2.3.2 等腰三角形性质定理2-课件-2026-2027学年浙教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形性质定理2“三线合一”，通过旧知复习等腰三角形性质定理1（等边对等角），引导学生尺规作图画出顶角平分线、底边上的中线和高，观察发现三线重合特点，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理能力，通过动手作图培养空间观念，结合木工检查横梁等实例渗透应用意识，规范证明过程标注推理依据。课堂小结系统归纳三线合一的应用场景与证明方法，助力学生构建知识结构，提升探究能力，也为教师提供包含习题、典例、小结的完整教学资源，提高教学效率。

浙教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月11日 2.3.2 等腰三角形性质定理2 第2章　特殊三角形 2.3.2 等腰三角形性质定理2 同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形性质定理2的核心内容是（） A. 两底角相等 B. 三线合一 C. 两腰相等 D. 是轴对称图形 2. 在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（） A. BD=CD B. AD⊥BC C. ∠B=∠C D. AD=BC 3. 等腰三角形的对称轴是（） A. 腰上的高所在直线 B. 底边上的中线所在直线 C. 三角形的中线 D. 三角形的高 4. 已知AB=AC，AD⊥BC，BC=10cm，则BD的长为（） A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 无法确定 5. 下列说法正确的是（） A. 任意三角形都满足三线合一 B. 等腰三角形任意中线、高、角平分线都重合 C. 等腰三角形顶角平分线一定垂直底边 D. 等腰三角形底角平分线平分对边 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、________、________互相重合，简称“三线合一”。 7. 在等腰三角形中，只要具备顶角平分线、底边上的高、底边上的中线中的________，就可以推出另外两个。 8. 已知等腰△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，则∠ADB=________°。 9. 等腰三角形顶角为80°，顶角平分线与底边的夹角为________°。 10. “三线合一”是________三角形特有的重要性质，普通三角形不具备该性质。 三、解答题（共60分） 11.（18分）在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BC=12cm。求BD的长度和∠ADB的度数。 12.（20分）已知：如图，AB=AC，AD⊥BC于点D。求证：AD平分∠BAC。 要求：书写规范完整的证明过程，标注每一步推理依据。 13.（22分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE=DF。 参考答案及解析 选择题：1.B 2.D 3.B 4.A 5.C 解析：三线合一仅适用于等腰三角形，且特指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，其余线段不满足重合性质，是本节核心易错点。 填空题：6. 底边上的中线、底边上的高 7. 任意一个 8. 90 9. 90 10. 等腰 解答题 11. 解：∵AB=AC，AD平分∠BAC（已知），根据等腰三角形三线合一性质，∴AD⊥BC，BD=CD。∴∠ADB=90°，BD=BC÷2=12÷2=6cm。 12. 证明：∵AB=AC，AD⊥BC（已知），根据等腰三角形三线合一性质，底边上的高也是顶角平分线，∴AD平分∠BAC。 13. 证明：∵AB=AC，AD⊥BC（已知），由三线合一可得AD平分∠BAC。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴DE=DF。 旧知复习 我们上节课学习了等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。 已知△ABC是等腰三角形 AB=AC，则∠B=∠C 60° 60° 60° 等边三角形的各个内角都等于60°。 等腰三角形除了有等边对等角的性质还有其他性质吗？ 新知探究 每个同学在作业本上利用尺规作图分别画出∠BAC的平分线，BC边上的高以及BC边上的中线。 AD是△ABC的角平分线 ∠BAD=∠DAC AD是△ABC的BC边上的高 AD⊥BC AD是△ABC的BC边上的中线BD=DC 观察我们所画出的角平分线、中线和高，它们有什么特点呢？ D D D D 返回 1． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不一定正确的是(　　) A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD 中考考法 4 返回 B 2． 木工师傅将一把含45°角的直角三角板和一个重锤如图放置，就能检查横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是(　　) A．角平分线的性质定理 B．等腰三角形的三线合一 C．线段垂直平分线的性质定理 D．两直线垂直的性质 中考考法 5 新知探究 已知：如图所示，AD平分∠BAC，∠ADB＝∠ADC。求证：AD⊥BC。 证明：如图所示，延长AD，交BC于点E。 ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD(角平分线的定义) ∵AD=AD(公共边)，∠ADB=∠ADC（已知） 可得△ABD≌△ACD（ASA）。 所以AB＝AC（全等三角形的对应边相等）。 ∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义） ∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一） 即AD⊥BC 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。 E 例1如图，在△ABC中，AB=BC，BE是△ABC的中线，AD⊥BC于点D，若∠DAB=36°，则∠EBC的度数为__________． 典例分析 根据三角形外角的性质得∠ABC=∠DAB+∠D=126°，由等腰三角形的性质可得BE是∠ABC的平分线，即可求出∠EBC的度数 解：∵AD⊥BC于点D ∴∠D=90°，∵∠DAB=36° ∴∠ABC=∠DAB+∠D=126° ∵AB=BC，BE是△ABC的中线， ∴BE是∠ABC的角平分线 ∴∠EBC=∠ABC=63° 63° 等腰三角形“三线合一”的性质 变式训练 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠DEC等于______． 由等腰三角形中三线合一，可得AD是△ABC的角平分线，再根据AE=AD得出∠ADE=∠AED，结合三角形内角和定理可得出答案 解：∵△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线 ∴AD是△ABC的角平分线， ∵∠BAC=80°，∴∠DAC=∠BAC=40° ∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED， ∴∠AED=(180°-∠DAC)=×（180°-40°）=70° ∴∠DEC=180°-∠AED=180°-70°=110° 110° 等腰三角形三线合一的性质 例2 已知两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：如图，线段a和∠α． 求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α． 典例分析 作法：①作射线AD；②以O为圆心，任意长度为半径画弧，弧与两边分别交于两点M、N；③A点为圆心，ON的长度为半径画弧，与AD交于点E；④测量MN的距离，以E为圆心MN为半径画弧，交于点F，连接AF；⑤在∠A两边截取AB=AC=a,连接BC即可 O M A N D E F B C 变式训练 （教材母题）已知线段 a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边BC边上的高线长为h。 作法：如图所示。①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；③在直线l上截取DA＝h，连结AB，AC。△ABC就是所求作的等腰三角形。 B C D A 新知探究 例3 . 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，连接CE，交AD于点H．求证：AD垂直平分CE 解：∵∠ACB=90°，∴DC⊥AC， 又∵∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB. ∴CD=DE，∠AED=90°，∠CAD=∠EAD， ∴∠ADC=180°-∠ACB-∠CAD=180°-90°-∠EAD=90°-∠EAD ∠ADE=180°-∠AED-∠EAD=180°-90°-∠EAD=90°-∠EAD ∴∠ADC=∠ADE，即AD平分∠CDE 又∵CD=DE ∴AD垂直平分CE（等腰三角形的三线合一） 先根据角平分线的性质定义可得CD=DE，再根据三角形的内角和定理求出∠ADC=∠ADE，然后根据等腰三角形的三线合一即可求证 D 返回 3． [2025宁波期末]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，中线AD与角平分线CE交于点F，则∠CFD的度数为(　　)  A．25° B．35° C．45° D．55° 中考考法 12 4． 返回 9 [2025温州月考]如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，连结DE，则BE的长为________． 中考考法 13 5． 返回 【证明】连结AE. 因为EF是AB的垂直平分线， 所以AE＝BE. 因为BE＝AC，所以AE＝AC. 又因为D为线段CE的中点， 所以AD⊥CE，即AD⊥BC. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，连结AD，BE＝AC. 求证：AD⊥BC. 中考考法 14 6． 返回 【解】如图所示，△ABC即为所求作的图形． 已知∠α和线段a(如图)，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使顶角∠BAC＝∠α，底边上的高线AM＝a. 中考考法 15 7． 返回 D 中考考法 16 8． 返回 1 如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点(D与B，C均不重合)，AD＝AE，∠DAE＝60°，连结CE.若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，CE的长为________． 中考考法 17 9． 返回 50° 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，若点C与点O恰好重合，则∠OFA的度数为________． 中考考法 18 10． 8 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝10，△ABC的面积为40，则CM＋MN的最小值为________． 中考考法 19 【点拨】 返回 中考考法 11． 如图所示，在△ABC中，AB＝BC，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连结BF. (1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数； 中考考法 【解】因为∠AFD＝155°，所以∠DFC＝25°. 因为DF⊥BC，DE⊥AB，所以∠FDC＝∠FDB＝∠BED＝90°. 所以∠C＝90°－25°＝65°. 因为AB＝BC，所以∠C＝∠A＝65°. 所以∠ABC＝180°－2×65°＝50°. 因为∠ABC＋∠BDE＝∠EDF＋∠BDE＝90°， 所以∠EDF＝∠ABC＝50°. 中考考法 (2)若F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由． 返回 中考考法 课堂小结 简化证明：快速得出角相等、线段垂直或平分关系（如：若已知高线，则同时得到中线和角平分线）。 辅助线构造：当题目缺少关键条件时，可通过添加等腰三角形的“三线”辅助线转化问题。 三线合一的应用场景 性质表述：等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条线段互相重合（即“三线合一”）。 关键点：仅适用于等腰三角形（两腰相等）。 三线均从顶角顶点出发指向底边，本质上是同一条线段在不同几何关系中的体现。 三线合一的概念与内容 ①轴对称性法：利用等腰三角形是轴对称图形（对称轴为顶角平分线所在的直线），直接推出对称轴上的中线和高线重合。 ②全等证明法 三线合一的证明方法 01 03 04 02 如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E.分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G.连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是(　　) A．AB＝AC B. AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D. AG＝AC 连结AM，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示． 因为BA＝BC，BD平分∠ABC，所以BD⊥AC且平分AC. 即BD是线段AC的垂直平分线．所以CM＝AM. 所以CM＋MN＝AM＋MN.根据垂线段最短得AM＋MN≥AH， 即当点M，N在线段AH上时，AM＋MN最小，最小值为线段AH的长．因为△ABC的面积为40，BC＝10， 所以S△ABC＝BC·AH＝40，解得AH＝8. 所以CM＋MN的最小值为8. 【解】∠CFD＝∠ABC.理由如下： 因为AB＝BC，F是AC的中点， 所以BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC. 所以∠CFD＋∠BFD＝90°. 因为∠FDB＝90°，所以∠CBF＋∠BFD＝90°， 所以∠CFD＝∠CBF.所以∠CFD＝∠ABC. $