第四十四讲 利用导数解决恒（能）成立问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数解决恒成立问题核心考点，涵盖复合型最值转化、含参单调性讨论、恒成立四大解法等高考高频内容，按“规则-方法-模型”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破同构识别、最值转化等难点，体现复习系统性与针对性。 资料突出分类讨论、转化化归思想融合，设计“结构识别-不等式转化-步骤规范”教学活动，如用同构法简化指数对数不等式，培养数学思维与表达能力，设置分层练习与真题演练，保障复习效率，助力学生提升压轴题分析能力，为教师把控复习节奏提供实用指导。

2027届高三数学一轮复习 第四十四讲 利用导数解决恒（能）成立问题 【学习目标】1.掌握 “存在、任意” 类双函数最值转化逻辑，能根据题意准确转化最值不等式 2.强化分类讨论、转化化归、数形结合、同构思想，规范导数大题书写步骤，提升压轴题拆解分析能力。 【学习重点】1.“任意、存在” 复合型值域、最值转化模型； 2.含参导数分类讨论，求单调区间、极值； 3.恒成立问题四大核心解法（分离参数、分类讨论、隐零点、同构）； 【学习难点】1.识别同构结构，利用同构简化指数、对数型不等式； 2.“任意、存在” 复合型最值逻辑区分，容易混淆转化不等式； 3.结合函数对称性、极值分析不等式唯一解的临界边界； 必掌握知识点 一、复合型最值（任意、 存在）转化规则 ，对， ，，的值域的值域 解题步骤：分别求两个函数在对应区间的最值 、值域，再列不等式求解参数。 二、含参函数单调性与极值 求导后，根据导函数零点、二次函数判别式/ 开口分类讨论，划分单调区间； 极值判定：两侧导数符号改变则为极值点，左正右负为极大值，左负右正为极小；导函数无变号零点则函数无极值； 求极值步骤：定义域→求导→求导函数零点→分段判断单调性→写出极值。 三、恒成立问题四大核心方法 设定义域，核心转化： 1.分离参数法：把参数单独放到一侧，构造新函数求最值； 2.分类讨论法：按导函数零点、参数分界讨论函数最值； 3.隐零点（二阶导）法：导数零点无法解出，设为隐零点，用代换化简最值； 4.同构法：对指数、对数式变形，构造相同单调函数，脱去外层简化不等式。 四、函数中心对称判定与证明 1.函数关于点中心对称充要条件：； 2.证明步骤：任取图像上一点，求其对称点，验证该点满足函数解析式。 五、导数不等式证明模型 1.单变量不等式：构造，证明 ； 2.数列不等式：先证函数不等式，取特殊值累加放缩； 3.趋势型证明：给定任意大，找到，时不等式恒成立。 必考题型全归纳 题型一、任意、存在复合型最值问题 1．（河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学（文）试题）已知函数，， （1）当，求的最小值， （2）当时，若存在，使得对任意，成立，求实数的取值范围. 2．（湖南省长沙市浏阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若对任意的，均存在，使得，求的取值范围. 3．（江西赣州市龙南市阳明中学2025-2026学年高一下学期开学测试数学试题）已知定义在R上的函数满足，且，． (1)求的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 题型二、含参函数单调性讨论 4．（2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编）设函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在极值，对于任意，都有恒成立，求的取值范围. 5．（江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期第二次段考数学试题（日新班））已知，函数. (1)求函数的极值； (2)讨论的单调性（写出单调区间）； (3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有. 6．（江苏省泰州中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文）试题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）求证：对于任意，存在实数，当时，恒成立. 题型三、函数极值求解（单变量 、含参） 7．（天津市第二十一中学2024-2025学年第二学期高二年级5月数学练习）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 9．（云南省昭通一中等三校2025届高三上学期高考备考实用性联考（四）数学试题）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)若，求证：当时，. 题型四、恒成立求参数范围（核心压轴题型） 10．（2011-2012学年河北省衡水中学高二下学期一调考试文科数学）已知 （1）讨论的单调性， （2）当时，若对于任意，都有 ,求的取值范围. 11．（天一大联考2021届高三阶段性测试（六）理科数学试题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在极值，且在上恒成立，求a的取值范围． 12．（上海市格致中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 题型五、不等式证明（同构 + 放缩 + 构造函数） 13．（湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高三上学期月考试卷（二）数学试题）已知函数． (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若，证明：当时，在区间上恒成立． 题型六、函数中心对称证明（新热点题型） 14．（广东省惠州市光正实验学校2025届高三上学期9月月考数学试卷）已知函数. (1)若，且是增函数，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当成立，求b的取值范围. 15．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 16．（河北省邯郸市永年区第二中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学试卷）已知函数. (1)若当且仅当，求的值. (2)若，且，求的最小值； (3)证明：曲线是中心对称图形. 巩固提升： 1．（江苏省宿豫中学2018-2019学年高二上学期期末模拟数学试题）已知函数，且，，若存在，使得对任意，成立，则的取值范围是________． 2．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知. (1)当时，求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 3．（江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）已知函数． (1)若时，，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)设，若，当且仅当，求b的取值范围． 4．（山东省沂源县第一中学2025-2026学年高三上学期期中测试数学试题）已知函数. (1)若，且是增函数，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当成立，求b的取值范围. 5．（上海市高桥中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线关于点中心对称； (3)若当且仅当，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第四十四讲 利用导数解决恒（能）成立问题 【学习目标】1.掌握 “存在、任意” 类双函数最值转化逻辑，能根据题意准确转化最值不等式 2.强化分类讨论、转化化归、数形结合、同构思想，规范导数大题书写步骤，提升压轴题拆解分析能力。 【学习重点】1.“任意、存在” 复合型值域、最值转化模型； 2.含参导数分类讨论，求单调区间、极值； 3.恒成立问题四大核心解法（分离参数、分类讨论、隐零点、同构）； 【学习难点】1.识别同构结构，利用同构简化指数、对数型不等式； 2.“任意、存在” 复合型最值逻辑区分，容易混淆转化不等式； 3.结合函数对称性、极值分析不等式唯一解的临界边界； 必掌握知识点 一、复合型最值（任意、 存在）转化规则 ，对， ，，的值域的值域 解题步骤：分别求两个函数在对应区间的最值 、值域，再列不等式求解参数。 二、含参函数单调性与极值 求导后，根据导函数零点、二次函数判别式 / 开口分类讨论，划分单调区间； 极值判定：两侧导数符号改变则为极值点，左正右负为极大值，左负右正为极小；导函数无变号零点则函数无极值； 求极值步骤：定义域→求导→求导函数零点→分段判断单调性→写出极值。 三、恒成立问题四大核心方法 设定义域，核心转化： 1.分离参数法：把参数单独放到一侧，构造新函数求最值； 2.分类讨论法：按导函数零点、参数分界讨论函数最值； 3.隐零点（二阶导）法：导数零点无法解出，设为隐零点，用代换化简最值； 4.同构法：对指数、对数式变形，构造相同单调函数，脱去外层简化不等式。 四、函数中心对称判定与证明 1.函数关于点中心对称充要条件：； 2.证明步骤：任取图像上一点，求其对称点，验证该点满足函数解析式。 五、导数不等式证明模型 1.单变量不等式：构造，证明； 2.数列不等式：先证函数不等式，取特殊值累加放缩； 3.趋势型证明：给定任意大，找到，时不等式恒成立。 必考题型全归纳 题型一、任意、存在复合型最值问题 1．（河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学（文）试题）已知函数，， （1）当，求的最小值， （2）当时，若存在，使得对任意，成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） . 【详解】（1） ， ， 当时，在上 ， 当 时，在上 ， ， 当时，在上，上 ， ， （2）已知等价于 ， 由（1）知时在上 ， 而 ， 当， ， 所以 ，所以实数的取值范围是 . 2．（湖南省长沙市浏阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若对任意的，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）最大值，最小值是；（3） 【分析】（1）先确定切点纵坐标，在求导，求出切线的斜率，最后写出切线方程；（2）求导研究函数在区间上的单调性，在求最值（3）由题意求出（用含a的式子表示），根据题意：，在求出a的取值范围 【详解】（1）时，， ，，曲线在点处的切线方程为： ，即 （2）时，，，由，得 当时，；当时， 在上单调递增；在上单调递减. 又    又 函数在区间上的最大值是；最小值是 （3） 当时，的值域是 的定义域为， ①当时，，在定义域为上单调递增，且值域是 所以，对任意的，均存在，使得 ②当时，由 得 当时，，当时， 当时，取得最大值 所以“对任意的，均存在，使得”等价于 ，即，解得 综合①，②得的取值范围是 【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程以及区间最值 3．（江西赣州市龙南市阳明中学2025-2026学年高一下学期开学测试数学试题）已知定义在R上的函数满足，且，． (1)求的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据结合对数运算可得，即可得； （2）进而可得函数，根据函数的单调性可得，分离参数求最值即可； （3）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，由题意可得，进而可得，参变分离可得，求函数的最值即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， 整理可得， 根据的任意性可得，所以. （2）由（1）可得，则， 因为函数，在定义域上单调递增，且， 则单调递增，且在定义域上单调递增， 可知函数在上单调递增， 则不等式恒成立等价于，即恒成立， 设，则，可得， 当且仅当，即时取等号，可得，所以实数的取值范围是. （3）因为对任意的，存在，使得， 可知在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，则在内的最小值为， 可得，即存在，使成立， 令，， 因为，在上单调递增，可知在上单调递增， 则在上的最小值为， 可得，所以实数的取值范围是． 题型二、含参函数单调性讨论 4．（2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编）设函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在极值，对于任意，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）计算，然后分类讨论，，判断函数的单调性即可. （2）结合（1）可知，然后使用分离参数的方法，并构造函数，通过研究函数的性质即可. 【详解】（1），， ①当时，， 即，所以在上是增函数； ②当时，令， 则， ∴，， 所以当时，，当时，， 所以在上是减函数，在上是增函数； （2）由存在极值知， “对于任意，都有恒成立”等价于 “对于任意，都有恒成立”， 设，，则，， 设，， 则，， 所以在上是减函数， 又，所以当时，，当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数， 所以，∴，∴. 【点睛】本题考查利用导数讨论含参数的函数的单调性以及分离参数方法的使用，本题着重考查分析能力以及逻辑推理能力，属难题. 5．（江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期第二次段考数学试题（日新班））已知，函数. (1)求函数的极值； (2)讨论的单调性（写出单调区间）； (3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有. 【答案】(1)极小值，无极大值(2)答案见解析(3)，证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）求导得，再对分类讨论即可； （3）同构得，则有，即，再构造函数，得到其最值即可得到，解出的取值范围，再构造函数利用导数证明，取，得到，再累积结合对数的运算性质及等比数列求和公式即可证明. 【详解】（1）因为，则，定义域为， 则，所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）函数的定义域为，. 当时，，则在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由，可得，即. 令，因为在上均单调递增，则单调递增. 由，可得，则，即. 令，则. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 则，又，解得，故的取值范围为，则的最大值. 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当且时，，则. 取，所以， 所以，，， 所以. 所以， 所以，即，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用同构的思想得到，再构造函数，根据其单调性得，即，再求出函数的最大值即可得到关于的不等式，解出即可. 6．（江苏省泰州中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文）试题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）求证：对于任意，存在实数，当时，恒成立. 【答案】（1）在上为减函数，在上为增函数；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）求出原函数的导函数．可得当时，，函数在上单调递减；当时，令求得值，把定义域分段，由导函数在不同区间段内的符号，可得原函数的单调性； （2）由恒成立，通过分离参数法，转化成不等式恒成立，设，通过导函数求出的单调性，进而得出的最大值，即可求出a的取值范围； （3）由（1）可知当时，在上为减函数，在上为增函数，再分类讨论：①当时，当时，，此时取；②当时，构造新函数，利用新函数的单调性，可得出时，，此时取，综合两种情况，即可证明出. 【详解】（1），， ①当时，恒成立，所以在上为减函数； ②当时，由，得，由，得； 由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数. （2）由得，，即不等式，恒成立， 记，则，由得，； 由得，；由得，. 所以在为增函数，在上为减函数， 所以，所以. （3）证明：由（1）知， 当时，在上为减函数，在上为增函数. ①当，即时，因为在上为增函数， 又，所以，当时，，此时取. ②当，即时， 因为，所以， ，令，，则上式， 记，，则， 所以在上为增函数，所以，即， 因为在上为增函数，且， 所以当时，，此时取. 综上，对于任意，存在实数，当时，恒成立. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，还运用分离参数法求解参数的取值范围，同时考查分类讨论思想和计算能力，是中档题． 题型三、函数极值求解（单变量 、含参） 7．（天津市第二十一中学2024-2025学年第二学期高二年级5月数学练习）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为0，无极大值(2)(3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 9．（云南省昭通一中等三校2025届高三上学期高考备考实用性联考（四）数学试题）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)若，求证：当时，. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值. (3)证明见解析 【分析】（1）由题，通过求导可得在点处的切线方程的斜率，即可得答案； （2）此时，，，通过判断单调性可得零点，即可得答案； （3）由题可得，设，由题可得，则，据此可完成证明. 【详解】（1）当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即； （2）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值，且极小值为，无极大值； （3）， 设， 则， 当时，，则. 故在上为增函数，故，即， 所以在上为增函数，故. 综上，若，当时，. 题型四、恒成立求参数范围（核心压轴题型） 10．（2011-2012学年河北省衡水中学高二下学期一调考试文科数学）已知 （1）讨论的单调性， （2）当时，若对于任意，都有 ,求的取值范围. 【答案】（1）时在上单调递增；时，的递增区间为 , 的递减区间为；（2） 【分析】（1）求得导函数，分和两种情况讨论导函数的符号，解不等式即可求得单调区间；（2）根据（1）中得到的单调性结论，将绝对值不等式转化，构造函数，通过求导数，分离参数后转化为二次函数，即可求得的取值范围． 【详解】（1）∵当时当时恒成立 ∴在上单调递增 当时，令得，令得 ∴的递增区间为，的递减区间为 （2）由（1）知时在上单调递增 不妨设， 可化为，即 令则在单调递增 对恒成立 ，则 11．（天一大联考2021届高三阶段性测试（六）理科数学试题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在极值，且在上恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）． 【分析】（1）求得的导数，令，结合二次函数的图象与性质，根据对称轴分类讨论确定的符号，即可求解； （2）把，恒成立，转化为恒成立，令，，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数， 可得的定义域为，且， 令，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，且， 所以在上单调递增； 当，即时，令，得恒成立， 可得，， 所以在上，即在上单调递减；在上，即在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递减，在上递增． （2）由（1）可知，若存在极值，则， ，不等式恒成立，等价于恒成立， 令，，，则， 令，则，所以在上递减， 因为，所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，即，解得. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 12．（上海市格致中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】(1)将代入，利用导数研究函数在处的导数，得到切线的斜率，然后根据点斜式可得切线方程； (2)将代入，对求导，根据导数符号确定函数单调区间，即可求得极值； (3) 当时，恒成立,则对求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数在上不等式成立的必要条件，再验证充分性成立，即可求出的取值范围. 【详解】（1）将代入，对求导，可得， 当，，， 所以根据点斜式可列出切线方程， 化简可得， 所以曲线在点处的切线方程. （2）将代入，对求导， 可得， 因为，所以，即的定义域为， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当，，单调递增， 则在，无极大值，只有极小值为， 所以当时，函数的极小值为0. （3）根据题意知， 则， 设， 则， 因为当时，恒成立，且， 所以，得， 故是原不等式成立的必要条件,在证明必要条件也是充分条件， 当，时，， 所以在上单调递增，且， 所以在上单调递增，且， 综上可得的取值范围为 题型五、不等式证明（同构 + 放缩 + 构造函数） 13．（湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高三上学期月考试卷（二）数学试题）已知函数． (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若，证明：当时，在区间上恒成立． 【答案】(1) 【分析】（1）把代入函数化简解析式后求导，利用基本不等式求出导数最小值，再根据，解关于的不等式求出的最小值. （2）设为图象上任意一点，计算出，从而命题得证. （3）若，原命题等价于证明在区间上恒成立，通过换元法化简不等式，构造函数后求导，利用导数恒正得出函数单调递增，进而得出结论. 【详解】（1）当时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即，所以的最小值为． (2)的定义域为， 设为图象上任意一点，故， 而， 所以，所以的图象为中心对称图形，且对称中心为． (3)若，，原命题等价于证明在区间上恒成立， 设，则需满足在区间上恒成立， 设，则， 因为，所以，，若，则， 故恒成立，故在区间上为增函数， 故，即在区间上恒成立． 题型六、函数中心对称证明（新热点题型） 14．（广东省惠州市光正实验学校2025届高三上学期9月月考数学试卷）已知函数. (1)若，且是增函数，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当成立，求b的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，分析可知，求出可求的最小值； （2）根据题意可证，即可得结果； （3）分析可知为的一个解，即可得，结合对称性可知原题意等价于在内恒成立，设，构建函数，可得在上恒成立，求导，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】（1）若时，， 可知的定义域为，且， 若是增函数，即在内恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 即，则，解得， 所以的最小值为. （2）因为的定义域为， 且， 所以图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当成立， 结合（2）所得对称中心，知为的一个解， 即，可得，关于点对称， 根据对称性可知：原题意等价于在内恒成立， 即为在上恒成立， 设，则，得在上恒成立， 设，可知在上恒成立， 则， 因为，则，可得， 当，， 故恒成立，可知在上为增函数，则，符合题意； 当，当时，， 可知在内单调递减，故，不合题意； 综上所述：b的取值范围为. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 15．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）(2) 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为.综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 16．（河北省邯郸市永年区第二中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学试卷）已知函数. (1)若当且仅当，求的值. (2)若，且，求的最小值； (3)证明：曲线是中心对称图形. 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设可判断即； （2）求出后根据可求的最小值； （3）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；. 【详解】（1）因为， 所以，解得，所以的定义域为， 当且仅当，由于的图象是连续的， 故为的一个解， 所以即； （2）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为. （3）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【点睛】方法点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 巩固提升： 1．（江苏省宿豫中学2018-2019学年高二上学期期末模拟数学试题）已知函数，且，，若存在，使得对任意，成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】存在，使得对任意的，恒成立，即 ，由在上递增，可得，利用导数可判断在上的单调性，可得，由 ，可求得的范围； 【详解】的定义域为，， 当时，，，为增函数， 所以； 若存在，使得对任意的，恒成立， 即 ，， 当时，为减函数，， ∴，，∴故答案为. 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数． 2．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知. (1)当时，求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求导，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调性，从而得到时，时，，，进而得到的单调区间，即可求解； （2）当时，恒成立，则对求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数在上不等式成立的必要条件，再验证充分性成立，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由，得到，所以的定义域为， 当时，，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，即，所以在区间上单调递减， 当时，，即，所以在区间单调递增， 则在，无极大值，只有极小值，极小值为， 所以当时，函数的极小值为，无极大值. （2）根据题意知， 则， 设，则， 因为当时，恒成立，且， 所以，得，故是原不等式成立的必要条件， 下面证明必要条件也是充分条件， 当，时，， 所以在上单调递增，且， 所以在上单调递增，且， 综上可得的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理， 3．（江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）已知函数． (1)若时，，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)设，若，当且仅当，求b的取值范围． 【答案】(1)a的最小值为－1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，并求出，再根据可求的最小值； （2）根据题意可证，即可得证； （3）令函数，据题意当且仅当时，，故．通过分析排除，从而确定，得到，，分，两种情况分析的单调性，结合题意即可确定b的取值范围． 【详解】（1）的定义域为． 当时，． 因为，所以，等号成立当且仅当． 由题意，，所以. 故a的最小值为－1. （2）因为的定义域关于3对称， 且， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为点． （3）令函数， 依题意当且仅当时，所以． 若，因为，所以存在，使，矛盾， 从而，故． ． 若，当时，，从而，在区间单调递减， 当时，，不符合题目要求． 若，当时，．从而，等号成立当且仅当，故在区间单调递增，当时，符合题目要求． 因此b的取值范围是． 【点睛】思路点睛：第二问根据函数中心对称的充要条件可证明；第三问，利用导数研究函数的单调结合分类讨论的思想计算即可. 4．（山东省沂源县第一中学2025-2026学年高三上学期期中测试数学试题）已知函数. (1)若，且是增函数，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当成立，求b的取值范围. 【答案】(1) (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图象上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断，即，再根据在上恒成立，设，构建函数，可得在上恒成立，求导，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】（1）时，，由得，解得， 则， 因为，当且仅当即时等号成立， 故，因为是增函数，所以恒成立， 故即，所以的最小值为； (2)的定义域为，设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而 ，所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为； （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以，所以，即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 因为，则，可得， 当，， 故恒成立，即在上为增函数， 故即在上恒成立； 当，当时，， 可知在内单调递减，故，不合题意； 综上，在上恒成立时. 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，，即b的取值范围为. 5．（上海市高桥中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线关于点中心对称； (3)若当且仅当，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图象上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为； （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为； （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $