山东临沂市2025-2026学年高一下学期普通高中学科素养水平监测数学试卷

高一年级普通高中学科素养水平监测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知(1+i)z=2,则z= A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 2.空间中，下列结论正确的是 A.平行于同一个平面的两条直线平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行 C.垂直于同一条直线的两条直线平行 D.垂直于同一个平面的两条直线平行 3.超市有A,B两种品牌的羽毛球拍，甲、乙两人各购买一支羽毛球拍，若甲、乙买A品牌羽 毛球拍的概率分别是0.6,0.5，则甲、乙两人买相同品牌羽毛球拍的概率为 A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 4.甲，乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人射击成绩的条形统计图如图所示，则 31须数 个频数 1 口口口口口 0345678910环数 0345 6 78910环数 甲 A.甲射击成绩的极差等于乙射击成绩的极差 B.甲射击成绩的平均数小于乙射击成绩的平均数 C.甲射击成绩的中位数等于乙射击成绩的中位数 D.甲射击成绩的第40百分位数大于乙射击成绩的众数 5.己知圆台的上、下底面半径分别为2和5，高为4，则该圆台的侧面积为 D. 35π A.35π B.32m C.28m 2 数学试题第1页（共4页） 6.在△ABC中，点M,N分别在边AC,BC上，且2AM=AC,B=2N元，若AN与BM相交于 点D,则 A布-子不 B而子丽 C=4 D.A亦=2A 3 7.在正四棱锥S-BCD中，AB=2,1=厅，给出以下判断：①直线AB与SC所成角为牙： ②二面角S-AB-D的大小为？；③直线SA与平面ABCD所成角的余弦值为？；④直线 AD与平面SBC的距离为√3.其中判断正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 8.希腊数学家克罗狄斯·托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定 理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补 时取等号.根据上述材料，解决如下问题：如图，在平面四边形ABCD中，AB=1,BC=2, ∠ABC=120°，若BD=3,则当2AD+CD取得最小值时，AD·CD= 7.20 B.2或 c 1020 D. 3或7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于复数z的结论正确的是 A.若z=3+i,则z的实部是3 B.若z=i3,则z+z2+z+z=0 C.z=2-i是方程x2-4x+3=0的一个根 D.若z满足1z-11=1z+1|=2,则1z1=√3 10.袋中有5个质地均匀的小球，其中两个红球标号为1,2，三个白球标号为3,4,5，则 A.任取3个小球，标号之和大于6是必然事件 B.任取3个小球，标号之和小于6是不可能事件 C.任取2个小球，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件 D.任取2个小球，“两球标号之和是3的倍数”与“两球标号之积大于6”相互独立 11.正方体ABCD-AB,C,D1的外接球的表面积为6π，则 A.AB=√3 B.AC·BC=2 C.若点P在正方体外接球的表面上，则AP·AC的最大值为2+√6 D.若点P在正方体的表面上，IAP|=2,则点P轨迹的长度为√2 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲0,1,0,2,2,0,3,1,2,4 乙2,3,1,1,0,2,1,1,0,1 分别计算平均数和标准差，从计算结果看，性能更好的机床是 13.在体积为2π的圆柱内放人一个球，则该球表面积的最大值为 14.已知0为△ABC的外心，M为△ABC内一点，且4+B+C成=0，若花+C=d, 而呢是，则丽 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知平面向量a,b,c,0=(1,2),b是单位向量，1c1=2. (1)若b与a共线，求b的坐标； (2)若(2a+c)·(a-c)=2,a与c的夹角为0，求cos0. 16.(15分) 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若完成5局比赛未出现连 胜两局者，则胜场较多者赢得比赛假设每局比赛甲获胜的概率为子，乙获胜的概率为了，且 各局比赛的胜负互不影响. (1)求3局比赛结束后甲赢得比赛的概率； (2)求第5局比赛结束后乙赢得比赛的概率. 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosC+(2b+c)cosA=0. (1)求A; (2)若2a=√3(b+c),且BC边上的高为1，求△ABC的周长. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 蒙山主峰龟蒙顶海拔1156米，是沂蒙山区的最高峰，也是山东省第二高峰.蒙山有 云蒙、龟蒙、天蒙三个景区，临沂文旅集团精心策划主题活动，2026年“五一”假期来蒙山 旅游观光的人数突破22万人.某数学兴趣小组为了解游客旅游体验满意度，随机调查了 600名来蒙山旅游的游客，被调查的游客根据旅游体验给出满意度分值T(满分100分)， 兴趣小组将收集到的数据分成五段：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，处 理后绘制了如下频率分布直方图 ◆频率组距 0.030-------- 0.020---- 0.010 0.005 ow 5060708090100分值T1分 (1)求图中α的值并估计600名游客满意度分值T的中位数t(结果用分数表示)； (2)已知T在[50,70)的平均数x=62,方差s2=104,T在[70,100]的平均数y=82, 方差s?=564,试求被调查的600名游客的满意度分值T的平均数z及方差2； (3)按比例分配的分层抽样方法从分值T在[50,60)，[90,100]两组中抽取6名游 客，再从这6名游客中随机抽取2名，求恰好2名游客给出满意度分值T都不小于90的 概率. 19.(17分) 如图，在正三棱柱ABC-AB,C1中，M是B,C1的中点 (1)证明：A,M⊥BC1; (2)在棱AA,上是否存在点N,使得MN∥平面ABC,若存在， 求A八的值，若不存在，说明理由； AA (3)若AB=2,直线A,B与平面BCC,B,所成角的正切值为 3 ，求点M到平面A,BC,的距离。 数学试题第4页（共4页） 高一年级普通高中学科素养水平监测 数学试题参考答案及评分标准 说明： 一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容参照评分标准酌情赋分」 二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半：如 果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数， 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.C2.D3.B4.D5.A6.A7.B8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12乙1B.4m14号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)》 解：(1)b是与a共线，.b=入a(入≠0)，… 1分 又a=(1,2),.b=(入，2入)，… 2分 b为单位向量，.1b1=1,.√/入2+(2入)2=1， 3分 解得A支 5, 4分 6的标为原2)或(-25 5’5 6分 (2)a=(1,2),∴.1al=5,又1cl=2, 7分 数学试题答案第1页（共4页） ∴.(2a+c).(a-c)）=21al2-a·c-lcl2=10-a·c-4=6-a·c,…9分 又(2a+c）…(a-c)=2,.6-a·c=2,∴.a·c=4,…11分 cos0=a·c。 425 …13分 lallel√5x25 16.(15分) 解：记“第i(i=1,2,3,4,5)局甲获胜”为事件A, …1分 (1)“3局比赛结束后甲赢得比赛”为事件B,由题意知，B=AA2A3,…3分 1x2x24 则P(B)=P(AA,A,)=3×3×327 …6分 所以3局比赛结束后甲赢得比赛的概率为27 …7分 (2)记“第5局比赛结束后乙赢得比赛”为事件C, C=AAA A As UAA2A AAs, 9分 ∴.P(C)=P(AA2AA4A3）+P(AA2A3A4A3), 10分 2x1211121218 P(C)=3×3××3×3+33333243 X- …14分 所以第五局比赛结束后乙赢得比赛的概率为，8 …15分 43 17.(15分) 解：(1)由正弦定理知，acosC+(2b+c)cosA=0可化为 sinAcosC+2sinBcos4+sinCcos4=0........................................................... 2分 .sin(A+C)+2 sinBc0sA=0,…3分 又.A+C=T-B,∴.sin(A+C)=sin(T-B)=sinB, .sinB+2 sinBc0sA=0,… 5分 .sinB≠0，∴.1+2cosA=0,.cosA=- 6分 2T .A= 3 7分 2+c2-a21 (2)由余弦定理知，c0sA= 8分 2bc 21 又两为2a=5(6*e)G-6he月 代入上式可得，b2+c2-2bc=0,即b=c,· 10分 a=5b=3c,…11分 数学试题答案第2页（共4页） BC边上的高为1S6c=) 20X1,…12分 告 122, .a=2W3,b=C=2,…14分 .a+b+C=2W3+2+2=4+25.…15分 18.(17分) 解：(1)由频率分布直方图可得：(0.005+0.020+a+0.030+0.010)×10=1,…1分 解得a=0.035.…2分 由频率分布直方图知，(0.005+0.020)×10=0.25<0.5， (0.005+0.020+0.035)×10=0.6>0.5,…3分 因此中位数t落在区间[70,80)内， 4=70+0.5-025×10=540 …5分 0.35 (2)已知T在[50,70)的平均数x=62,方差S2=104;T在[70,100]的平均数y=82,方 差S2=564;T在[50,100]的平均数为z,方差为s2. T在[50,70)的频率为(0.005+0.020)×10=0.25， T在[70,100]的频率为1-0.25=0.75，…7分 ∴.z=0.25x+0.75×y=0.25×62+0.75×82=77. 9分 s2=0.25[s2+(x-2)2]+0.75[s2+(y-2)2], ∴.s2=0.25[104+(62-77)2]+0.75[564+(82-77)2]=524.…11分 (3)由频率分布直方图可知T在[50,60)的频数为600×0.005×10=30，T在[90,100] 的频数为600×0.010×10=60，… …12分 按比例分配的分层抽样的方法抽取6名游客，则在[50,60)这组内抽取2名，记为α1， a2;在[90,100]这组内抽取4名，记为b1,b2,b3,b4,…13分 故从6名中随机抽取2名，共有15种等可能的结果，样本空间为 2={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3）,(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3）,(a2, b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4)},…15分 其中恰好两名游客给出满意度分值T都不小于90的样本点有 (b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4）,共6个，…16分 恰好两名游客给出满意度分值T都不小于90的概率P6-马 …17分 数学试题答案第3页（共4页） 19.(17分) 解：(1)证明：在正三棱柱ABC-AB,C1中， BB1⊥平面ABC,…1分 AMC平面ABC,.BB1⊥AM,…2分 △A,B,C1是等边三角形，又M是BC,的中点 AM⊥BC1,…3分 又BB,∩B,C,=B1,.AM⊥平面BB,C,C, 4分 ,BCC平面BBCC,.A,M⊥BC.…5分 (2)在棱AA,上存在点N,使得MN∥平面ABC, 此时，42 AN 1 6分 证明：当时N是，的中点 取BB1的中点D,连结MN,ND,DM, 则有ND∥AB,DM∥BC,… …7分 又ND4平面ABC1,DM4平面ABC1, ·.ND∥平面ABC1,DM∥平面ABC, 9分 又NDODM=D,.平面DMN∥平面ABC, 又MNC平面DMW,MW∥平面ABC.…11分 (3)由(1)知，AM⊥平面BB,C1C,连结MB, 则直线A,B与平面BCC,B,所成角为∠A,BM, A M3 :tan LA BM=BM=4' 12分 又AB=2,.BM=1,AM=√3，.BM=4, 在Rt△BB,M中，BB1=√4-1=√15， 在Rt△A,BB1中，A,B=√15+22=√/I9,BC,=AB=√19， 在△ABC1中，BC1=A,B=√19，A,C1=AB=2, S么ic,=32, 14分 设点M到平面A,BC,的距离为d, 由=e得写Sx= 1 写3540XBB,… 15分 即x32x=}× 32 x5,解得d= 4 所以点M到平面A,BC,的距离为0 …17分 数学试题答案第4页（共4页）