精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年第二学期初二数学期末质量诊断 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，A错误； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，B错误； C、，化简后为整数，不是二次根式，C错误； D、，最简后被开方数为，与被开方数相同，D正确． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法，加减法等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，加减法和性质，熟知相关计算法则是解题的关键． 3. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 4. 如图，为某校初三男子立定跳远成绩的统计图，从左到右各分数段的人数之比为1：2：5：6：4，第四组的频数是12，对于下面的四种说法 ①一共测试了36名男生的成绩． ②立定跳远成绩的中位数分布在1.8～2.0组． ③立定跳远成绩的平均数不超过2.2． ④如果立定跳远成绩1.85米以下（不含1.85）为不合格，那么不合格人数为6人． 正确的是（　　） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】①用第四小组的频数除以其所占的百分比即可求得测试的人数； ②根据总人数确定中位数的位置即可． ③计算平均数后即可确定正误． ④根据题意确定不合格的人数即可． 【详解】解：①∵从左到右各分数段的人数之比为1：2：5：6：4，第四组的频数是12， ∴测试的总人数为12÷＝36，正确． ②共36人，中位数应是第18和第19人的平均数， 故中位数落在2.0﹣2.2小组，故错误． ③立定跳远成绩的平均数为≈2.01，故正确． ④低于1.8米的有6人，低于1.85的不确定，故错误， 故选A． 【点睛】此题考查了频数（率）分布直方图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． 5. 如图，在四边形中，点分别是的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用本题重点考查​​中点四边形的性质和中位线定理​​，​​熟练运用中位线定理推导边之间的平行关系，并利用垂直条件判断矩形是解题的关键​​． 由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形是平行四边形，若或者就可以判定四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形， ∵点分别是的中点， ∴, ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， 即， ∴四边形是矩形， 故选：A． 6. 如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（ ） A. －3≤y≤3 B. 0≤y≤2 C. 1≤y≤3 D. 0≤y≤3 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据函数图象可得y的最大值为3，最小值为0，则y的取值范围为：0≤y≤3． 考点：函数图象的性质． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线交坐标轴于B、C，且，点M在直线上，且，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作MN⊥AC于N，由A、B的坐标可知OA=1，OB=3，证得△AMN≌△BAO，得到MN=OA=1，AN=OB=3，得出M（-4，1），然后根据待定系数法即可求得BC的解析式． 【详解】解：作MN⊥AC于N， ∵点A（-1，0），B（0，3）， ∴OA=1，OB=3， ∵∠CBA=45°，AM⊥AB， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴AM=AB， ∵∠NAM+∠BAO=90°=∠BAO+∠ABO， ∴∠NAM=∠ABO， 在△AMN和△BAO中， ， ∴△AMN≌△BAO（AAS）， ∴MN=OA=1，AN=OB=3， ∴ON=AN+OA=4， ∴M（-4，1）， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 把M（-4，1），B（0，3）代入得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 8. 合肥大圩盛产葡萄，果大味美．甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客，在销售价格一样的基础上分别推出优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按六折优惠．乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为，若在甲采摘园所需总费用为元，若在乙采摘园所需总费用为元，、与之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲采摘园的门票费用是60元 B. 两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/千克 C. 乙采摘园超过后，超过的部分价格是12元/千克 D. 当时，乙采摘园更加优惠 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图象和图象中的数据，对每个选项逐一判断即可，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【详解】解：由图象可得，甲采摘园的门票是60元，故选项A不合题意； 两个采摘园优惠前的葡萄单价是：（元/千克），故选项B不合题意； 乙采摘园超过后，超过的部分价格是：（元/千克），故选项C不合题意； 当时，， 当时，设与x的函数表达式是， ，解得， 即当时，与x的函数表达式是， 由题意可得，， 当时，即时，甲或乙两个采摘园的总费用相同， 当时，即时，甲或乙两个采摘园的总费用相同， 由图象知，当时，甲采摘园更加优惠，故选项D符合题意； 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知一组数据为1，2，x，4，5它们的平均数是3，则这组数据的方差为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差的定义，解题的关键是正确理解平均数是所有数据的和除以数据的个数，方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差的计算公式计算即可． 【详解】解：∵数据1，2，x，4，5的平均数是3， ∴， ∴， ∴这组数据的方差是， 故选：2． 10. 函数中自变量x的取值范围是____________________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 11. 长方形零件尺寸（单位：）如图，则两孔中心和的距离为_________． 【答案】150 【解析】 【分析】根据题意可得AC与BC的取值，又由勾股定理，即可求得AB的值，即可求得两圆孔中心A和B的距离． 【详解】解：由题意得：AC=150-60=90（mm），BC=180-60=120（mm）， 在△ABC中，∠ACB=90°， 由勾股定理，得：AB==150（mm）， 故答案为：150． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是得出AC，BC的长． 12. A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键；  设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 13. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简、计算零指数幂，再合并即可． （2）先计算负整数指数幂、二次根式的除法、利用平方差公式展开，再计算合并即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，也涉及零指数幂、负整数指数幂和平方差公式．掌握各运算法则是解题关键． 四、解答题：本题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 某校为了增强学生的疫情防控意识．组织全校2000名学生进行了疫情防控知识竞赛．从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分），分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图： （1）填空：n=______； （2）补全频数分布直方图； （3）抽取的这n名学生成绩的中位数落在 组； （4）若规定学生成绩为优秀．估算全校成绩达到优秀的人数． 【答案】（1）50；（2）见解析；（3）C；（4）600 【解析】 【分析】（1）根据“A组”的百分比以及人数即可求出总人数n； （2）结合（1）的结论求出D组的人数，补全频率分布直方图即可； （3）根据中位数的定义，偶数个数据的中位数应取中间两个数的平均值，由此确定即可； （4）利用成绩的人数求出占比，然后乘以2000即可． 【详解】（1）（人）， 故答案为：50； （2）D组人数为：（人）， 补全图形如图所示： （3）求取中位数，应该将这组数据从小到大进行排列，找出第25和26个数据即可， 由（2）可知，第25和26个数据均落在C组， ∴中位数落在C组， 故答案为：C； （4）（人）， ∴估算全校成绩达到优秀的人数为600人． 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图信息综合，以及确定中位数，准确分析出基本信息，理解基本定义是解题关键． 15. “村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米. （1）判断△ACM的形状，并说明理由； （2）求公路AB的长. 【答案】（1）△ACM是直角三角形，见解析 （2）原来的路线AB的长为16.9千米． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可； （2）根据勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 解：（1）△ACM是直角三角形， 理由是：在△ACM中， ∵AM2+CM2=122+52=169， AC2=169， ∴AM2+CM2=AC2， ∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°； 【小问2详解】 设BC=AB=x千米，则BM=BC-CM=（x-5）千米， 在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12， 由勾股定理得：AB2=BM2+AM2， ∴x2=（x-5）2+122， 解这个方程，得x=16.9， 答：原来的路线AB的长为16.9千米． 【点睛】本题考查勾股定理及它的逆定理，解题关键是掌握相关定理的内容． 16. 如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． （1）求m的值和直线的函数表达式． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得． 设直线的函数表达式为，把点，代入得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵， ∴的值随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 17. 移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如下表： 套餐 月保底费（元） 包通话时间（分钟） 超时费（元分钟 A 38 120 0.1 B C 118 不限时 设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为元，元，其中B套餐的收费金额元与通话时间x分钟的函数关系如图所示： （1）结合表格信息，求与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）结合图像信息补全表格中B套餐的数据； （3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由． 【答案】（1）；（2） ；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格中套餐的信息，可得关于的函数关系式，然后根据函数关系式写出相应的自变量取值范围； （2）根据图象信息可求出表格中套餐的数据，并补全表格； （3）根据题意通过计算比较在不同取值范围中选择哪种套餐的费用最少即可． 【详解】解：（1）由题意可得，， 整理可得，； （2）由图象可得套餐月保底费为元，包通话时间为分钟，超时费为 元分钟， 故答案为：； （3）当时，选择套餐费用最少， 当时，选择套餐费用最少， 当时，选择套餐费用最少． 理由如下： 当x>360时，设: 又∵图像过点（360，58），（480，70）两点 解得： ∴ ， 令，得， 令，得， 即当时，选择套餐费用最少， 当时，选择套餐费用最少， 当时，选择套餐费用最少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 18. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形中，对角线，垂足为O． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的长．   【答案】（1）见解析 （2）①见解析②4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等角对等边，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，得到，结合平行四边形的性质，得到即可证明四边形是菱形． （2）①根据平行四边形的性质，得，结合，证明，从而证明平行四边形是菱形； ②结合平行四边形是菱形，则平分，因为，，得，故，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：①∵平行四边形中，对角线和相交于点，且，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， 由①得 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初二数学期末质量诊断 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为某校初三男子立定跳远成绩的统计图，从左到右各分数段的人数之比为1：2：5：6：4，第四组的频数是12，对于下面的四种说法 ①一共测试了36名男生的成绩． ②立定跳远成绩的中位数分布在1.8～2.0组． ③立定跳远成绩的平均数不超过2.2． ④如果立定跳远成绩1.85米以下（不含1.85）为不合格，那么不合格人数为6人． 正确的是（　　） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 5. 如图，在四边形中，点分别是的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（ ） A. －3≤y≤3 B. 0≤y≤2 C. 1≤y≤3 D. 0≤y≤3 7. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线交坐标轴于B、C，且，点M在直线上，且，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 合肥大圩盛产葡萄，果大味美．甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客，在销售价格一样的基础上分别推出优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按六折优惠．乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为，若在甲采摘园所需总费用为元，若在乙采摘园所需总费用为元，、与之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲采摘园的门票费用是60元 B. 两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/千克 C. 乙采摘园超过后，超过的部分价格是12元/千克 D. 当时，乙采摘园更加优惠 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知一组数据为1，2，x，4，5它们的平均数是3，则这组数据的方差为_________． 10. 函数中自变量x的取值范围是____________________． 11. 长方形零件尺寸（单位：）如图，则两孔中心和的距离为_________． 12. A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 13. 计算 （1）； （2）． 四、解答题：本题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 某校为了增强学生的疫情防控意识．组织全校2000名学生进行了疫情防控知识竞赛．从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分），分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图： （1）填空：n=______； （2）补全频数分布直方图； （3）抽取的这n名学生成绩的中位数落在 组； （4）若规定学生成绩为优秀．估算全校成绩达到优秀的人数． 15. “村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米. （1）判断△ACM的形状，并说明理由； （2）求公路AB的长. 16. 如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． （1）求m的值和直线的函数表达式． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 17. 移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如下表： 套餐 月保底费（元） 包通话时间（分钟） 超时费（元分钟 A 38 120 0.1 B C 118 不限时 设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为元，元，其中B套餐的收费金额元与通话时间x分钟的函数关系如图所示： （1）结合表格信息，求与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）结合图像信息补全表格中B套餐的数据； （3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由． 18. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形中，对角线，垂足为O． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的长．   第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $