，在[0，]上单调递减， 则在（0，]上无零点，不合题意，舍去， 当时， 则在（0，）上只有1个零点，设为. 且当时，；当时， 所以当时，在（0，）上单调递减，在（x0，）上单调递增， 又 因此只需即可，即 缩上所述 选择② 构造函数 此时 则 易知 令 令， 令，则 所以在（0，）上单调递减.. 又 在（0，）上存在唯一实数使得，且满足当时， 当时. 即p（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，）上单调递减. 又， 所以在上存在一实数使得 且满足当时，；当时， 即在（0，x2）上单调递增，在（，）上单调递减， 当时，即，函数在[0，]上单调递增，又，因此恒成立，符合题意 当，即，在上必存在实数，使得当时，，又，因此在上存在实数不合题意，舍去 综上所述. 【点睛】(1)通过导数确定函数单调区间的，如果无法直接解不等式，有时可以根据函数特点直接判断正负； (2)零点个数问题，首选方法是分离画图确定参数范围，若不能分离画图的，可通过导数确定函数的单调性极值最值等进行分类讨论，找到符合条件的参数范围； (2)恒成立问题，可通过参变分离求最值的方法确定参数范围，若不能分离的，端点值为0的可通过端点效应的方法或者隐零点的方法求最值，从而确定参数范围. 4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）. 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围. 【详解】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； （2）[方法一]【最优解】：分离参数 ,设函数, 则,令，得, 在内,单调递增； 在上,单调递减； , 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是, 所以的取值范围是. [方法二]：构造差函数 由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解． 构造函数，求导数得． 当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意； 当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为． 由于， 当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即． 构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且． 所以，实数a的取值范围为． [方法三]分离法：一曲一直 曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解． 因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点． ①当时，与只有一个交点，不符合题意． ②当时，取上一点在点的切线方程为，即． 当与为同一直线时有得 直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点． 记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所以当且时有． 综上所述，实数a的取值范围为． [方法四]：直接法 ． 因为，由得． 当时，在区间内单调递增，不满足题意； 当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减． 因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即． 令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即． 故实数a的范围为．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题， 方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解. 方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论． 方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论. 5．（辽宁省辽南协作校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题）已知函数，，其中，若. (1)当时，求的单调区间； (2)曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1)的增区间为，减区间为, (2) 【分析】（1），当时，，求导分析的符号，的单调性． （2），即，则两边取对数可得，进而可得，设，只需与直线有两个交点，即可得出答案． 【详解】（1）， 当时，， ， 令，得，即， 令，得，即， 所以的增区间为，减区间为,． （2）， 所以， 两边取对数可得， 所以， 设， 所以， 令得， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以， 又因为，且时，， 所以曲线与直线有且仅有两个交点， 即曲线与直线有两个交点的充分必要条件为， 所以，所以的取值范围为． 题型三、双零点不等式证明（极值点偏移类） 6．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟演练（二））已知函数， (1)若a＝1，b＝2，试分析和的单调性与极值； (2)当a＝b＝1时，、的零点分别为，；，，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分） 求证：①； ②. 【答案】(1)结论见解析； (2)证明见解析. 【分析】(1)求函数，的导函数，，再求，的解，分区间研究函数，的单调性和极值； (2)①不妨设，，根据函数的单调性结合零点存在性定理确定的范围，再证明，要证明，只需证明，即可完成证明； ②同①可以证明，要证明只需证明，其中，再利用导数证明求其最大值，并证明最大值小于即可. 【详解】（1）由已知，该函数的定义域为， 所以， 当时，， 令，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在，使得， 当时，，当时，， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，其中， 所以为函数的极小值点， 极小值为， 函数没有极大值点； 由已知，该函数的定义域为， 所以， 设，则， 所以函数在单调递增， 又，， 所以存在，，使得， 当时，，当时，， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又， 所以为函数的极小值点，极小值为， 函数没有极大值点， （2）①由(1)可得，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，，且， 又， 所以函数有且仅有两个零点，不妨设， 则，， 当时，，该函数的定义域为， 所以， 设，则， 所以函数在单调递增， 又，， 所以存在，，使得， 当时，，当时，， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ，， ，， 所以函数有两个零点，不妨设， 则， 因为为的零点，所以， 令，则， 所以， 所以，所以为函数的零点， 又，所以，同理可得， 所以， 要证明，只需证明， 只需证明， 而，，所以， 所以； ②同①可得函数有且仅有两个零点，设其较小零点为， 因为， 因为，故，所以 ，， 则，， 函数有两个零点，设其较小零点为，则， 要证明，只需证明， 只需证明，设，则， 只需证明， 只需证明， 设，， 则， 设，则， 所以函数，即函数在上单调递增， 所以，，所以 所以在上单调递增， 所以当时，， 又， 所以 因为，所以， 所以， 所以，所以 【点睛】利用导数研究函数的零点，一般考虑先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在性定理确定零点的范围. 7．（河南周口市部分学校2025-2026学年高三下学期3月份联考数学试题）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程在上只有一个解，求的取值范围； (3)若和是的两个零点，证明：. 【答案】(1)当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）方程，令， 依题意，函数在上只有一个零点，而，则函数在上无零点， 又当趋近于正无穷大时，，于是当时，恒成立， 当时，，令， 求导得，，， 函数在上单调递增，，因此； 当时，，求导得， 当时，，函数在上单调递增，，因此； 当时，，而函数的图象在上连续不断， 则存在，使得当时，，函数在上单调递减， 于是当时，与在时，恒成立矛盾， 所以的取值范围是. (3)方程在上有两个不等实根和，不妨设， 则，即，于是， 令，则，，即，因此， ，要证，即证，需证， 即证，令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， ，即，函数在上单调递增，， 因此恒成立，所以. 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类求解的单调区间. （2）构造函数，由在上恒成立求出的范围即可. （3）根据给定条件可得，令，结合分析法将问题转化为证明，再构造函数，利用导数探讨函数单调性即可得证. 8．（山东省临沂第一中学2024-2025学年高三上学期1月阶段性监测数学试题）已知函数，. (1)讨论极值点的个数； (2)若恰有三个零点和两个极值点. （i）证明：； （ii）若，且，证明：. 【答案】【详解】（1）由题知，设函数， 当时，开口向上，， 所以，在上单调递减，无极值点； 当时，在上有两个解，， 又因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 所以有两个极值点. 综上：当时，无极值点； 当时，所以有两个极值点. (2)（i）由（1）知：，且， 又因为， 所以. （ii）由（i）知：，，， 所以，所以. 令，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为时，；时，. 所以. 所以，要证明：， 只需证：， 只需证：， 只需证：， 只需证：， 又因为在上单调递增， 所以只需证：. 令，所以， 所以函数在上单调递减； 所以，即. 所以，要证：，只需证：，即证明：. 因为，所以，所以. 又因为， 所以，所以. 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以成立. 【点睛】：本题关键在于利用要证明的不等式结构，通过合理变形再利用同构思想构造函数得出其单调性即可证明得出结论. 题型四、指对同构 、指数对数交点零点 9．（内蒙古包头市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知m>0且m≠1，函数. (1)当m=2时，求的极值点； (2)当时，若曲线与直线y=1有且仅有1个交点，求m的取值范围. 【答案】(1)是极小值点，是极大值点 (2) 【分析】（1）直接求导，确定单调性，进而求出极值点； （2）先将曲线与直线有且仅有1个交点转化为有1个解，构造函数，求导确定单调性及最大值，结合图像即可求解. 【详解】（1）当m=2时，函数，， 令，则，此时函数单调递增， 令，则或，此时函数单调递减， 所以是的极小值点，是的极大值点. （2）当时，曲线与直线有且仅有1个交点， 可转化为方程有1个解，即方程有1个解. 设，则， 令，得， 当，，函数单调递增， 当x>e时，，函数单调递减， 故，且当x>e时，， 所以时，方程有1个解，所以m=e， 又，所以当时，根据函数的单调性可知， 方程也有一个解， 这时由与m>0，得，得到0<m<1， 综上，当时，若曲线与直线y=1有且仅有1个交点， 则m的取值范围是. 题型五 、两曲线公共交点（三条交点 + 等差 、 等比横坐标） 10．（河南开封市2026届高三第二次质量检测数学试卷）已知函数和有相同的极小值，其中． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列； (3)在（1）（2）的基础上，某学习小组通过指数与对数之间的关系，探究得出：存在直线，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．请给出b与c满足的关系式，并说明理由． 【答案】(1) 【详解】（1）由，得， 易知，若存在极小值，， 1 0 由 且 ，得 ， 0 所以，又，所以． (2)由（1）知，且它们的极小值为， 由（1）可知，当 时，且单调递减， 当时，且单调递减， 此时直线与两条曲线和不可能有三个不同的交点，所以， 又因为当 时，时，，时，时，， 所以当时，分别与和各有两个交点， 若 ，则，解，即， 设函数，则， 由于，所以函数在上单调递增， 所以，又由于， 所以函数在上单调递增，所以， 所以函数在上单调递增， 又， 所以在区间 上存在唯一零点，记为， 所以即，取， 因为，所以是在区间上的解， 因为，所以是在区间上的解， 又由于，且， 所以存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点， 从左到右三个交点的横坐标成等比数列． (3)，理由如下： 由（1）知， 由（2）知是的唯一零点， 由得，即， 所以是函数的唯一零点， 同（2）中分析，可知， 所以，所以． 题型六、无零点证明（最小值恒大于 0） 11．（九师联盟2020届高三上学期10月质量检测数学理科试题）已知函数. （1）证明：对任意，函数的导函数是偶函数； （2）若，，讨论函数的零点个数. 【答案】（1）证明见解析（2）函数的零点个数为0. 【分析】（1）由题得，再利用函数偶函数的定义证明函数的导函数是偶函数；（2），令，利用导数证明即得函数的单调性和零点个数为0. 【详解】（1）证明：函数的定义域是. 则，函数的定义域是. 因为对任意，都有， 即. 因此，对任意，导函数是偶函数. （2）解：， ， 令，则. 因为，所以. 所以在上单调递增. 因为，， 所以一定存在，使得. 所以在上，，，函数单调递减； 在上，，，函数单调递增，所以. 又中，，，， 所以，即， 所以函数的零点个数为0. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，考查利用导数研究函数的单调性和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 巩固提升： 1．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（一））已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)若，是的两个极值点，从下面两个结论中任选一个进行证明． ①； ②． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，导函数的符号不确定，需对a分类讨论，注意分类要做到不重不漏，然后整合结论； （2）方案一：选结论①．对所证式子化简、变形得，即证，即证，换元，设，构造新函数，结合函数的单调性求解；方案二：选结论②．消参得，构造新函数，结合函数的单调性与最值求解. 【详解】（1）易知的定义域为，． 方程的判别式为， 当，即时，，在上单调递增． 当时，方程有两个根，， 则当时，；当时，， ∴在，上单调递增，在上单调递减． 当时，方程的根为3，当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． 当时，方程的根为， 若，则，若，则， ∴在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）方案一：选结论①． 由（1）可知，． 由题意可知，，，∴，， ∴ ． 要证，只需证， 即证，即证， 即证，即证． 设，则，即证， 令， 则， ∴在上单调递减，则， ∴，故． 方案二：选结论②． 由（1）可知，． 由题意可知，，∴，，则， ∴， 设， 则， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 则，故． 2．（重庆市巴蜀中学2019-2020学年高三下学期高考适应性月考（六）数学（理）试题）已知函数. （1）证明：； （2）（i）证明：当时，对任意，总有； （ii）讨论函数的零点个数. 【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii）当或时，函数有唯一零点；当且时，函数有两个零点 【分析】（1），用导数法求得最小值大于零即可。 （2）（i）证明：由（1）知：，根据，利用根的分布证明。（ii）将的零点问题，转化为的零点问题，求导，分，, ，，四种情况讨论求解。 【详解】（1）令， 则. 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增， 所以，即. （2）（i）证明：由（1）知： . 当，时，， ，故. （ii），令，则. 因为函数的定义域为， 故的零点与的零点相同， 所以下面研究函数在上的零点个数. ∵，∴. ①当时，在上恒成立， ∴在上单调递增. ∵，. ∴存在唯一的零点，使得. ②当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增. ∴的最小值为. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，又. 当时，有唯一零点； 当，即时，且. ∵，∴在上有唯一的零点. 又由（i）知：在上存在唯一零点，不妨设， ∴在上有唯一的零点， 故此时在上有两个零点； 当，即时，且，，. 又，由函数零点存在定理可得在上有唯一零点， 故在，上各一个唯一零点. 综上可得：当或时，函数有唯一零点； 当且时，函数有两个零点. 【点睛】本题主要考查导数证明不等式，导数与函数的零点，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题. 3．（河北省邯郸市六校2019届高三上学期期中大联考数学（文科）试题）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：（i）； （ii）对任意，对恒成立． 【答案】（1）的单调递增区间为，，的单调递减区间为. （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）将代入函数解析式，并求得导函数，由导函数的符号即可判断的单调区间； （2）（i）构造函数并求得，利用的单调性求得最大值，即可证明不等式成立.；（ii）由（i）可知将不等式变形可得成立，构造函数，因式分解后解一元二次不等式即可证明对恒成立． 【详解】（1）若，（）， 令，得或， 则的单调递增区间为，. 令，得，则的单调递减区间为. （2）证明：（i）设， 则（）， 令，得； 令，得. 故， 从而，即. （ii）函数 由（i）可知 即，所以，当时取等号； 所以当时，则 若，令 则， 当时，. 则当时，， 故对任意，对恒成立. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立问题，构造函数法的应用，属于中档题. 4．（第14天考前必看的心理调整与考试策略【抢分策略】）已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)当函数无零点时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：首先求出函数的定义域和导函数，求出函数的极值点，并判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，然后讨论最小值小于0、等于0以及大于0的函数的零点个数. 方法二：将原函数的零点个数问题转化为方程的解的个数问题，先用求出的表达式，化简，然后构造一个新函数，求导求最值，结合图像确定原函数的零点个数. （2）方法一：构造关于的函数，求导，借助函数的单调性求解. 方法二：通过将原不等式进行转化，构造一个关于的新函数，然后求导判断单调性，从而求出不等式的解集. 【详解】（1）方法一：由题意知函数的定义域为，． 令，得． 令，则，所以单调递增， 令，则，易知单调递减且在上恒成立， 则直线与曲线有且仅有一个交点， 所以有且仅有1个零点，，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以． ①当时，，当且时，当时，此时有2个零点； ②当时，，有1个零点； ③当时，，无零点． 综上，当时，无零点；当时，有2个零点；当时，有1个零点． 方法二：由题知零点个数可转化为关于的方程解的个数，即解的个数． ，设，则，且与一一对应， 也可转化为，设，构造函数求解 令，则， 令得，则当时， ，单调递增，当时，，单调递减， 从而． ，且当时，，作出的大致图象如图8． 由图可知当时，无零点，当时，有2个零点，当时，有1个零点． （2）方法一：由（1）知若无零点，则，要证，只需证， 由，得． 设，则． 令，，则， 所以在上单调递增，则，则． 当时，， 所以，在上单调递增，所以，原不等式得证． 方法二：待证不等式可转化为，其中，则． 设，则，令， 则， 所以单调递减，所以，原不等式得证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第四十六讲 导数与函数的零点（二） 【学习目标】1.掌握指数、对数混合零点问题，会利用取对数、同构变形简化方程，结合函数图象分析交点。 2.掌握两曲线公共交点综合题型，能分析直线与两条曲线产生三个交点的条件，并证明交点横坐标成等差 、 等比数列。 【学习重点】1.型零点：分离参数、数形结合求参数范围； 2.双零点（极值点偏移）不等式证明； 3.指对函数零点方程变形、同构、数形结合； 【学习难点】1.双零点极值点偏移：合理换元、构造辅助函数的思路； 2.隐零点代换处理最值、零点证明，无法精确求解零点时整体代换； 必掌握知识点 1、 直线与曲线交点类零点 解题思路：分离参数，构造，转化为与交点个数； 步骤：求导求单调区间、极值、极限趋势数形结合确定临界范围； 指对方程处理：等式两边取对数变形，简化解析式再分析。 2、双零点（极值点偏移）不等式证明 已知，证明、； 通用方法：换元构造单变量函数，利用单调性证明； 核心逻辑：将双变量不等式转化为单变量函数最值问题。 3、隐零点代换技巧 无法解出精确，称为隐零点； 代换规则：用消去指数、对数等高次项，化简； 常用于零点范围估计、最值证明、不等式推导。 4、恒成立问题（零点衍生题型） 恒成立； 端点效应：区间端点值为 0 时，优先分析端点附近导函数符号； 隐零点求最小值，通过最小值满足条件求参数范围。 5、指对函数零点方程变形 、与混合方程，两边取对数统一形式； 同构变形，构造相同单调函数简化交点分析。 6、双曲线三交点综合模型 指数、对数两条曲线，存在一条直线与两曲线共 3 个交点； 临界条件：直线过两曲线公共交点； 利用交点横坐标满足的等式，证明横坐标成等差 、 等比数列。 必考题型全归纳 题型一、单函数零点判定（单调性 + 零点存在定理） 1．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ① ②． 2．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一）文科数学试题）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）证明：当且时，只有一个零点. 题型二、给定零点个数求参数范围 3．（福建省宁德市普通高中2022届高三五月份质量检测数学试题）已知函数 (1)若，判断f（x）在（，0）的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，求a的取值范围. ①f（x）在[0，]上有且只有2个零点； ②当时，. 4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 5．（辽宁省辽南协作校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题）已知函数，，其中，若. (1)当时，求的单调区间； (2)曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 题型三、双零点不等式证明（极值点偏移类） 6．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟演练（二））已知函数， (1)若a＝1，b＝2，试分析和的单调性与极值； (2)当a＝b＝1时，、的零点分别为，；，，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分） 求证：①； ②. 7．（河南周口市部分学校2025-2026学年高三下学期3月份联考数学试题）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程在上只有一个解，求的取值范围； (3)若和是的两个零点，证明：. 8．（山东省临沂第一中学2024-2025学年高三上学期1月阶段性监测数学试题）已知函数，. (1)讨论极值点的个数； (2)若恰有三个零点和两个极值点. （i）证明：； （ii）若，且，证明：. 题型四、指对同构 、指数对数交点零点 9．（内蒙古包头市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知m>0且m≠1，函数. (1)当m=2时，求的极值点； (2)当时，若曲线与直线y=1有且仅有1个交点，求m的取值范围. 题型五 、两曲线公共交点（三条交点 + 等差 、 等比横坐标） 10．（河南开封市2026届高三第二次质量检测数学试卷）已知函数和有相同的极小值，其中． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列； (3)在（1）（2）的基础上，某学习小组通过指数与对数之间的关系，探究得出：存在直线，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．请给出b与c满足的关系式，并说明理由． 题型六、无零点证明（最小值恒大于 0） 11．（九师联盟2020届高三上学期10月质量检测数学理科试题）已知函数. （1）证明：对任意，函数的导函数是偶函数； （2）若，，讨论函数的零点个数. 巩固提升： 1．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（一））已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)若，是的两个极值点，从下面两个结论中任选一个进行证明． ①； ②． 2．（重庆市巴蜀中学2019-2020学年高三下学期高考适应性月考（六）数学（理）试题）已知函数. （1）证明：； （2）（i）证明：当时，对任意，总有； （ii）讨论函数的零点个数. 3．（河北省邯郸市六校2019届高三上学期期中大联考数学（文科）试题）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：（i）； （ii）对任意，对恒成立． 4．（第14天考前必看的心理调整与考试策略【抢分策略】）已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)当函数无零点时，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $