黑龙江省绥化市第七中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 以哈尔滨索菲亚教堂高度估算、中国大模型用户年龄分布等现实情境为载体，考查数学建模与数据分析能力，体现数学应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数共轭、向量共线、解三角形|第6题结合实际测量情境，考查解三角形应用| |多选题|4/20|正方体几何性质、三角形形状判断|第12题结合考试成绩数据，考查统计量计算| |填空题|4/20|向量垂直、三角形外接圆、复数模|第15题将复数几何意义与距离最小值结合| |解答题|5/70|向量运算、频率分布直方图、解三角形综合|第18题结合大模型用户年龄调查，考查数据分析|

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 黑龙江省绥化市第七中学2025-2026学年度下学期期末试卷 高一数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数的共轭复数为(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 3.已知中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的值为(    ) A. B. C. 或 D. 4.在正方体中，异面直线与所成的角为(    ) A. B. C. D. 5.已知圆锥高为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为(    ) A. B. C. D. 6.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点，，三点共线处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为(    ) A. B. C. D. 7.已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线，互相垂直且的面积为，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为(    ) A. B. C. D. 8.若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，已知正方体的棱长为，则下列四个结论正确的是(    ) A. B. 平面 C. 正方体的外接球的表面积为 D. 三棱锥的体积为 10.已知的内角的对边分别为，则如下判断正确的是(    ) A. 若，则是锐角三角形 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若的面积，则 11.在中，角，，对边分别是，，，且，则下列说法正确的有(    ) A. B. 若，则是等边三角形 C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围是 12.某同学最近次考试的数学成绩为，，，，，则(    ) A. 成绩的第百分位数为 B. 成绩的极差为 C. 成绩的平均数为 D. 若增加一个成绩，则成绩的方差变小 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知向量，且，则          ． 14.在中，，则外接圆的半径为          ． 15.已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是      ． 16.在中，三边长分别为，，，最大角的正弦值为，则        ． 四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知平面向量，满足：，，． 求； 当时，求实数的值． 18.本小题分 中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段为了解中国大模型用户的年龄分布，公司调查了名中国大模型用户，统计他们的年龄都在内，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． 求的值； 估计这名中国大模型用户年龄的平均数各组数据以该组区间的中点值作代表； 求这名中国大模型用户的年龄在内的人数． 19.本小题4分 已知的内角，，所对的边分别为，，，且 求角的大小； 点在边上，且，，求的周长． 20.本小题分 记斜的内角，，的对边分别为，，，已知，且． 求角； 为边的中点，若，求的面积； 如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 21.本小题分 某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间以下简称为购票用时，单位为，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图如图所示，解答下列问题： 分组 频数 频率 合计 分别求出表中缺失的数据，，；并将频率分布直方图补充完整； 用每一组的两个端点的平均值来代替这一组的数据，求这个车站每位旅客购票平均所用的时间． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】共轭复数的概念． 【详解】复数的共轭复数为． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】由坐标形式的共线定理即可求解． 【详解】由题得． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】由正弦定理可得：． 因为， 所以． 又因为， 所以或． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】在正方体中，由，根据异面直线所成角的定义，的大小即可所求，然后根据正方体的几何特征求解． 【详解】如图所示： 在正方体中，， 所以是异面直线与所成的角， 因为， 所以异面直线与所成的角为． 故选： 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题． 5.【答案】  【解析】【分析】根据题目条件求出圆锥的母线长和底面半径，进而根据圆锥表面积公式求出圆锥的表面积． 【详解】因为圆锥的高为，母线与底面成角为， 所以母线长为圆锥底面半径为． 所以圆锥的表面积为． 故选：． 6.【答案】  【解析】【详解】根据题意，结合在中，求得，再在中，由正弦定理，求得的长，最后在直角中，结合，即可求解． 【分析】由， 由题意知，所以， 在中，可得， 在中，由正弦定理得， 所以， 在直角中， 故选：． 7.【答案】  【解析】解：取的中点，连接，， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，， 所以为等腰直角三角形， ，则，， ， 因为平面，则为直线与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故， 即二面角的大小为． 故选：． 根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，判断角的大小． 本题考查二面角的计算，属于中档题． 8.【答案】  【解析】解：由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同， 所以设内切球的半径为， 如图所示： 设内切球的半径为， 即，故AD， 所以外接球的半径， 所以． 故选：． 首先利用三棱柱的外接球和内切球的关系求出半径的比值． 本题考查的知识要点：三棱柱的外接球和内切球的关系，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属基础题． 9.【答案】  【解析】解：对选项A，连接，因为平面，且平面，则， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 对选项B，因为， 所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对选项C，正方体外接球半径， 所以球体表面积，故C正确； 对选项D，，故D错误． 故选ABC． 10.【答案】  【解析】【分析】根据正弦定理结合余弦定理判断，根据角的范围计算判断三角形形状判断，应用正弦单调性判断，应用面积公式结合余弦定理结合角的范围判断． 【详解】对于：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，A错误； 对于：由得：或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，又，所以，又因为在单调递增，所以，C正确； 选项，因为面积，即，所以， 即，因为，所以，故D正确， 故选：． 11.【答案】  【解析】解：由，得， 整理得， 由正弦定理得， 选项A，由余弦定理得， 因为，所以，故选项A错误； 选项B，若，则， 由正弦定理知，， 所以，即， 又，所以是等边三角形，故选项B正确； 选项C，因为的面积为， 所以，即， 由正弦定理得，，其中为外接圆半径， 所以， 由积化和差公式知，，当且仅当时取等号， 所以，故选项C错误； 选项D，由正弦定理得，， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，， 所以，故选项D正确． 故选：． 结合同角三角函数平方关系与正弦定理化简已知等式可得，选项A，利用余弦定理，即可作出判断；选项B，结合已知条件、正弦定理，并利用两角差的正弦公式，可得，再由，即可作出判断；选项C，结合正弦定理与积化和差公式，求解即可；选项D，由正弦定理化边为角，并结合两角差的正弦公式与同角三角函数关系，推出，再根据是锐角三角形，求得的取值范围，即可得解． 本题考查解三角形与三角函数的综合应用，熟练掌握正余弦定理，三角恒等变换公式，三角函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：将数据按照从小到大的顺序排列依次为：，，，，，， 对于，，故百分位数可取第个数据，即，选项错误； 对于，极差为：，选项正确； 对于，，选项正确； 对于，设原数据的方差为，新数据的方差为，由于新增加的一个数据与原始数据的平均数相等， 所以，所以，选项正确． 故选：． 利用百分位数、极差、平均数、方差的定义可以判断每个选项． 本题考查样本的百分位数、极差、平均数、方差的定义，属于基础题． 13.【答案】  【解析】【详解】由题意可得解得． 【名师点睛】向量平行：，，． 向量垂直：． 向量的运算：． 14.【答案】  【解析】【分析】正弦定理的直接求解． 【详解】因为，可得， 由正弦定理得外接圆的半径． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：设，，在复平面内对应的点分别为，，， 因，，且复数对应的点的轨迹为线段，如图所示． 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值，故的最小值是． 故答案为：． 首先确定复数对应点的轨迹，然后根据点到直线的距离求出最小值． 本题主要考查复数的几何意义，属于基础题． 16.【答案】  【解析】解：因为， 所以的最大内角是边长的边所对应的角， 因为最大角的正弦值为，对于非等边三角形，最大角大于， 所以最大角的余弦为， 由余弦定理得， 又，解得． 故答案为：． 由条件结合余弦定理列方程求即可． 本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题． 17.【答案】解：因为，，，则， 又因为，所以． 因为，则， 可得， 即，解得．   【解析】根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解； 根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解． 18.【答案】．   ．   ．  【解析】由频率分布直方图得： ， 解得． 由频率分布直方图得： ， 估计这名中国大模型用户年龄的平均数各组数据以该组区间的中点值作代表为岁； 由频率分布直方图可知中国大模型用户的年龄在内的频率为： ， 则这名中国大模型用户的年龄在内的人数为． 根据频率之和为得到方程，求出答案； 利用平均数计算公式和频率分布直方图进行求解； 求出年龄在内的频率，进而求出人数． 本题考查频率分布直方图、平均数、频率、频数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19.【答案】；  ．  【解析】由射影定理得，所以， 所以，所以； 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 根据射影定理即可求解． 根据余弦定理即可求解． 本题考查了余弦定理，属于中档题 20.【答案】；  ；   ．  【解析】由， 结合余弦定理，得， 由三角形为斜，可得， 可得，即， ，，即，． 为边的中点，得， 可得， 即， 由，得， 由可知，即，， 由余弦定理得，解得， 的面积为； ， 在中，由正弦定理可得，，即， 在中，由正弦定理可得，，即， 四边形的内角和为，且，， 在中，由余弦定理可得， ， 即， ， ， 在中，，， ，故的取值范围为． 利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值； 通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案； 先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围． 本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式、三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 21.【答案】，，，频率分布直方图答案见解析；   分钟．  【解析】，，， 第一组和第二组的频率相同，由此补全频率分布直方图如下图所示： 每位旅客购票平均所用的时间为分钟． 根据频率、频数求得，，，根据频率分布直方图的知识补全频率分布直方图； 根据由频率分布直方图求平均数的方法求得平均数． 本题考查了频率分布直方图的性质，属于中档题． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $