3.2.1二次根式的乘法 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式乘法，系统讲解乘法法则及逆用、带系数运算、解题步骤等核心知识点，通过“积的算术平方根的性质是什么”导入，衔接已学二次根式概念，搭建从基础到应用的学习支架，为后续化简和综合运算铺垫。 其亮点是分层练习与典例精析结合，通过“议一议”辨析负数开方等易错点培养推理意识，用长方形面积计算实例渗透应用意识，帮助学生提升运算能力，教师可借助系统知识点和分层题目实现高效教学。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 3.2.1二次根式的乘法 第3章 二次根式 湘教版数学八年级下册3.2.1 二次根式的乘法同步练习题 一、核心知识点精讲 1. 二次根式乘法法则（核心公式） $$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ \ (a\geq0,b\geq0)$$ 文字表述：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 重要前提：被开方数 $$a、b$$ 必须均为非负数，公式才成立。 2. 乘法法则逆用（根式化简核心） $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ \ (a\geq0,b\geq0)$$ 作用：将复杂被开方数拆分，拆分出完全平方数，实现二次根式化简，是根式化简的核心依据。 3. 带系数二次根式乘法法则 若有系数：$$m\sqrt{a}\cdot n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}\ \ (a\geq0,b\geq0)$$ 运算规则：系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后化简为最简二次根式。 4. 二次根式乘法通用解题步骤 ① 判范围：确认所有被开方数非负，保证式子有意义； ② 分相乘：系数相乘、被开方数分别相乘； ③ 巧拆分：将乘积后的被开方数拆分为「完全平方数×剩余数」； ④ 化最简：开出平方因式，整理结果为最简二次根式。 5. 常用结论与易错点 ① 乘法运算结果必须化为最简二次根式，不可保留可开方因数； ② 切勿错误使用 $$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$，根式无加法拆分性质； ③ 负数不能直接开方相乘，必须保证被开方数全程非负。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 计算 $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$$ 的结果是（） A. $$\sqrt{5}$$ B. $$\sqrt{6}$$ C. $$5$$ D. $$6$$ 2. 下列计算正确的是（） A. $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$ B. $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{4}=\sqrt{6}$$ C. $$\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=7$$ D. $$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}=\sqrt{6}$$ 3. 计算 $$2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}$$ 的结果是（） A. $$5\sqrt{5}$$ B. $$6\sqrt{6}$$ C. $$6\sqrt{5}$$ D. $$5\sqrt{6}$$ 4. 化简 $$\sqrt{12}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}$$ 的结果是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. $$\sqrt{3}$$ 5. 若 $$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-1}$$ 成立，则x的取值范围是（） A. $$x\geq1$$ B. $$x\geq-1$$ C. $$-1\leq x\leq1$$ D. 全体实数 6. 计算 $$\sqrt{8}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{2}}$$ 的结果是（） A. 4 B. 2 C. $$\sqrt{4}$$ D. 8 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 计算：$$\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=$$________。 8. 计算：$$4\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{6}=$$________。 9. 化简：$$\sqrt{27}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}=$$________。 10. 若 $$\sqrt{a}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{40}$$，则 $$a=$$________。 11. 计算：$$\sqrt{1.5}\cdot\sqrt{\dfrac{8}{3}}=$$________。 12. 化简：$$\sqrt{x}\cdot\sqrt{4x}(x\geq0)=$$________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础根式乘法计算： （1）$$\sqrt{6}\cdot\sqrt{24}$$ （2）$$\sqrt{18}\cdot\sqrt{\dfrac{2}{9}}$$ 14.（18分）带系数根式乘法运算： （1）$$3\sqrt{5}\cdot2\sqrt{10}$$ （2）$$\dfrac{1}{2}\sqrt{12}\cdot4\sqrt{\dfrac{1}{3}}$$ （3）$$-2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{6}$$ 15.（18分）化简求值： 先化简 $$\sqrt{12x}\cdot\sqrt{\dfrac{3}{4}x}(x\geq0)$$，再代入 $$x=4$$ 求值。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（根据乘法法则：$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}$$）； 2.A（B：$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$，C：$$\sqrt{10}$$，D：负数不能开平方，无意义）； 3.B（系数相乘$$2\times3=6$$，根式相乘$$\sqrt{3\times2}=\sqrt{6}$$，结果$$6\sqrt{6}$$）； 4.A（原式$$=\sqrt{12\times\dfrac{1}{3}}=\sqrt{4}=2$$）； 5.A（需满足 $$x-1\geq0$$ 且 $$x+1\geq0$$，取交集 $$x\geq1$$）； 6.B（原式$$=\sqrt{8\times\dfrac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$$）。 二、填空题 7. $$10$$（原式$$=\sqrt{5\times20}=\sqrt{100}=10$$）； 8. $$4\sqrt{3}$$（$$4\times\dfrac{1}{2}\times\sqrt{2\times6}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$$）； 9. $$3$$（原式$$=\sqrt{27\times\dfrac{1}{3}}=\sqrt{9}=3$$）； 10. $$5$$（$$\sqrt{8a}=\sqrt{40}$$，得 $$8a=40$$，$$a=5$$）； 11. $$2$$（原式$$=\sqrt{\dfrac{3}{2}\times\dfrac{8}{3}}=\sqrt{4}=2$$）； 12. $$2x$$（原式$$=\sqrt{4x^2}=2x(x\geq0)$$）。 三、解答题 13. 解： （1）原式$$=\sqrt{6\times24}=\sqrt{144}=12$$； （2）原式$$=\sqrt{18\times\dfrac{2}{9}}=\sqrt{4}=2$$。 14. 解： （1）原式$$=6\sqrt{5\times10}=6\sqrt{50}=6\times5\sqrt{2}=30\sqrt{2}$$； （2）原式$$=2\sqrt{12\times\dfrac{1}{3}}=2\sqrt{4}=2\times2=4$$； （3）原式$$=-6\sqrt{3\times6}=-6\sqrt{18}=-6\times3\sqrt{2}=-18\sqrt{2}$$。 15. 解： 原式$$=\sqrt{12x\cdot\dfrac{3}{4}x}=\sqrt{9x^2}=3x(x\geq0)$$， 将 $$x=4$$ 代入，原式$$=3\times4=12$$。 本节易错必记 1. 二次根式乘法法则仅适用于被开方数非负，负数根式无意义，不能相乘； 2. 带系数乘法务必系数、根式分开计算，最后统一化简； 3. 乘积结果必须彻底化简，不能保留未开方的完全平方因数； 4. 严禁误用根式加法拆分，$$\sqrt{a+b} eq\sqrt{a}+\sqrt{b}$$，只有乘法可拆分。 学习目标 1.掌握二次根式的乘法法则，能熟练地应用它进行二次根式的乘法运算； 2.灵活应用和逆用二次根式的乘法法则 3.熟练地将二次根式化简．（重点、难点） 学习目标 （a≥0，b≥0）， 二次根式的乘法法则 （a≥0，b≥0）， 二次根式的乘法 1 积的算术平方根的性质是什么？ 3 例1 计算： 解：(1) (2) 典例精析 议一议：在化简 时，小明是这样进行的： 解： 假如你是他的数学老师，你认为他做对了吗？为什么？如果不对，请改正过来！ 答：不对.被开方数的两个因数是负数，不能直接套用积的算术平方根的性质. 正确解法： 在使用上述积的算术平方根的性质进行计算时，一定要注意前提条件即被开方数的每个因数都必须为非负数.对于不能直接用的，一定要先进行适当转化. 要点提醒 例2 计算： 根号里面的数相乘 根号外面的数相乘 解：(1) 系数与系数相乘 根号与根号相乘 解： 二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即 ②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即 归纳总结 例3 比较大小(一题多解)： 解：方法一： 因为 ， ， 又 20＜27， 所以 ，即 . 方法二： 因为 ， 又 20＜27， 所以 ，即 . 解：因为 ， 又 52＜54， 所以 ， 所以 ，即 比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小， 被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法. 归纳 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 议一议 小玲和小婷两名同学在计算 时，做法分别如下： ＝ ＝ 你更喜欢哪种做法？ 方法（1）：计算简洁和可以快速得出结果. 方法（2）：更注重计算的准确性，尤其是在复杂运算场景下，可能更合适. 例4 已知一张长方形图片的长和宽分别是 cm 和 cm，求这张长方形图片的面积. 解： 答：这张长方形图片的面积 为 21 cm2. D 2.若是整数，则整数 的值是_______. 3. 若一个无理数与 的积是一个有理数， 写出 的一个值是__________________. 3或12 （答案不唯一） 返回 考试考法 14 返回 ＜ 考试考法 15 5. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 考试考法 16 （3） ； 原式 . （4） . 原式 . 返回 考试考法 17 6. 如图，数轴上有，，，， 五点， 根据图中各点表示的数，则表示数 的点会落在 ( ) B A. 点和之间 B. 点和 之间 C. 点和之间 D. 点和 之间 返回 考试考法 18 返回 7. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之 一.某品牌庐山云雾茶的包装是圆柱形铁盒，若其内部底面半 径为，深，则其容积为________ （结果保留根号和 ）. 考试考法 19 返回 8. 下列式子中与 相等的是( ) D A. B. C. D. 考试考法 20 9.将1，，，按如下方式排列，若规定 表示第 排从左向右第个数，则与 表示的两个数之积是 _____. 考试考法 21 二次根式的乘法 法则 性质 拓展法则 课堂小结 1．下列运算正确的是(　　) A.×＝ B．8×＝1 C.×＝12 D.×＝3 4．比较大小：－6________－7. $