29.2.2　圆心角 课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理。通过剪圆形纸片绕圆心旋转的操作活动导入，先探究圆的旋转不变性，再引出圆心角概念，进而推导同圆或等圆中三者关系，构建操作-概念-定理的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光，如旋转操作发展几何直观与空间观念。通过问题情境中的逻辑推理培养数学思维，如证明圆心角相等则弧和弦相等。用“知一推二”及符号语言表格结构化总结，培养抽象能力与模型意识。学生能提升探究与推理能力，教师可获得清晰教学路径与检测工具。

29.2.2　 圆心角 第二十九章　圆 29.2 探究与应用 剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°,所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢? 活动1　了解圆的旋转不变性 操作尝试 解:重合;圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心;把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合. 圆的旋转不变性: (1)圆是中心对称图形,它的对称中心是　　　　.  (2)把圆绕圆心旋转　　　 　角度,所得的图形都与原图形 　　　　. 概括新知 圆心 任意一个 重合 圆心角的概念:顶点在　　　　的角叫作圆心角.  活动2　理解并掌握弧、弦、圆心角的关系定理 初识概念 圆心 问题1　如图29-2-6,在☉O中,当圆心角∠AOB=∠A'OB'时,它们所对的弧和有什么关系?弦AB和A'B'呢?为什么? 问题情境 图29-2-6 解:=,AB=A'B'. 理由:把∠AOB连同绕圆心O旋转,使射线OA与OA'重合. 图29-2-6 ∵∠AOB=∠A'OB', ∴射线OB与OB'重合. 又OA=OA',OB=OB', ∴点A与A'重合,点B与B'重合. 因此,与重合,AB与A'B'重合, 即=,AB=A'B'. 问题2　如图29-2-7,在等圆中,如果∠AOB=∠A'O'B',你在(1)中发现的数量关系是否依然成立? 解:在问题1中发现的数量关系依然成立. 理由:通过平移或旋转将两个等圆变成同圆,再根据(1)的推理过程即可得到=,AB=A'B'. 图29-2-7 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件.如图,两个同心圆中,与对应同一个圆心角,但≠,AB≠A'B'. 防 易错 弧、弦、圆心角的关系: 概括新知 弧、弦、圆心角 的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的　　　相等,所对的　　　也相等  弧、弦、圆心角的关系定理的推论 (1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的 　　　　相等,所对的　　　　相等;  (2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的 　　　　相等,所对的优弧和劣弧分别相等  弧　 弦　 圆心角　 弦　 圆心角 符号语言 如图,(1)如果∠AOB=∠COD,  那么　　　　　,　　　　　;  (2)如果=,那么　 　　　　,　　　　　　;  (3)如果AB=CD,那么　　　　 　,　　　　　　　, 　　　　　　　  (续表) =　 AB=CD　 ∠AOB=∠COD　 AB=CD　 ∠AOB=∠COD　 =　 = 弧、弦、圆心角之间的关系——“知一推二” 在同圆或等圆中,对于两个圆心角、两条弧、两条弦,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等. 记 关系 (教材典题)如图29-2-8,在☉O中,=,∠ACB=60°. 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例 证明:∵在☉O中,=, ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°, ∴△ABC是等边三角形,可得AB=BC=AC, ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 理解应用 图29-2-8 如图29-2-9,在☉O中,=,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E. 求证:CD=CE. 变式 图29-2-9 证明:∵在☉O中,=, ∴∠AOC=∠BOC, ∴OC是∠AOB的平分线. 又∵CD⊥OA,CE⊥OB, ∴CD=CE. 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.下面四个图中的角为圆心角的是 (　　) | 课堂检测 | D 图29-2-10 2.如图29-2-11,AB是☉O的直径,=.若∠AOC=110°,则 ∠BOD的度数为 (　　) A.140° B.70° C.65° D.55° B 图29-2-11 3.如图29-2-12,AB是半圆O的直径,点C,D,E,F在半圆上,AC=CD= DE=EF=FB,则∠COF的度数为(　　) A.90° B.100° C.108° D.120° C 图29-2-12 4.如图29-2-13,AB,CD是☉O的直径,OE⊥AB,OF⊥CD,则∠EOD 　　　　∠BOF,　　　 ,BF　　　　DE(填“<”“>”或“=”).  = 图29-2-13 = = $