奥数培优专题13 植树问题基础模型（讲义）2026-2027学年三年级上册数学（人教版）

专题十二 植树问题基础模型 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：两端都栽的植树问题 3 考点二：一端栽一端不栽 4 考点三：两端都不栽 6 考点四：封闭图形植树 7 考点五：植树问题变形应用 9 第三部分 易错避坑指南 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、基础夯实篇（8题） 12 二、能力进阶篇（7题） 12 三、思维跃迁篇（5题） 14 第五部分 精准解析 15 一、基础夯实篇解析 15 二、能力进阶篇解析 16 三、思维跃迁篇解析 18 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版三年级上册第七单元的奥数培优内容，核心是"植树问题三大基础模型"，依托两端都栽、一端栽一端不栽、两端都不栽、封闭图形植树、变形应用五大考点，系统梳理棵数与间隔数的关系，以及锯木头、爬楼梯、敲钟等变形题的解法。 类型 棵数与间隔数关系 公式 常见场景 两端都栽 棵数 = 间隔数 + 1 棵数 = 总长÷间距 + 1 马路两边栽树、插彩旗 一端栽一端不栽 棵数 = 间隔数 棵数 = 总长÷间距 一端有墙/有建筑物 两端都不栽 棵数 = 间隔数 - 1 棵数 = 总长÷间距 - 1 两栋楼之间种树 封闭图形 棵数 = 间隔数 棵数 = 周长÷间距 圆形、正方形池塘周围 变形应用 段数对应间隔数 具体分析段数关系 锯木头、爬楼梯、敲钟 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 画图分析法 所有植树问题 画线段图标端点→数间隔数→确定类型→套公式 先画图，再判断，加减一要看两端 公式法 标准直线植树 确定类型→求间隔数→按公式算棵数 两端都栽加1，两端不栽减1 封闭转化法 圆形、方形植树 拉直成直线→一端栽一端不栽→棵数=间隔数 封闭图形，棵数等于间隔数 对应转化法 锯木头、爬楼梯 找到对应关系：次数=段数-1，层数=楼数-1 锯木头次数比段数少1 逆推法 已知棵数求总长 先求间隔数→间隔数×间距=总长 加1减1反过来用 三、奥数思维提升 1. 对应思想：棵数和间隔数的对应 核心要点：植树问题的本质是点和段的关系。树是"点"，间隔是"段"。两端都有点，点就比段多1；两端都没有点，点就比段少1；一端有点一端没有，点和段相等。 示例：5棵树排成一排（两端都有），中间只有4个间隔。棵数=间隔数+1，5=4+1。 2. 转化思想：变形题转标准植树 核心要点：锯木头、爬楼梯、敲钟这些题，看起来不是植树，但本质一样。锯的次数对应棵数（两端不栽型），楼层对应棵数（两端都栽型）。找到对应关系就能用植树公式。 示例：锯木头锯成5段，只需要锯4次。次数=段数-1，就像两端不栽的植树：棵数=间隔数-1。 3. 分类思想：三种情况分清 核心要点：直线植树分三种：两端都栽、一端栽一端不栽、两端都不栽。棵数分别是间隔数+1、=、-1。做题先判断是哪种类型，再套对应公式。 示例：马路两边种树，两端都种，用+1；两栋楼之间种树，两端不种，用-1；圆形池塘种树，封闭的，等于间隔数。 4. 数形结合思想：画图帮助理解 核心要点：植树问题画图最清楚。画一条线段，端点标树，中间分段。一看就知道有几棵树几个间隔，不容易搞混加1还是减1。 示例：20米长每隔5米种树，两端都栽。画图：|___|___|___|___|，有5个点4段，5棵树。20÷5+1=5棵。 5. 逆向思想：已知结果反推条件 核心要点：不仅要会正着想（总长求棵数），还要会倒着想（棵数求总长）。正的加1，倒着就减1；正的减1，倒着就加1。方向反过来运算也反过来。 示例：种了10棵树（两端都栽），每两棵隔3米，路有多长？间隔数=10-1=9，总长=9×3=27米。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：两端都栽的植树问题 典型例题 1（基础型）—— 马路一边种树 题目：一条马路长30米，在一边每隔5米栽一棵树（两端都栽）。一共要栽多少棵树？ 解题步骤： ① 先算间隔数：30 ÷ 5 = 6个间隔； ② 两端都栽，棵数 = 间隔数 + 1； ③ 棵数 = 6 + 1 = 7棵； ④ 画图验证：|___|___|___|___|___|___|，7个点6段，正确。 【答案】一共要栽7棵树 【知识点睛】两端都栽：棵数=总长÷间距+1。加1是因为两端各有一棵。 典型例题 2（提高型）—— 两边都种 题目：一条长48米的走廊，在两边每隔6米放一盆花（两端都放）。一共要放多少盆花？ 解题步骤： ① 一边的间隔数：48 ÷ 6 = 8个； ② 一边的盆数 = 8 + 1 = 9盆； ③ 两边都放：9 × 2 = 18盆； ④ 答：一共要放18盆花。 【答案】一共要放18盆花 【知识点睛】两边都种的题，先算一边再乘2。注意审题是一边还是两边。 典型例题 3（奥数型）—— 逆推求总长 题目：马路一边等距离地立了13根电线杆（两端都有），相邻两根相距20米。这条马路长多少米？ 解题步骤： ① 两端都有，间隔数 = 根数 - 1； ② 间隔数 = 13 - 1 = 12个； ③ 总长 = 间隔数 × 间距 = 12 × 20 = 240米； ④ 答：这条马路长240米。 【答案】马路长240米 【知识点睛】逆推：已知棵数求总长，先求间隔数（棵数-1），再乘间距。 考点二：一端栽一端不栽 典型例题 1（基础型）—— 一端有建筑物 题目：一条小路长24米，一端是房子不种树，另一端和中间每隔4米种一棵树。一共要种多少棵树？ 解题步骤： ① 间隔数：24 ÷ 4 = 6个； ② 一端栽一端不栽，棵数 = 间隔数； ③ 棵数 = 6棵； ④ 验证：从房子那头开始，4米处第1棵，……24米处第6棵，正好。 【答案】一共要种6棵树 【知识点睛】一端栽一端不栽：棵数=间隔数。有几个间隔就有几棵树。 典型例题 2（提高型）—— 插彩旗 题目：跑道长100米，从起点开始每隔10米插一面彩旗，终点不插。一共插多少面彩旗？ 解题步骤： ① 起点插终点不插，属于一端栽一端不栽； ② 间隔数 = 100 ÷ 10 = 10个； ③ 彩旗数 = 间隔数 = 10面； ④ 验证：10米、20米……100米处？100米是终点不插，到90米是第9面？不对； ⑤ 0米起点第1面，10米第2面……90米第10面，正好10面，正确。 【答案】一共插10面彩旗 【知识点睛】起点算终点不算=一端栽一端不栽，棵数=间隔数。 典型例题 3（奥数型）—— 判断类型 题目：在一条长36米的绳子上挂灯笼，从开头挂起，每隔3米挂一个，挂到结尾之前停下（最后一个离结尾3米）。一共挂了多少个灯笼？ 解题步骤： ① 开头挂，结尾不挂（最后离结尾3米），一端栽一端不栽； ② 间隔数 = 36 ÷ 3 = 12个； ③ 灯笼数 = 间隔数 = 12个； ④ 验证：最后一个在36-3=33米处，33÷3+1=12个，正确。 【答案】一共挂了12个灯笼 【知识点睛】判断类型是关键。起点有终点没有就是一端栽一端不栽型。 考点三：两端都不栽 典型例题 1（基础型）—— 两楼之间种树 题目：两栋楼之间相距20米，要在中间种树，两端挨着楼不种，每隔4米种一棵。一共种多少棵树？ 解题步骤： ① 间隔数：20 ÷ 4 = 5个； ② 两端都不栽，棵数 = 间隔数 - 1； ③ 棵数 = 5 - 1 = 4棵； ④ 画图：楼___|___|___|___楼，4棵树5个间隔，正确。 【答案】一共种4棵树 【知识点睛】两端都不栽：棵数=间隔数-1。两端都没有，比间隔少1。 典型例题 2（提高型）—— 走廊放花盆 题目：走廊长32米，两头是门不放花盆，中间每隔2米放一盆。一共放多少盆？ 解题步骤： ① 间隔数 = 32 ÷ 2 = 16个； ② 两端不放，盆数 = 16 - 1 = 15盆； ③ 答：一共放15盆。 【答案】一共放15盆 【知识点睛】两头不放=两端不栽，棵数=间隔数-1。 典型例题 3（奥数型）—— 逆推求间距 题目：两座牌坊之间等距离地立了9根柱子（两端牌坊不算），两座牌坊相距100米。相邻两根柱子相距多少米？ 解题步骤： ① 两端牌坊不算，9根柱子=两端都不栽型； ② 间隔数 = 棵数 + 1 = 9 + 1 = 10个； ③ 间距 = 总长 ÷ 间隔数 = 100 ÷ 10 = 10米； ④ 答：相邻两根柱子相距10米。 【答案】相距10米 【知识点睛】逆推两端不栽：间隔数=棵数+1。减1反过来就是加1。 考点四：封闭图形植树 典型例题 1（基础型）—— 圆形池塘 题目：一个圆形池塘周长40米，沿池塘边每隔5米种一棵树。一共要种多少棵树？ 解题步骤： ① 封闭图形，棵数 = 间隔数； ② 间隔数 = 40 ÷ 5 = 8个； ③ 棵数 = 8棵； ④ 想象把圆拉直成线段，就是一端栽一端不栽，棵数=间隔数。 【答案】一共要种8棵树 【知识点睛】封闭图形（圆、正方形等）：棵数=周长÷间距=间隔数。首尾重合了，相当于一端不栽。 典型例题 2（提高型）—— 正方形花坛 题目：正方形花坛边长12米，沿四边每隔3米摆一盆花（四个角都摆）。一共要摆多少盆花？ 解题步骤： ① 方法一：周长 = 12 × 4 = 48米； ② 封闭图形，盆数 = 48 ÷ 3 = 16盆； ③ 方法二：每边12÷3+1=5盆，四边5×4=20盆； ④ 但四个角各重复算了一次，减去4：20-4=16盆； ⑤ 两种方法结果一样。 【答案】一共要摆16盆花 【知识点睛】正方形封闭植树，可以用周长÷间距直接算。也可以算每边再减重复的角。 典型例题 3（奥数型）—— 方阵最外层 题目：一个正方形方阵最外层每边有10个人。最外层一共有多少人？ 解题步骤： ① 方法一：封闭图形，每边10人四边10×4=40； ② 四个角各重复算1次，减4：40-4=36人； ③ 方法二：每边去掉1个角，每边9人，4×9=36人； ④ 方法三：(每边人数-1)×4 = (10-1)×4 = 36人； ⑤ 答：最外层一共36人。 【答案】最外层36人 【知识点睛】方阵最外层人数=(每边人数-1)×4。四个角的人同时属于两条边，要注意去重。 考点五：植树问题变形应用 典型例题 1（基础型）—— 锯木头 题目：把一根木头锯成5段，每锯一次要3分钟。一共要锯多少分钟？ 解题步骤： ① 锯成5段，需要锯几次？ ② 次数 = 段数 - 1 = 5 - 1 = 4次； ③ 总时间 = 4 × 3 = 12分钟； ④ 答：一共要锯12分钟。 【答案】一共要12分钟 【知识点睛】锯木头：次数=段数-1。对应两端不栽的植树模型。 典型例题 2（提高型）—— 爬楼梯 题目：小明从1楼爬到3楼用了20秒。照这样的速度，从1楼爬到6楼要用多少秒？ 解题步骤： ① 1楼到3楼，爬了几层？3-1=2层； ② 爬2层用20秒，爬1层用：20 ÷ 2 = 10秒； ③ 1楼到6楼要爬：6-1=5层； ④ 总时间 = 5 × 10 = 50秒； ⑤ 答：要用50秒。 【答案】要用50秒 【知识点睛】爬楼梯：层数=终点楼-起点楼。1楼不用爬，所以楼数差=层数。对应两端都栽：楼数=层数+1。 典型例题 3（奥数型）—— 敲钟问题 题目：时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完。5点钟敲5下，几秒钟敲完？ 解题步骤： ① 敲3下，中间有几个间隔？3-1=2个间隔； ② 2个间隔6秒，每个间隔：6 ÷ 2 = 3秒； ③ 敲5下，间隔数 = 5-1 = 4个； ④ 总时间 = 4 × 3 = 12秒； ⑤ 答：12秒钟敲完。 【答案】12秒钟敲完 【知识点睛】敲钟：时间花在间隔上，间隔数=次数-1。对应两端都栽的植树模型。 第三部分 易错避坑指南 易错点：忘记加1或减1，直接总长÷间距 错误示例：两端都栽也直接用总长÷间距（少算了端点那棵） 正确分析：直线植树要看两端有没有树。两端都有要加1，两端都没有要减1。不能直接用总长除以间距就完事了。 修正方法：做题先判断类型：两端都栽+1，一端栽不加不减，两端不栽-1。判断清楚再计算。 易错点：锯木头次数等于段数 错误示例：锯成5段要锯5次（实际只要4次） 正确分析：锯一次变两段，锯两次变三段……次数总是比段数少1。不是几段就锯几次。 修正方法：锯木头：次数=段数-1。记住：第一次锯完才变成2段，所以次数少1。 易错点：爬楼梯楼数直接算 错误示例：从1楼到3楼爬了3层（实际爬了2层） 正确分析：1楼就是起点，不用爬。从1楼到n楼，只爬了n-1层。1楼不算层数。 修正方法：爬楼梯层数=终点-起点。1楼到几楼就减1。楼层数相当于棵数，层数相当于间隔数。 易错点：封闭图形也加1 错误示例：圆形周长40米每隔5米种树，40÷5+1=9棵（错） 正确分析：封闭图形首尾重合，第一棵和最后一棵是同一个位置，所以棵数等于间隔数，不用加1。 修正方法：圆形、正方形等封闭图形：棵数=间隔数。拉直了就是一端栽一端不栽。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 一条路长45米，每隔5米栽一棵树（两端都栽），一边要栽多少棵？ 2. 两栋楼相距24米，中间每隔3米种一棵树（两端不种），要种多少棵？ 3. 圆形花圃周长36米，每隔4米插一面旗，一共插多少面？ 4. 一根木头锯成4段，每锯一次2分钟，一共要几分钟？ 5. 小明从1楼到4楼用了30秒，爬一层要几秒？ 6. 正方形操场边长20米，沿四周每隔4米站一个人，一共站多少人？ 7. 走廊长28米，每隔4米放一盆花（一端放一端不放），放多少盆？ 8. 时钟2点敲2下2秒敲完，4点敲4下几秒敲完？ 二、能力进阶篇（7题） 9. 一条马路长60米，在两边每隔5米种一棵树（两端都种），一共种多少棵？ 10. 把一根钢管锯成小段，一共花了20分钟。每锯开一段要4分钟，这根钢管被锯成了几段？ 11. 一个圆形养鱼池周长64米，每隔8米种一棵柳树，每两棵柳树中间种2棵桃树。一共种多少棵桃树？ 12. 小红家住6楼，她从1楼到3楼用了24秒。照这样计算，她从1楼到家还要多少秒？ 13. 在一条长100米的跑道两边，从起点到终点每隔10米插一面彩旗，一共要插多少面？ 14. 正方形池塘边长15米，沿四边每隔3米种一棵树（四个角都种），一共种多少棵？ 15. 一根木料锯成3段要6分钟，锯成6段要多少分钟？ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 有一条路，两边各有18根电线杆（两端都有），相邻两根相距30米。这条路有多长？ 17. 甲爬楼梯的速度是乙的2倍。乙从1楼爬到4楼用了6分钟，甲从1楼爬到10楼要几分钟？ 18. 一个圆形花坛周长60米，沿圆周每隔5米放一盆月季花，每两盆月季花中间放2盆菊花。一共有多少盆花？ 19. 有一根长18米的木条，要锯成3米长的小段。每锯断一次要5分钟，锯完一段休息2分钟。全部锯完要多少分钟？ 20. 学校开运动会，在正方形操场四周插彩旗，四个角都插，每边插12面。一共要准备多少面彩旗？如果每两面彩旗之间放2盆花，一共放多少盆花？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】10棵 解题步骤： ① 间隔数=45÷5=9； ② 两端都栽：9+1=10棵。 【知识点睛】两端都栽：棵数=间隔数+1。 2. 【答案】7棵 解题步骤： ① 间隔数=24÷3=8； ② 两端不栽：8-1=7棵。 【知识点睛】两端不栽：棵数=间隔数-1。 3. 【答案】9面 解题步骤： ① 封闭图形：36÷4=9面。 【知识点睛】封闭图形棵数=间隔数。 4. 【答案】6分钟 解题步骤： ① 锯成4段要锯3次； ② 3×2=6分钟。 【知识点睛】次数=段数-1。 5. 【答案】10秒 解题步骤： ① 1到4楼爬3层； ② 30÷3=10秒。 【知识点睛】层数=终点楼-起点楼。 6. 【答案】20人 解题步骤： ① 周长=20×4=80米； ② 80÷4=20人。 【知识点睛】正方形封闭，周长÷间距=人数。 7. 【答案】7盆 解题步骤： ① 一端放一端不放，盆数=间隔数； ② 28÷4=7盆。 【知识点睛】一端栽一端不栽：棵数=间隔数。 8. 【答案】6秒 解题步骤： ① 敲2下1个间隔2秒，每个间隔2秒； ② 敲4下3个间隔，3×2=6秒。 【知识点睛】敲钟间隔数=次数-1。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】26棵 解题步骤： ① 一边：60÷5+1=13棵； ② 两边：13×2=26棵。 【知识点睛】两边都种，先算一边再乘2。 10. 【答案】6段 解题步骤： ① 锯了20÷4=5次； ② 段数=次数+1=6段。 【知识点睛】逆推：段数=次数+1。 11. 【答案】16棵桃树 解题步骤： ① 柳树：64÷8=8棵； ② 8棵柳树有8个间隔； ③ 每个间隔2棵桃树：8×2=16棵。 【知识点睛】封闭图形间隔数=棵数。每两柳树中间种桃树，就是每个间隔种。 12. 【答案】36秒 解题步骤： ① 1到3楼爬2层，24秒，每层12秒； ② 3楼到6楼还要爬3层； ③ 3×12=36秒。 【知识点睛】注意问的是"还要"，从3楼开始算。 13. 【答案】22面 解题步骤： ① 一边：100÷10+1=11面； ② 两边：11×2=22面。 【知识点睛】从起点到终点=两端都有。 14. 【答案】20棵 解题步骤： ① 周长=15×4=60米； ② 60÷3=20棵。 【知识点睛】封闭图形直接周长÷间距。 15. 【答案】15分钟 解题步骤： ① 锯3段要2次，6分钟，每次3分钟； ② 锯6段要5次； ③ 5×3=15分钟。 【知识点睛】先求每次时间，再算总时间。次数=段数-1。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】510米 解题步骤： ① 一边18根，间隔数=18-1=17； ② 17×30=510米。 【知识点睛】两端都有，间隔数=根数-1。 17. 【答案】9分钟 解题步骤： ① 乙：1到4楼爬3层6分钟，每层2分钟； ② 甲速度是乙2倍，甲每层1分钟； ③ 甲1到10楼爬9层，9×1=9分钟。 【知识点睛】速度倍数关系，先求各自爬一层时间。 18. 【答案】36盆 解题步骤： ① 月季：60÷5=12盆，12个间隔； ② 菊花：12×2=24盆； ③ 一共：12+24=36盆。 【知识点睛】封闭图形，间隔数=月季数。两种花加起来。 19. 【答案】40分钟 解题步骤： ① 18÷3=6段，要锯5次； ② 锯5次时间：5×5=25分钟； ③ 休息：锯完5次，中间休息4次（最后一次锯完不用休息）； ④ 休息时间：4×2=8分钟； ⑤ 总共：25+8=33分钟。 【知识点睛】锯n次休息n-1次，最后一次锯完就结束了。 20. 【答案】44面彩旗，88盆花 解题步骤： ① 彩旗：(12-1)×4=44面； ② 间隔数=彩旗数=44个（封闭）； ③ 花：44×2=88盆。 【知识点睛】方阵最外层=(每边-1)×4。封闭图形间隔数=棵数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $