第四单元混合运算与数量关系（二）（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学苏教版

该小学数学讲义通过知识框架图系统构建混合运算与数量关系的单元体系，梳理不含括号与含括号的运算规则、递等式书写规范，结合总价、路程等复合数量关系，呈现运算顺序与解题逻辑的内在联系。 讲义亮点在于“易错点+真题拔高”的分层设计，如填空题“在600÷15－11×3中添括号使运算顺序是‘减→乘→除’”培养推理意识，解答题“工程队修路”强化模型意识，帮助学生提升运算能力。配套递等式书写规范与分步解题指引，支持学生自主复习，助力教师实施精准教学。

第四单元 混合运算与数量关系（二）（讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 （1）本单元是苏教版四年级上册数与代数核心进阶单元，承接一步计算、同级混合运算、基础乘法数量关系，是整数四则混合运算体系的完善与拔高。 （2）核心突破两级混合运算、含小括号的混合运算规则，结合两步计算深化拓展总价、路程、工程类延伸数量关系，实现计算规则与解题逻辑的结合。 （3）是小学阶段四则运算规范的定型内容，为高年级小数、分数混合运算，复杂复合应用题、综合列式解题奠定核心基础。 2. 核心学习内容 （1）不含括号的两级四则混合运算的运算顺序与计算规范。 （2）含小括号的两步、三步混合运算的运算顺序与括号作用。 （3）混合运算通用书写格式、递等式计算规范。 （4）两步计算延伸数量关系，结合混合运算解决复合生活问题。 （5）混合运算与数量关系结合的解题思维、正向逆向推理逻辑。 （6）单元高频易错运算规则、列式逻辑、书写规范汇总。 3. 核心数学思想 （1）有序运算思想：建立固定运算优先级，规范四则运算的先后顺序。 （2）建模思想：将复合生活数量问题，转化为标准化混合运算算式模型。 （3）逻辑推理思想：根据已知条件分步推导，结合运算规则完成综合列式。 二、混合运算基础分类与核心定义 1. 四则运算分类 （1）一级运算：加法、减法，属于低级运算。 （2）二级运算：乘法、除法，属于高级运算。 2. 混合运算定义 （1）一道算式中，包含两种及两种以上不同的四则运算，统称为混合运算。 （2）本单元主要研究同级混合运算、两级混合运算、含括号混合运算三类核心形式。 3. 递等式计算核心要求 （1）混合运算必须使用递等式分步计算，禁止直接写得数。 （2）每次只完成一步核心运算，未参与运算的数字和符号原样落写，不能遗漏、篡改。 三、不含括号的混合运算运算规则 1. 同级混合运算规则 （1）判定标准：算式中只含有一级运算（只有加减）或只含有二级运算（只有乘除）。 （2）运算顺序：严格按照从左往右的顺序依次计算。 （3）核心特征：同级运算无优先级差异，顺序由数字排列位置决定。 2. 两级混合运算规则（核心重点） （1）判定标准：算式中同时含有一级运算（加减）和二级运算（乘除）。 （2）通用运算顺序：先算乘除，后算加减。 （3）细分规则 ① 算式中有乘法和加减法，优先计算乘法，再计算加减法。 ② 算式中有除法和加减法，优先计算除法，再计算加减法。 ③ 算式中同时有乘、除、加、减，所有乘除同步优先计算，再统一计算加减。 3. 无括号混合运算简便逻辑 （1）当加减号隔开两组及以上乘除运算时，各部分乘除可同步分步计算，再算中间加减，简化递等式步骤。 （2）同级运算连续排列时，严格从左至右，不可随意调换运算顺序。 四、含小括号的混合运算运算规则 1. 小括号的核心作用 （1）改变算式固有运算优先级，强制优先计算括号内的内容。 （2）用于整合分步运算，实现复杂数量关系的综合列式。 2. 含小括号运算通用顺序 （1）无论括号内是同级运算还是两级运算，先算小括号里面的，再算小括号外面的。 （2）括号内部运算：遵循先乘除、后加减、从左往右的基础规则。 （3）括号外部运算：按照常规两级混合运算顺序依次计算。 3. 小括号使用核心原则 （1）需要改变默认运算顺序时，必须添加小括号。 （2）无需改变顺序的算式，禁止多余添加小括号，保证列式简洁规范。 五、混合运算规范书写知识点 1. 递等式书写标准 （1）每行只进行一步运算，等号上下对齐，格式工整统一。 （2）未参与本次运算的数字、运算符号、括号必须原样抄写，不得省略、更改。 （3）完整算式运算结束后，最终结果写在最后一行递等式末尾。 2. 书写禁忌规范 （1）禁止跳跃步骤计算，禁止一步完成多步混合运算。 （2）禁止漏写符号、漏落数字、颠倒运算顺序。 （3）禁止随意去掉、添加括号，严格贴合运算逻辑书写。 六、混合运算配套延伸数量关系（二） 1. 复合总价数量关系 （1）多品类购物模型：多种商品总价求和、差价求差，适配乘加、乘减混合运算。 （2）核心逻辑：先分别求出各类商品总价，再通过加减求出总花费、差价。 （3）对应运算：单价×数量±单价×数量，优先乘法、后算加减。 2. 复合路程数量关系 （1）分段行程模型：分段行驶、往返行驶、快慢路程对比，适配乘加、乘减混合运算。 （2）核心逻辑：先求出各段行驶路程，再求和得到总路程、求差得到路程差。 （3）对应运算：速度×时间±速度×时间，严格遵循先乘后加减规则。 3. 归一归总延伸数量关系 （1）先归一后综合：先求出单一量，再结合加减、倍数关系求出最终总量。 （2）适配含括号混合运算：需要先加减、后乘除的数量逻辑，必须添加小括号改变运算顺序。 4. 两步复合解题思维 （1）从条件推导：梳理已知数量，分步求出中间未知量，再推导最终问题。 （2）从问题倒推：明确所求问题需要的两个条件，判断条件是否已知，未知条件优先计算。 （3）综合列式原则：根据两步运算逻辑，结合运算规则，合理添加括号列出综合算式。 七、单元核心运算规律总结 1. 无括号运算口诀规律 （1）同级运算，从左到右；两级运算，先乘除后加减。 2. 有括号运算口诀规律 （1）有括号先算括号内，括号内外分顺序，内部遵循基础规则，外部正常运算。 3. 综合列式核心规律 （1）分步计算可转化为综合算式，需要改变默认顺序必加小括号。 （2）所有两步及以上数量问题，均可通过混合运算综合列式求解。 易错指引 1. 运算顺序易错 （1）混淆两级运算顺序，先算加减后算乘除，违背核心规则。 （2）同级运算随意调换顺序，不遵循从左往右的计算规则。 （3）含括号算式，先算外部运算再算括号内，颠倒优先级。 2. 书写格式易错 （1）递等式不等号不对齐、跳跃步骤、漏落数字符号。 （2）综合列式多余加括号、漏加括号，导致运算顺序错误。 3. 数量关系易错 （1）无法区分两步问题的计算先后，综合列式逻辑混乱。 （2）多品类、分段行程问题中，数量对应错误，错配单价、数量、速度、时间。 4. 细节规则易错 （1）误认为所有乘除运算必须逐个计算，不懂同级乘除可同步分步计算。 （2）忽略小括号的强制优先级，机械套用先乘除后加减的基础规则。 （3）分步算式转综合算式时，遗漏关键运算步骤，导致列式不完整。 真题拔高 一、填空题 1．计算种植园围栏总长的算式是36×[（22－7）÷5]，计算这道算式时要先算( )法，围栏总长是( )米。 【答案】 减 108 【分析】根据运算规则，算式中既有小括号又有中括号时，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 【详解】36×[（22－7）÷5] ＝36×[15÷5] ＝36×3 ＝108 所以要先算减法，围栏总长是108米。 2．在600÷15－11×3这个算式中添上合适的括号，使算式的运算顺序是“减→乘→除”，添上括号后的算式是( )。 【答案】600÷[（15－11）×3] 【分析】在四则运算中，先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里的。 【详解】原算式为600÷15－11×3，要先算减法“15－11”，需用小括号将其括起来，得到（15－11），接下来算乘法，即减法的结果与“3”相乘，此时需用中括号将“减法的结果×3”括起来，以保证先算乘法。因此，乘法部分为[（15－11）×3]，最后算除法，用600除以乘法的结果，即600÷[（15－11）×3]。 3．算式中，先同时算( )和( )，再算减法，结果是( )。如果要先算减法，再算乘法，最后算除法，应加上括号变成：( )。 【答案】 除法 乘法 0 【分析】由题意得，在算式中，要先算除法和乘法，最后算减法。不改变算式中的运算符号，先算减法，再算乘法，最后算除法，需要在算式的两边加上小括号，在算式的两边加上中括号，即综合算式为：。 【详解】原算式： 算式中，先同时算除法和乘法，再算减法，结果是0。如果要先算减法，再算乘法，最后算除法，应加上括号变成：。 4．根据68－59＝9，9×4＝36，720÷36＝20，列成一个综合算式是( )。 【答案】 【分析】运算顺序为先算减法，再算乘法，最后算除法。减法优先计算所以用小括号，乘法作为除法的除数，需要在除法之前计算，所以用中括号。用68－59替换乘法中的9，得到（68－59）×4，再用（68－59）×4替换除法中的36，得到720÷[（68－59）×4]。 【详解】720÷[（68－59）×4] ＝720÷[9×4] ＝720÷36 ＝20 5．要使300×125－5÷6先算减，再算除，最后算乘，应该怎样添括号？请写出算式( )。 【答案】300×[（125－5）÷6] 【分析】300×125－5÷6该算式按照四则运算的顺序，先算乘除法，后算减法；题目要求先算减法，那么减法部分125－5需要添加小括号，即300×（125－5）÷6；计算完减法之后按从左往右进行计算；题目又要求要先算除法再算乘法，那么除法部分就需要加上中括号，即300×[（125－5）÷6]。 【详解】算式为：300×[（125－5）÷6] 6．一本科技书共116页，芳芳星期一、二、三这3天平均每天看16页，如果她想在这个星期看完，那么后4天平均每天要看( )页。 【答案】17 【分析】根据题意，先用乘法求出前三天一共看的页数，再用减法求出后4天需要看的页数，最后用除法即可求出后4天平均每天看的页数。据此列式解答即可。 【详解】（116－16×3）÷4 ＝（116－48）÷4 ＝68÷4 ＝17（页） 7．对于算式2800÷40＋15×2，要使所得的结果最大，添上括号的算式应为( )。要使所得结果最小，添上括号的算式应为( )。 【答案】 （2800÷40＋15）×2 2800÷[（40＋15）×2] 【分析】原式为2800÷40＋15×2，按正常运算顺序先算除法和乘法，再算加法，结果为70＋30＝100。若要结果最大，应尽量让较大的数参与乘法或除法后不被“稀释”，最优策略是让加法部分整体参与乘法运算，即（2800÷40＋15）×2；若要结果最小，则应让除法的被除数尽可能小或除数尽可能大，最佳方案是2800÷[（40＋15）×2]。 【详解】根据分析可知，对于算式2800÷40＋15×2，要使所得的结果最大，添上括号的算式应为： （2800÷40＋15）×2 ＝（70＋15）×2 ＝85×2 ＝170 要使所得结果最小，添上括号的算式应为： 2800÷[（40＋15）×2] ＝2800÷[55×2] ＝2800÷110 ≈25 8．如果要改变120－72＋48÷24的运算顺序，使算式先算加法，再算减法，最后算除法，那么算式应改为( )。 【答案】 【分析】原式：120－72＋48÷24先算乘除法，再算减法，最后算加法，要想先算加法，再算减法，最后算除法，应先把（72＋48）用小括号括起来，然后把[120－（72＋48）]用中括号括起来。 【详解】[120－（72＋48）]÷24。 9．计算360÷[（12＋6）×5]时，先算( )法，再算( )法，最后算( )法，结果是( )。 【答案】 加 乘 除 4 【分析】一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里的，再算中括号里面的，最后算括号外的，据此解答即可。 【详解】360÷[（12＋6）×5] ＝360÷[18×5] ＝360÷90 ＝4 360÷[（12＋6）×5] 既有小括号，又有中括号，计算时，需先算加法，再算乘法，最后算除法，结果是4。 10．根据80－20＝60，65－60＝5，3000÷5＝600列出综合算式：( )。 【答案】3000÷[65－（80－20）]＝600 【分析】首先观察第三个算式3000÷5＝600，其中的除数5是由第二个算式65－60＝5得来的，因此将5替换为（65－60）；接着发现第二个算式中的减数60是由第一个算式80－20＝60得来的，所以再将60替换为 （80－20）；为了保证先算最里面的减法，再算中括号里的减法，最后算除法，我们需要正确使用括号，最终列出的综合算式为3000÷[65－（80－20）]。 【详解】根据分析可知：列出的综合算式为3000÷[65－（80－20）]＝600。 二、选择题 11．根据研学物资调配流程图列出综合算式，选项（    ）正确。 A．38－（42－17）×25 B．（38－42－17）×25 C．[38－（42－17）]×25 D．38－[（42－17）×25] 【答案】C 【分析】混合运算括号规则，小括号优先，有多层运算需要中括号区分运算顺序，流程图的运算顺序：先算减法，再用减去上面的差为，最后用这个结果乘，需要加中括号保证先算减法再算乘法。 【详解】所以列出综合算式为。 12．按照计算顺序，把下图合并成一道综合算式，正确的是（    ）。 A．（269－138＋84）×21 B．（269－138）＋84×21 C．[269－（138＋84）]×21 D．（269－84）＋138×21 【答案】C 【分析】先计算138＋84的和，然后用269减去138＋84的和，138＋84加上小括号变化为（138＋84），即计算269－（138＋84），再用269－（138＋84）的差乘21，269－（138＋84）加上中括号变化为[269－（138＋84）]，即计算[269－（138＋84）]×21。 【详解】根据分析可知，列式为：[269－（138＋84）]×21，C选项正确。 13．根据，，，写成综合算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四则混合运算的运算顺序，先算乘除后算加减。若要先算加法和减法，必须使用小括号改变运算顺序。理清运算顺序，最后一步计算是乘法，两个乘数分别是前两步算式的结果。为了确保先算加法和减法，需要给它们加上小括号。 【详解】根据分步算式的计算顺序：先算25＋73＝98，再算53－43＝10，最后算两个结果的乘积98×10＝980。 （25＋73）×（53－43） ＝98×10 ＝980 写成综合算式是 （25＋73）×（53－43）。 14．去掉“中括号”，不改变运算顺序的算式是（    ）。 A．38＋[56÷（7×4）] B．56÷[（38＋7）×4] C．[100－（38＋56）]×4 D．3×[（14－2）÷4] 【答案】A 【分析】含有小括号和中括号的算式运算规则：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。同时需结合无括号时的运算顺序（先乘除后加减，同级运算从左往右）进行对比，判断去掉中括号后运算顺序是否发生改变。 【详解】A．原算式，运算顺序是：先算小括号里面的乘法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的加法。去掉中括号后变为38＋56÷（7×4），运算顺序是：先算小括号里面的乘法，再算除法（因为除法优先级高于加法），最后算加法。前后运算顺序没有改变，此选项正确； B．原算式，运算顺序是：先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外面的除法。去掉中括号后变为56÷（38＋7）×4，运算顺序是：先算小括号里面的加法，再算除法，最后算乘法（同级运算从左往右）。前后运算顺序发生改变，此选项错误； C．原算式，运算顺序是：先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的乘法。去掉中括号后变为100－（38＋56）×4，运算顺序是：先算小括号里面的加法，再算乘法（因为乘法优先级高于减法），最后算减法。前后运算顺序发生改变，此选项错误； D．原算式，运算顺序是：先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的乘法。去掉中括号后变为3×（14－2）÷4，运算顺序是：先算小括号里面的减法，再算乘法，最后算除法（同级运算从左往右）。前后运算顺序发生改变，此选项错误。 15．如图，公园要在一个长43m、宽37m的长方形游乐区旁建草坪（涂色部分），草坪的面积是多少平方米？下面列式正确的有（    ）。 ①10×37＋10×43     ②（37＋10）×（43＋10）－43×37     ③（43＋10＋37）×10     ④10×（37＋43）－10×10 A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】长方形面积＝长×宽，可通过计算不同长方形的面积，或把草坪看作一个长为（43＋10＋37）m，宽为10m的长方形从而算出草坪的面积。 【详解】①10×37＋10×43：表示的是将草坪分割成两个长方形，一个长方形长为37m、宽为10m，另一个长方形长为43m、宽为10m，另一个长方形长为43m、宽为10m，然后将它们的面积相加。但是从图中可以看出，这样分割后存在少计算的部分，即边长为10m的正方形区域被计算了两次，所以算式10×37＋10×43错误。 ②（37＋10）×（43＋10）－43×37：先计算出包含草坪和游乐区的大长方形的面积，大长方形的长为（43＋10）m，宽为（37＋ 10）m，根据长方形面积＝长×宽，其面积为（37＋10）×（43＋10）。然后减去游乐区的面积43×37，得到的就是草坪的面积，所以算式（37＋10）×（43＋10）－43×37正确。 ③（43＋10＋37）×10：将草坪看作成一个长为（43＋10＋37）m，宽为10m的长方形，根据长方形面积＝长×宽，可得其面积为（43＋10＋37）×10，所以算式（43＋10＋37）×10正确。 ④10×（37＋43）－10×10：表示的是将草坪看作两个长方形（一个长 37m、宽10m，一个长43m、宽10m）的面积之和，但是少算了一个边长为10m的正方形区域，应该加上10×10，才能得到草坪的面积，所以算式10×（37＋43）－10×10错误。 因此只有②③正确。 三、判断题 16．算式“16×[（500－200）÷5]”的运算顺序是先算减法，再算除法，最后算乘法。( ) 【答案】√ 【分析】根据四则混合运算顺序，带有中括号的加减乘除混合运算，先算小括号内的算式，再计算中括号内的算式，最后计算中括号外的，据此解答即可。 【详解】算式“16×[（500－200）÷5]”的运算顺序是先算减法，再算除法，最后算乘法。原题说法正确。 故答案为：√ 17．计算208÷[（42－38）×13]时，应先算乘法。( ) 【答案】 × 【分析】整数四则混合运算的运算顺序：同级运算，按从左到右的顺序计算；不同级运算时，先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里面的，再算括号外面的；如果有多层括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 【详解】计算208÷[（42－38）×13]时，应 先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算除法。 故答案为：× 18．158×[（27＋54）÷9]的运算顺序是先算加法，再算除法，最后算乘法。( ) 【答案】√ 【分析】在四则混合运算中，有括号要先算括号里面的，再算括号外面的。根据四则运算的规则，158×[（27＋54）÷9]，要先计算小括号内的加法，再计算中括号内的除法，最后进行括号外的乘法。据此解答。 【详解】由分析可知，158×[（27＋54）÷9]，要先算加法，再算除法，最后算乘法。题目说法正确。 故答案为：√ 19．计算时，应先算减法。( ) 【答案】√ 【分析】计算时，应先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算中括号外的除法。据此判断。 【详解】由分析可知，计算时，应先算减法。原题说法正确。 故答案为：√ 20．计算［510－（150＋120）］÷16时，运算顺序是加、减、除。( ) 【答案】√ 【分析】四则运算中，先算乘除法，再算加减法。有括号的情况下，要先算括号里面的，再算括号外面的。 【详解】计算［510－（150＋120）］÷16时，先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算除法。原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 21．脱式计算。 （56＋27）×（86－75）         （158－126）÷4×280 24×［275÷（12＋43）］          49.6－（3.28＋4.81） 【答案】913；2240； 120；41.51 【分析】（1）先算两个小括号里的加法和减法，再算乘法； （2）先算小括号里的减法，再从左到右依次算除法、乘法； （3）先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算乘法； （4）先算小括号里的小数加法，再算小数减法。 【详解】（56＋27）×（86－75） ＝83×11 ＝913 （158－126）÷4×280 ＝32÷4×280 ＝8×280 ＝2240 24×［275÷（12＋43）］ ＝24×［275÷55］ ＝24×5 ＝120 49.6－（3.28＋4.81） ＝49.6－8.09 ＝41.51 五、解答题 22．一辆充满电的自动驾驶扫路机可以持续工作8小时，每小时可清扫1500平方米，请根据图中扫路机的电量，计算这台扫路机还可以清扫多少路面面积。 【答案】8400平方米 【分析】由已知可求出满电的扫路机能清扫的路面总面积为（8×1500）平方米。图中显示扫路机电量均等分成10格，已经用掉3格，还剩7格电量，可以用总面积除以10求出1格电量能清扫路面面积，再乘7求出剩余7个电量可以清扫多少路面面积。 【详解】8×1500÷10×7 ＝12000÷10×7 ＝1200×7 ＝8400（平方米） 答：这台扫路机还可以清扫的路面面积为8400平方米。 23．工程队修一段公路，原计划每天修36米，10天修完；实际提前2天修完，实际每天修多少米？ 【答案】45米 【分析】根据“工作效率工作时间工作总量”，先利用原计划的数据求出公路的总长度，再根据实际提前的天数计算出实际修路的时间，最后用工作总量除以实际工作时间求出实际的工作效率。 【详解】 （米） 答：实际每天修45米。 24．风力发电是将风能转化为“绿色电能”的重要方法，田野里高大的风车就是那些日夜发电的“白色巨人”。人们经常用“千瓦时”（也就是“度”）来计量电量，比“千瓦时”更小的电量单位是“瓦时”，1千瓦时＝1000瓦时。大风车扇叶转动40圈的发电量是84千瓦时，一个家用电饭煲煮一次米饭的用电量约是140瓦时。大风车扇叶转动1圈的发电量，可以用这个电饭煲煮多少次米饭？ 【答案】 15次 【分析】本题考查整数乘除法的实际应用以及电量单位的换算。首先依据题干给出的进率，将大风车发电总量的单位“千瓦时”换算成“瓦时”，使单位与电饭煲用电量一致；其次，用换算后的总电量除以转动圈数，求出转动1圈的发电量；最后，用转动1圈的发电量除以电饭煲煮一次米饭的用电量，即可求出煮米饭的次数。 【详解】（瓦时） （瓦时） （次） 答：大风车扇叶转动1圈的发电量，可以用这个电饭煲煮15次米饭。 25．粮店运来一批粮食，4袋大米和5袋面粉共重600千克，2袋大米和3袋面粉共重340千克，每袋大米重多少千克？ 【答案】50千克 【分析】已知2袋大米和3袋面粉共重340千克，分别乘2，得出4袋大米和6袋面粉共重（340×2）千克；与4袋大米和5袋面粉共重600千克进行比较，发现（6－5）袋面粉重（340×2－600）千克，据此求出每袋面粉的重量； 再用每袋面粉的重量乘3，求出3袋面粉的重量；然后用2袋大米和3袋面粉的总重量减去3袋面粉的重量，求出2袋大米的重量，再除以2，求出每袋大米的重量。 【详解】每袋面粉重： （340×2－600）÷（6－5） ＝（680－600）÷1 ＝80÷1 ＝80（千克） 每袋大米重： （340－80×3）÷2 ＝（340－240）÷2 ＝100÷2 ＝50（千克） 答：每袋大米重50千克。 26．苏绣是苏州地区刺绣产品的总称，为苏州市民间传统艺术。苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，也是国家级非物质文化遗产之一。红缨绣庄要制作560件绣品，已经制作了4天，完成了112件。照这样计算，完成这批绣品还要多少天？ 【答案】 16天 【分析】根据题意先求出剩余未制作的绣品数量，再求出平均每天制作的绣品数量，最后用剩余数量除以每天制作的数量，即可得到还需要的天数。据此进行计算。 【详解】 （天） 答：完成这批绣品还要16天。 27．2025年9月3日大阅兵前，需要为某装备方队准备保障物资。工作人员先采购了12箱饮用水，每箱24瓶；后来根据队员人数，又补购了同样的饮用水8箱。这些饮用水要平均分给方队的4个小组，每个小组能分到多少瓶饮用水？ 【答案】120瓶 【分析】先求出一共采购的总瓶数，然后用总瓶数÷小组数量＝平均每个小组分的瓶数，据此列式解答。 【详解】（12×24＋8×24）÷4 ＝（12＋8）×24÷4 ＝20×24÷4 ＝480÷4 ＝120（瓶） 答：每个小组能分到120瓶饮用水。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 混合运算与数量关系（二）（讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 （1）本单元是苏教版四年级上册数与代数核心进阶单元，承接一步计算、同级混合运算、基础乘法数量关系，是整数四则混合运算体系的完善与拔高。 （2）核心突破两级混合运算、含小括号的混合运算规则，结合两步计算深化拓展总价、路程、工程类延伸数量关系，实现计算规则与解题逻辑的结合。 （3）是小学阶段四则运算规范的定型内容，为高年级小数、分数混合运算，复杂复合应用题、综合列式解题奠定核心基础。 2. 核心学习内容 （1）不含括号的两级四则混合运算的运算顺序与计算规范。 （2）含小括号的两步、三步混合运算的运算顺序与括号作用。 （3）混合运算通用书写格式、递等式计算规范。 （4）两步计算延伸数量关系，结合混合运算解决复合生活问题。 （5）混合运算与数量关系结合的解题思维、正向逆向推理逻辑。 （6）单元高频易错运算规则、列式逻辑、书写规范汇总。 3. 核心数学思想 （1）有序运算思想：建立固定运算优先级，规范四则运算的先后顺序。 （2）建模思想：将复合生活数量问题，转化为标准化混合运算算式模型。 （3）逻辑推理思想：根据已知条件分步推导，结合运算规则完成综合列式。 二、混合运算基础分类与核心定义 1. 四则运算分类 （1）一级运算：加法、减法，属于低级运算。 （2）二级运算：乘法、除法，属于高级运算。 2. 混合运算定义 （1）一道算式中，包含两种及两种以上不同的四则运算，统称为混合运算。 （2）本单元主要研究同级混合运算、两级混合运算、含括号混合运算三类核心形式。 3. 递等式计算核心要求 （1）混合运算必须使用递等式分步计算，禁止直接写得数。 （2）每次只完成一步核心运算，未参与运算的数字和符号原样落写，不能遗漏、篡改。 三、不含括号的混合运算运算规则 1. 同级混合运算规则 （1）判定标准：算式中只含有一级运算（只有加减）或只含有二级运算（只有乘除）。 （2）运算顺序：严格按照从左往右的顺序依次计算。 （3）核心特征：同级运算无优先级差异，顺序由数字排列位置决定。 2. 两级混合运算规则（核心重点） （1）判定标准：算式中同时含有一级运算（加减）和二级运算（乘除）。 （2）通用运算顺序：先算乘除，后算加减。 （3）细分规则 ① 算式中有乘法和加减法，优先计算乘法，再计算加减法。 ② 算式中有除法和加减法，优先计算除法，再计算加减法。 ③ 算式中同时有乘、除、加、减，所有乘除同步优先计算，再统一计算加减。 3. 无括号混合运算简便逻辑 （1）当加减号隔开两组及以上乘除运算时，各部分乘除可同步分步计算，再算中间加减，简化递等式步骤。 （2）同级运算连续排列时，严格从左至右，不可随意调换运算顺序。 四、含小括号的混合运算运算规则 1. 小括号的核心作用 （1）改变算式固有运算优先级，强制优先计算括号内的内容。 （2）用于整合分步运算，实现复杂数量关系的综合列式。 2. 含小括号运算通用顺序 （1）无论括号内是同级运算还是两级运算，先算小括号里面的，再算小括号外面的。 （2）括号内部运算：遵循先乘除、后加减、从左往右的基础规则。 （3）括号外部运算：按照常规两级混合运算顺序依次计算。 3. 小括号使用核心原则 （1）需要改变默认运算顺序时，必须添加小括号。 （2）无需改变顺序的算式，禁止多余添加小括号，保证列式简洁规范。 五、混合运算规范书写知识点 1. 递等式书写标准 （1）每行只进行一步运算，等号上下对齐，格式工整统一。 （2）未参与本次运算的数字、运算符号、括号必须原样抄写，不得省略、更改。 （3）完整算式运算结束后，最终结果写在最后一行递等式末尾。 2. 书写禁忌规范 （1）禁止跳跃步骤计算，禁止一步完成多步混合运算。 （2）禁止漏写符号、漏落数字、颠倒运算顺序。 （3）禁止随意去掉、添加括号，严格贴合运算逻辑书写。 六、混合运算配套延伸数量关系（二） 1. 复合总价数量关系 （1）多品类购物模型：多种商品总价求和、差价求差，适配乘加、乘减混合运算。 （2）核心逻辑：先分别求出各类商品总价，再通过加减求出总花费、差价。 （3）对应运算：单价×数量±单价×数量，优先乘法、后算加减。 2. 复合路程数量关系 （1）分段行程模型：分段行驶、往返行驶、快慢路程对比，适配乘加、乘减混合运算。 （2）核心逻辑：先求出各段行驶路程，再求和得到总路程、求差得到路程差。 （3）对应运算：速度×时间±速度×时间，严格遵循先乘后加减规则。 3. 归一归总延伸数量关系 （1）先归一后综合：先求出单一量，再结合加减、倍数关系求出最终总量。 （2）适配含括号混合运算：需要先加减、后乘除的数量逻辑，必须添加小括号改变运算顺序。 4. 两步复合解题思维 （1）从条件推导：梳理已知数量，分步求出中间未知量，再推导最终问题。 （2）从问题倒推：明确所求问题需要的两个条件，判断条件是否已知，未知条件优先计算。 （3）综合列式原则：根据两步运算逻辑，结合运算规则，合理添加括号列出综合算式。 七、单元核心运算规律总结 1. 无括号运算口诀规律 （1）同级运算，从左到右；两级运算，先乘除后加减。 2. 有括号运算口诀规律 （1）有括号先算括号内，括号内外分顺序，内部遵循基础规则，外部正常运算。 3. 综合列式核心规律 （1）分步计算可转化为综合算式，需要改变默认顺序必加小括号。 （2）所有两步及以上数量问题，均可通过混合运算综合列式求解。 易错指引 1. 运算顺序易错 （1）混淆两级运算顺序，先算加减后算乘除，违背核心规则。 （2）同级运算随意调换顺序，不遵循从左往右的计算规则。 （3）含括号算式，先算外部运算再算括号内，颠倒优先级。 2. 书写格式易错 （1）递等式不等号不对齐、跳跃步骤、漏落数字符号。 （2）综合列式多余加括号、漏加括号，导致运算顺序错误。 3. 数量关系易错 （1）无法区分两步问题的计算先后，综合列式逻辑混乱。 （2）多品类、分段行程问题中，数量对应错误，错配单价、数量、速度、时间。 4. 细节规则易错 （1）误认为所有乘除运算必须逐个计算，不懂同级乘除可同步分步计算。 （2）忽略小括号的强制优先级，机械套用先乘除后加减的基础规则。 （3）分步算式转综合算式时，遗漏关键运算步骤，导致列式不完整。 真题拔高 一、填空题 1．计算种植园围栏总长的算式是36×[（22－7）÷5]，计算这道算式时要先算( )法，围栏总长是( )米。 2．在600÷15－11×3这个算式中添上合适的括号，使算式的运算顺序是“减→乘→除”，添上括号后的算式是( )。 3．算式中，先同时算( )和( )，再算减法，结果是( )。如果要先算减法，再算乘法，最后算除法，应加上括号变成：( )。 4．根据68－59＝9，9×4＝36，720÷36＝20，列成一个综合算式是( )。 5．要使300×125－5÷6先算减，再算除，最后算乘，应该怎样添括号？请写出算式( )。 6．一本科技书共116页，芳芳星期一、二、三这3天平均每天看16页，如果她想在这个星期看完，那么后4天平均每天要看( )页。 7．对于算式2800÷40＋15×2，要使所得的结果最大，添上括号的算式应为( )。要使所得结果最小，添上括号的算式应为( )。 8．如果要改变120－72＋48÷24的运算顺序，使算式先算加法，再算减法，最后算除法，那么算式应改为( )。 9．计算360÷[（12＋6）×5]时，先算( )法，再算( )法，最后算( )法，结果是( )。 10．根据80－20＝60，65－60＝5，3000÷5＝600列出综合算式：( )。 二、选择题 11．根据研学物资调配流程图列出综合算式，选项（    ）正确。 A．38－（42－17）×25 B．（38－42－17）×25 C．[38－（42－17）]×25 D．38－[（42－17）×25] 12．按照计算顺序，把下图合并成一道综合算式，正确的是（    ）。 A．（269－138＋84）×21 B．（269－138）＋84×21 C．[269－（138＋84）]×21 D．（269－84）＋138×21 13．根据，，，写成综合算式是（    ）。 A． B． C． D． 14．去掉“中括号”，不改变运算顺序的算式是（    ）。 A．38＋[56÷（7×4）] B．56÷[（38＋7）×4] C．[100－（38＋56）]×4 D．3×[（14－2）÷4] 15．如图，公园要在一个长43m、宽37m的长方形游乐区旁建草坪（涂色部分），草坪的面积是多少平方米？下面列式正确的有（    ）。 ①10×37＋10×43     ②（37＋10）×（43＋10）－43×37     ③（43＋10＋37）×10     ④10×（37＋43）－10×10 A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 三、判断题 16．算式“16×[（500－200）÷5]”的运算顺序是先算减法，再算除法，最后算乘法。( ) 17．计算208÷[（42－38）×13]时，应先算乘法。( ) 18．158×[（27＋54）÷9]的运算顺序是先算加法，再算除法，最后算乘法。( ) 19．计算时，应先算减法。( ) 20．计算［510－（150＋120）］÷16时，运算顺序是加、减、除。( ) 四、计算题 21．脱式计算。 （56＋27）×（86－75）         （158－126）÷4×280 24×［275÷（12＋43）］          49.6－（3.28＋4.81） 五、解答题 22．一辆充满电的自动驾驶扫路机可以持续工作8小时，每小时可清扫1500平方米，请根据图中扫路机的电量，计算这台扫路机还可以清扫多少路面面积。 23．工程队修一段公路，原计划每天修36米，10天修完；实际提前2天修完，实际每天修多少米？ 24．风力发电是将风能转化为“绿色电能”的重要方法，田野里高大的风车就是那些日夜发电的“白色巨人”。人们经常用“千瓦时”（也就是“度”）来计量电量，比“千瓦时”更小的电量单位是“瓦时”，1千瓦时＝1000瓦时。大风车扇叶转动40圈的发电量是84千瓦时，一个家用电饭煲煮一次米饭的用电量约是140瓦时。大风车扇叶转动1圈的发电量，可以用这个电饭煲煮多少次米饭？ 25．粮店运来一批粮食，4袋大米和5袋面粉共重600千克，2袋大米和3袋面粉共重340千克，每袋大米重多少千克？ 26．苏绣是苏州地区刺绣产品的总称，为苏州市民间传统艺术。苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，也是国家级非物质文化遗产之一。红缨绣庄要制作560件绣品，已经制作了4天，完成了112件。照这样计算，完成这批绣品还要多少天？ 27．2025年9月3日大阅兵前，需要为某装备方队准备保障物资。工作人员先采购了12箱饮用水，每箱24瓶；后来根据队员人数，又补购了同样的饮用水8箱。这些饮用水要平均分给方队的4个小组，每个小组能分到多少瓶饮用水？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $