精品解析：安徽省太和中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二年级期末考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 3. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ） A. 的数据较更集中 B. C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 4. 已知数列的前项和为 ，且，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 6. “City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ） A. 2124种 B. 2148种 C. 2352种 D. 2420种 7. 已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在2026年央视春节联欢晚会上，宇树科技旗下UnitreeG1机器人带来的表演节目《武Bot》凭借精彩表现赢得全国观众广泛赞誉.宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发与生产的中国科技企业，UnitreeG1机器人具备轻量化、高敏捷性与高爆发力等特性.现对该机器人在某地区2025年2月至6月期间的销售量统计数据整理如下表所示： 月份x 2 3 4 5 6 销量y 42 53 66 m 109 用最小二乘法得到UnitreeG1的销售量y（单位：台）关于月份x的经验回归方程为，则（ ） A. B. 经验回归方程经过点 C. 预测机器人UnitreeG1产品9月份的销售约为151台 D. 5月销售量的残差 10. 已知三棱锥的各顶点都在球上，点分别是的中点，平面，，，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 球的体积是 C. 直线与平面所成角的正弦值是 D. 平面被球所截的截面面积是 11. 某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母，该会标的大致轮廓为如图所示的一个以为圆心、为直径的半圆，和一段形折线组成， 其中. 现有两动点在圆弧和线段(包含端点)上运动， 则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的取值范围是 C. 最大值为 2 D. 若，则在上的投影向量模长的取值范围是. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中含的项的系数为______. 13. 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为___________． 14. 甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，记的面积为，且满足. （1）证明：； （2）若，且，求. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 小明玩摸球游戏，袋子里面装有形状和大小相同的红球､白球和绿球若干个，每次都是有放回地摸一个球，若首次摸到的是红球，爸爸就奖励小明2元，并规定：若连续摸到红球，则下次摸到红球的奖励是上次的两倍；若某次摸到其他球，则该次无奖励，且下次奖金重置为2元.已知小明每次摸到红球的概率是，且每次能否摸到红球相互独立. （1）试问至少要摸几次球，才能使摸到红球的概率不小于？ （2）若小明连续摸球3次，记获得的总奖金为元，求. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，，三点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率不存在，求的中心坐标； （3）求证：点不是的中心. 19. 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． （1）若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； （2）在锐角三角形中，求最大值； （3）已知正实数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期末考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据集合的交集定义求出. 【详解】由，可得 ，， 故. 故选：D. 2. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再求． 【详解】， ， ，故B正确． 故选：B． 3. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ） A. 的数据较更集中 B. C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解. 【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确； 对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ， ，正确； 对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确； 对于D，由B知： ，错误； 故选：D. 4. 已知数列的前项和为 ，且，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的关系求出，进而求得，结合数列为递增数列，求出的范围；结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 要使数列为递增数列，则， 即，解得； 若，则一定满足且，数列递增，充分性成立； 若数列递增，则必有，必要性成立； 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 5. 过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形可知，当时取得最小值，然后可解. 【详解】将圆化为， 圆心，半径， 因为，所以点在圆C内， 记圆心C到直线l的距离为d，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：A 6. “City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ） A. 2124种 B. 2148种 C. 2352种 D. 2420种 【答案】C 【解析】 【分析】由间接法，求得恰有3对和4对的情况，即可求解； 【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有：, 有4对相同的字母相邻的排法有：, 8个字母的全排列为：, 所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有：， 故选：C 7. 已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得，再由时，，结合余弦函数性质即可求解. 【详解】因为，所以， 故， 故，即， 因为，所以，故， 当时，， 要想在上有且只有三个最值点， 则要，解得 即的取值范围是， 故选：B. 8. 双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点在准线上得，求出垂足坐标，利用中点条件得坐标，代入抛物线方程化简得，解得. 【详解】设双曲线左焦点，抛物线准线，由在准线上得， 即，过作渐近线的垂线，垂足，垂线方程为， 与渐近线联立，解得，所以， 由知为中点， 故，代入抛物线得， 化简得，设，则方程化为， 解得，由于双曲线离心率，故，所以. 因为，因此. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在2026年央视春节联欢晚会上，宇树科技旗下UnitreeG1机器人带来的表演节目《武Bot》凭借精彩表现赢得全国观众广泛赞誉.宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发与生产的中国科技企业，UnitreeG1机器人具备轻量化、高敏捷性与高爆发力等特性.现对该机器人在某地区2025年2月至6月期间的销售量统计数据整理如下表所示： 月份x 2 3 4 5 6 销量y 42 53 66 m 109 用最小二乘法得到UnitreeG1的销售量y（单位：台）关于月份x的经验回归方程为，则（ ） A. B. 经验回归方程经过点 C. 预测机器人UnitreeG1产品9月份的销售约为151台 D. 5月销售量的残差 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据经验回归方程经过样本中心点可判断A，B；把代入经验回归方程可判断C；根据残差的定义可判断D. 【详解】对于A，因为在经验回归方程上，， ，则，解得，故A正确； 对于B，由数据可知：，，经验回归方程经过点，即经验回归方程过点，故B错误； 对于C，当时，，故预测机器人UnitreeG1产品9月份的销量约为151台，故C正确； 对于D，对于经验回归方程，令，可得，所以5月销售量的残差为，故D正确. 10. 已知三棱锥的各顶点都在球上，点分别是的中点，平面，，，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 球的体积是 C. 直线与平面所成角的正弦值是 D. 平面被球所截的截面面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据勾股定理可以判断，即可判断平面，根据垂直关系可以判断的中点就是三棱锥外接球的球心，即可求得球的体积；根据线面的定义可知即为所求；利用等体积转化，先求圆心到平面的距离，再根据弦心距求截面圆的半径，再求圆的面积. 【详解】对于选项A，因为平面，所以，由，，可得，满足，所以，所以平面，故A正确； 对于选项B，是和的公共斜边，所以中点即三棱锥外接球的球心，所以球的半径为，故球的体积为，故B正确； 对于选项C，因为平面，所以即直线与平面所成的角，所以，故C错误； 对于选项D，设点到平面的距离为，平面被球所截的截面圆的半径为，因为是的中位线，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，故，易求得所以，即，解得，所以，所以截面圆的面积为，故D正确. 故选ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何中垂直关系的应用，球与几何体的组合体的应用，本题的关键是判断平面. 11. 某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母，该会标的大致轮廓为如图所示的一个以为圆心、为直径的半圆，和一段形折线组成， 其中. 现有两动点在圆弧和线段(包含端点)上运动， 则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的取值范围是 C. 最大值为 2 D. 若，则在上的投影向量模长的取值范围是. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用数形结合，以及圆的形式，即可判断；B.建立坐标系，设，，利用坐标法以及三角函数表示，即可求解；C.讨论点的位置，利用坐标法，以及变量的范围，即可求解；D.分点的位置，讨论投影向量的模长. 【详解】A.由图可知，，当点三点共线时，等号成立， 所以的最大值为 ，故A正确； B.如图，建立平面直角坐标系，，，，，，，， 所以，所以， 所以，故B错误； C. 设在线段上时，设， ，, 所以， 所以的最大值为2， 当点在线段上时，所在直线方程为，设， ，， 所以的最大值为2， 综上可知，的最大值为2，故C正确； D. 设在线段上时，，，当点与点重合时，， 此时在上的投影向量模长为0， 当点在线段上时，，， ，，由可知， ，， 在上的投影向量模长为， 设，， 设，所以的值域是， 所以的值域是， 综上可知，在上的投影向量模长的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中含的项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项的系数为. 故答案为： 13. 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数及题目信息证明函数在上单调递增，所求不等式可化为，利用单调性解不等式即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 对于不等式， 整理得，即， 根据函数的单调性及其定义域得， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 14. 甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出随机变量的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函数求出范围. 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，记的面积为，且满足. （1）证明：； （2）若，且，求. 【答案】（1）由，得， 因为，所以，化简得，故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据和三角形面积公式化简证明； （2）根据向量的数量积、余弦定理和三角形面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，因为，所以，化简得， 又因为，所以， 所以，故， 所以的面积. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因，点是的中点，则, 因平面平面，且平面平面, 平面， 故平面， 又平面,故. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，即得； （2）根据（1）的结论，利用题设建系，依次写出各相关点的坐标，求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取中点,连接，由（1）知平面，，可得, 因，故,则可分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 又，，，，则, 于是，, 设平面的一个法向量为，则，故可取， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 小明玩摸球游戏，袋子里面装有形状和大小相同的红球､白球和绿球若干个，每次都是有放回地摸一个球，若首次摸到的是红球，爸爸就奖励小明2元，并规定：若连续摸到红球，则下次摸到红球的奖励是上次的两倍；若某次摸到其他球，则该次无奖励，且下次奖金重置为2元.已知小明每次摸到红球的概率是，且每次能否摸到红球相互独立. （1）试问至少要摸几次球，才能使摸到红球的概率不小于？ （2）若小明连续摸球3次，记获得的总奖金为元，求. 【答案】（1）至少要摸4次球 （2） 【解析】 【分析】（1）根据n次独立重复实验概率公式计算求解即可; （2）应用独立事件发生的概率是概率的乘积计算概率列出分布列求出数学期望即可. 【小问1详解】 设要摸次球，才能使摸到红球的概率不小于. 由题意得， 所以， 所以，即至少要摸4次球，才能使摸到红球的概率不小于. 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为. ， ， ， ，， 所以的分布列为 0 2 4 6 14 . 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，，三点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率不存在，求的中心坐标； （3）求证：点不是的中心. 【答案】（1） （2） （3）由（2）可知，当三条切线，，中有一条直线斜率不存在时，的中心不是点 . 当三条切线，，的斜率都存在时， 设，，，， 设， 则， 整理得， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，，， 假设点 是的中心，则点 到，，的距离相等， ， ，，， ，，中必有两点关于坐标原点对称，此时存在两条切线互相平行，，，不能围成三角形， 原假设不成立，即点 不是的中心. 【解析】 【分析】（1）由条件列出方程求出 即可得解； （2）当其中一条斜率不存在时，写出所在直线方程，求出另外两边所在直线的交点，利用正三角形性质求出外接圆的圆心即可； （3）分类讨论，当其中一条边所在直线斜率不存在时，由（2）分析，当三条边所在直线斜率都存在时，利用反证法证明即可. 【小问1详解】 由题意知解得 则椭圆 的方程为 . 【小问2详解】 不妨先设直线，如图， 为正三角形， 不妨设，分别在 轴的上、下方，则直线的斜率为， 设直线， ，联立， 直线与椭圆 相切， ，解得，即直线过点， 同理可得，直线过点， . 此时，关于 轴对称，的中心在 轴上，坐标为， 同理，当直线为时，由对称性可知，的中心坐标为， 综上，的中心坐标为. 【小问3详解】 略 19. 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． （1）若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； （2）在锐角三角形中，求最大值； （3）已知正实数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得在 上恒成立，利用函数的单调性，求出函数在 上的最小值，即可得答案； （2）令，可得函数在上是下凸函数，由下凸函数的定义求解即可； （3）由题意可得，令，可得在上是下凸函数，结合下凸函数的定义及对数函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立， 所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：令， 则， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； 【小问3详解】 解：因为正实数满足， 所以， 令， 则， 因为，所以 所以， 即 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是从两个角度理解下凸函数的定义及第（3）问中构造函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $