精品解析：河北邯郸市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 50 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于集合，， 所以 3. 若函数的最大值为，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦函数的最值求出的值，由正弦函数的最小正周期求解即可. 【详解】因为的最大值为,所以函数的最大值为，即，解得：， 所以的最小正周期为. 4. 若甲、乙、丙、丁等7个人排成一排照相，甲、乙相邻，且丙、丁也相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 720 D. 960 【答案】B 【解析】 【分析】应用捆绑法及排列数求不同的排法种数. 【详解】将甲乙捆绑为1个整体、丙丁捆绑为1个整体，两个整体内部需要全排列， 所以甲乙内部排法种，丙丁内部排法种， 将2个捆绑整体加上剩余的3个人，一共得到个元素， 再作全排列，共有种， 总排法为种. 5. 若线段的中点为D，，且，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的几何意义及已知可得，即可求. 【详解】已知，移项整理得， 因为是的中点，则，即， 所以，化简得，故. 6. 已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，可得，利用勾股定理求出即可求解. 【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，所以， 则， 所以，解得：， 所以 根据对称性可得直线的斜率为. 7. 设是定义在R上的奇函数，当时，，则的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数性质可得,利用导数研究在上的单调性，结合零点存在定理可判断当时，有两个零点，利用奇函数性质可得当时，也有两个零点即可求解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以, 当时，，则, 令，则，所以在上单调递减， 令，解得：, 由于，， 则 所以令，解得：，令，解得：, 所以在上单调递增，在上单调递减， 且, 由于,,, 所以在上存在唯一零点,且在上存在唯一零点,且 所以的单调减区间为，增区间为 由于，所以在上无零点， 由于，所以在上有唯一零点， 由于,,所以在上有唯一零点， 所以当时，有两个零点， 根据奇函数的性质，可得当时，也有两个零点， 综上，的零点个数为. 8. 某地区记录了今年前5个月公共充电桩的累计充电量（单位：万度），数据如下表： 月份x 1 2 3 4 5 累计充电量y 7 8 17 36 52 根据这5组数据，建立了y关于x的回归模型，根据该回归模型，预测第6个月的累计充电量为（ ）（参考公式及数据：经验回归方程，其中，，） A. 71万度 B. 72万度 C. 73万度 D. 74万度 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式求出y关于x的回归模型，即可求解. 【详解】令，所以，， ， 所以， ， 所以， 当时， 所以根据该回归模型，预测第6个月的累计充电量为74万度. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列判断正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 的充要条件是 C. 若，，则 D. 命题“，”的否定是真命题 【答案】BCD 【解析】 【分析】由对数函数的单调性及充要条件的定义判断A；应用对数的运算性质解方程即可判断B；应用换底公式与对数的运算性质判断C；根据幂函数的单调性判断原命题为假，可得该命题的否定为真判断D. 【详解】对于A，由，得，因在上是增函数，则，  由推不出，故充分性不成立，故A错误； 对于B，由，可得， 又由，得，故，解得，故B正确； 对于C，因，故C正确； 对于D，当时，幂函数是增函数，故， 故原命题是假命题，该命题的否定是真命题，故D正确. 10. 若，则（ ） A. B. C. 函数只有极大值，没有极小值 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法，以及导数与极值关系依次分析选项即可. 【详解】对于A，令，可得，故A错误； 对于B，由于， 所以， 则，所以，故B正确； 对于C，由，则， 令，解得：或 由于， 所以令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则函数只有极大值，没有极小值，故C正确； 对于D，由，两边求导可得 令，可得，故D错误； 11. 在棱长为4的正方体中，点E在棱上，且，P是底面内的动点，则（ ） A. 的最小值是 B. 正方体内切球的表面积为 C. 当时，的最小值为 D. 当取得最小值时，四棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，作关于底面的对称点，连接交平面于点，可得的最小值为，利用勾股定理即可求解；对于B，由正方体内切球的半径为棱长的一半即可求解；对于C，先判断点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆弧，作点在平面的投影，可得的轨迹为以为圆心，半径为的圆弧，利用点与圆的位置关系即可求得的最小值；对于D，利用A项结论求出到平面的距离，结合四棱锥体积公式求解即可. 【详解】对于A，作关于底面的对称点，连接，交平面于点，此时易得,则取得最小值， 由于，,则,故A正确； 对于B，因正方体内切球的半径为正方体边长的一半，即, 所以其表面积为,故B正确； 对于C，连接,因平面,平面,则， 当时，,即点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆在正方形内的圆弧， 设点是点在平面上的投影，则的轨迹为以为圆心，半径为的圆弧， 所以， 由点与圆的位置关系可知，， 当最小时，则最小，即，故C错误； 对于D，由A选项可知，因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，则,即点为的中点， 由于点到平面的距离为，点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为， 则四棱锥的体积为,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 邯郸地处太行腹地，境内名山众多，海拔排名前六的高山如下：青崖寨（1898.7米），黑龙洞山（1789米），茅草圪道（1750米），摩天岭（1747.5米），马武寨（1571米），羊大垴（1562.9米）．这六座高山的海拔数据的第40百分位数对应的山峰是________． 【答案】摩天岭 【解析】 【详解】将6个海拔数据从小到大排列为 1562.9(羊大垴)，1571(马武寨)，1747.5(摩天岭)，1750(茅草圪道)，1789(黑龙洞山)，1898.7(青崖寨)，共个数据， 第40百分位数的位置，即第40百分位数是排序后第3个数据，对应山峰为摩天岭. 13. 对于数列，，若（C为常数），则称是的“C和数列”．已知为等差数列，，，且是的“C和数列”，则________，的前10项和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的通项公式求基本量，进而求得，结合数列新定义求得且，最后应用分组求和、等差数列的前n项和公式求和即可. 【详解】已知是等差数列，，， 设公差为，则，可得， 因此，则， 对任意都有，且 ， 因此， 由，所以的前10项和， 而，则. 14. 已知双曲线的渐近线方程为，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上位于第一象限的动点，设，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线及已知可得，由题设，设，结合三角形内角的性质及三角恒等变换得，且，，即可得. 【详解】双曲线的渐近线为， 已知渐近线为，故，即​， 所以，则，即， 由题设，设，则， 因此， 故，又， 故， 因此， 由几何意义得，， 因此， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，，平面． （1）证明：． （2）若，，求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明结论即可； （2）取的中点D，连接，，由线面垂直的性质和判定，结合线面角的定义知是与平面所成的角，再根据已知求其正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点D，连接，， 因为，所以， 因为平面，平面，所以，, 又，平面，所以平面， 所以是与平面所成的角， 在中,， 在中,，， 所以，则， 故与平面所成角的正切值为. 16. 在中，． （1）求A； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1）或或 （2）3 【解析】 【分析】（1）由三角形内角的性质及三角恒等变换化简条件为，即可求； （2）由已知及正弦定理得，结合及（1）得，应用余弦定理求边长，进而求面积. 【小问1详解】 因为， 所以，则或， 又，所以或或； 【小问2详解】 设，，， 由及正弦定理，得，即， 因为，所以，结合（1）知， 由余弦定理得，解得，， 所以的面积为. 17. 已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H． （1）求C的方程； （2）求直线的斜率及点H的坐标． 【答案】（1） （2）斜率为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据题目条件列出关于，和的方程，求出，，进而可写出椭圆C的方程. （2）先设出点，利用中点坐标公式得出线段的中点，结合点在y轴正半轴上及点M在椭圆C上，列出方程组求出点坐标，根据直线的斜率公式可得出直线的斜率；进而可得出直线的方程，联立椭圆和直线的方程可得出点的坐标. 【小问1详解】 因为椭圆：的离心率为，左顶点为， 所以，解得：， 所以椭圆C的方程为：. 【小问2详解】 设点的坐标为， 因为点， 则线段的中点的坐标为. 因为线段的中点在y轴正半轴上， 所以，解得. 又因为点M在椭圆C上， 所以， 则，即点的坐标为， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. 联立椭圆C和直线的方程，整理得：， 解得：或. 结合题目要求可知点H的横坐标为. 将代入直线的方程可得， 所以点的坐标为 . 18. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）定义集合． （Ⅰ）证明：． （Ⅱ）若，且，，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）集合D为在R上单调递增的函数的集合 令，得， 令，得， 则在R上单调递增，即在R上单调递增． 又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，则在R上单调递增，故． （Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用导数与切线斜率关系求解即可； （2）（Ⅰ）根据题意可得集合D为在R上单调递增的函数的集合，利用导数研究的单调性即可证明结论； （Ⅱ）根据在R上单调递增，求出，根据单调性求出在上的最小值，在上的最小值，将恒成立转化为恒成立，结合导数研究即可求解. 【小问1详解】 由， 得． 又，所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 （Ⅰ）略 （Ⅱ）因为，所以在R上单调递增，所以对恒成立， 则，解得． 又中的，所以． 由在上单调递增，得在上的最小值为， 由在上单调递增，得在上的最小值为， 则，即． 设，则． 令，得，则在上单调递增； 令，得，则在上单调递减． 故对恒成立，当且仅当时，等号成立． 故的取值范围为． 19. 某系统有两个智能体：甲（快速响应型）和乙（精确分析型）．每次任务由当前激活的智能体执行，规则如下：若当前智能体执行成功，则下次任务仍由该智能体执行；若失败，则下次换另一智能体执行．甲、乙每次执行成功的概率分别为0.7，0.6，第一次执行任务的智能体由抽签等可能性地决定．每次执行成功与否相互独立． （1）求第二次执行任务的智能体是乙的概率． （2）求第次执行任务的智能体是甲的概率． （3）定义随机变量Z为前n次任务中，甲成功段的个数，若连续m次成功，则这m次称为一个长度为m的成功段（单次成功视为一个长度为1的成功段），例如，当时，这10次依次为甲成功、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功，第次为一个长度为3的成功段，第次为一个长度为2的成功段，第10次为一个长度为1的成功段，则，求． 附：若随机变量服从两点分布，且，，2，…，n，则． 【答案】（1）0.45 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求解即可； （2）设为第i次执行任务的智能体是甲的概率，可得，利用构造法求出的通项公式； （3）设事件为第k次开始一个甲成功段，设可得，利用求解即可. 【小问1详解】 设事件A为第二次执行任务的智能体是乙， 则． 【小问2详解】 设为第i次执行任务的智能体是甲的概率， 则， 即 则数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即． 【小问3详解】 一个甲成功段的开始需要满足：本次是甲成功，且上一次不是甲成功（若为第1次，则无条件直接开始）． 设事件为第k次开始一个甲成功段，设则， ． 当时，． 又，所以， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 50 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的最大值为，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 4. 若甲、乙、丙、丁等7个人排成一排照相，甲、乙相邻，且丙、丁也相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 720 D. 960 5. 若线段的中点为D，，且，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 6. 已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在R上的奇函数，当时，，则的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 某地区记录了今年前5个月公共充电桩的累计充电量（单位：万度），数据如下表： 月份x 1 2 3 4 5 累计充电量y 7 8 17 36 52 根据这5组数据，建立了y关于x的回归模型，根据该回归模型，预测第6个月的累计充电量为（ ）（参考公式及数据：经验回归方程，其中，，） A. 71万度 B. 72万度 C. 73万度 D. 74万度 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列判断正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 的充要条件是 C. 若，，则 D. 命题“，”的否定是真命题 10. 若，则（ ） A. B. C. 函数只有极大值，没有极小值 D. 11. 在棱长为4的正方体中，点E在棱上，且，P是底面内的动点，则（ ） A. 的最小值是 B. 正方体内切球的表面积为 C. 当时，的最小值为 D. 当取得最小值时，四棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 邯郸地处太行腹地，境内名山众多，海拔排名前六的高山如下：青崖寨（1898.7米），黑龙洞山（1789米），茅草圪道（1750米），摩天岭（1747.5米），马武寨（1571米），羊大垴（1562.9米）．这六座高山的海拔数据的第40百分位数对应的山峰是________． 13. 对于数列，，若（C为常数），则称是的“C和数列”．已知为等差数列，，，且是的“C和数列”，则________，的前10项和为________． 14. 已知双曲线的渐近线方程为，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上位于第一象限的动点，设，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，，平面． （1）证明：． （2）若，，求与平面所成角的正切值． 16. 在中，． （1）求A； （2）若，且，求的面积． 17. 已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H． （1）求C的方程； （2）求直线的斜率及点H的坐标． 18. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）定义集合． （Ⅰ）证明：． （Ⅱ）若，且，，，求a的取值范围． 19. 某系统有两个智能体：甲（快速响应型）和乙（精确分析型）．每次任务由当前激活的智能体执行，规则如下：若当前智能体执行成功，则下次任务仍由该智能体执行；若失败，则下次换另一智能体执行．甲、乙每次执行成功的概率分别为0.7，0.6，第一次执行任务的智能体由抽签等可能性地决定．每次执行成功与否相互独立． （1）求第二次执行任务的智能体是乙的概率． （2）求第次执行任务的智能体是甲的概率． （3）定义随机变量Z为前n次任务中，甲成功段的个数，若连续m次成功，则这m次称为一个长度为m的成功段（单次成功视为一个长度为1的成功段），例如，当时，这10次依次为甲成功、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功，第次为一个长度为3的成功段，第次为一个长度为2的成功段，第10次为一个长度为1的成功段，则，求． 附：若随机变量服从两点分布，且，，2，…，n，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $