精品解析：辽宁沈阳市于洪区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

2025-2026学年度下学期期末学业水平考试 七年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 古人将对称之美融入书法之中，空间分割均衡与对称是篆书的独特魅力．下列四个选项中的字分别为“盛、京、沈、阳”四字的篆书形式，其中可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：就是沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形. 【详解】A：“盛”找不到对称轴，对折后两侧无法重合，不是轴对称图形； B：“京”沿中间竖直直线对折后，左右两侧完全重合，是轴对称图形； C：“沈”是左右结构，左右部分不对等，无法对折重合，不是轴对称图形； D：“阳”是左右结构，左右部分不对等，无法对折重合，不是轴对称图形. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项合并，同底数幂乘除，幂的乘方的运算法则逐一判断选项． 【详解】A：∵ 与 不是同类项，不能合并， ∴ A错误． B：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，得 ， ∴ B错误． C：根据同底数幂相除法则，底数不变，指数相减，得 ， ∴ C错误． D：根据积的乘方与幂的乘方法则，得 ， ∴ D正确． 3. 据人民日报2026年3月11日消息，我国自主研发的级超高强度碳纤维全球首发，其直径不到头发丝的十分之一，约毫米，拉伸强度为普通钢材的10倍．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 4. 一个三角形的三边长度分别为，2和5，则的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理，确定第三边的取值范围，再结合选项找出符合条件的值． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，三角形三边长为，2，5， ∴ ，即 ，观察选项，只有满足该范围，因此选C． 5. 如图，一条排水管连续两次转弯后，和原来的方向相同，若第一次转弯时，则第二次转弯时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一条排水管连续两次转弯后，和原来的方向相同可得，再根据两直线平行，内错角相等即可得． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴． 6. 从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形，上述操作能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：左图阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 右图长方形的长为，宽为，其面积为． ∵左图的阴影面积右图的阴影面积， ∴． 7. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质和三角形的高的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由折叠可得，则是的角平分线，不合题意； B、由折叠可得，则，但无法得到，故不是的高，不合题意； C、由折叠可得，但无法得到，不合题意； D、由折叠可得，则，故是的高，符合题意． 8. 一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据频率折线图，大量重复试验后，指针落在红色区域的频率稳定在附近，因此指针落在红色区域的概率约为； A：转盘分为3个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； B：转盘分为4个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； C：转盘分为5个相等扇形，1份红色，概率为，符合； D：转盘分为6个相等扇形，1份红色，概率为，不符合． 9. 某科技小组找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，在镜片后放置光屏正对镜片，不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小，此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑之间的距离 1 按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为，那么估计这副老花镜的度数可能是（ ） A. 110度 B. 140度 C. 160度 D. 180度 【答案】B 【解析】 【分析】先观察表格中数据，找出老花镜度数与镜片到光斑的距离之间的规律，再代入计算，得到度数后选择最接近的选项． 【详解】解：计算表格中各组与的乘积可得：，，，，， 可得规律，即， 将代入得：，计算结果最接近140度． 10. 如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线交于点；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点．根据以上作图，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察作图过程，得出，是的角平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质得，再运用三角形内角和性质得，根据同位角相等，两直线平行得，即可作答． 【详解】解：依题意，是的角平分线， ∴ 依题意，是的垂直平分线， ∴ ∴ ∴，故D选项不符合题意； 则 ∴，故B选项不符合题意； ∵，是的垂直平分线， ∴ ∴，故A选项不符合题意； 只知道，是的角平分线，是的垂直平分线，得不出的度数，故无法得出之间的关系， 故不一定正确， 故C选项符合题意． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若∠A＝37°，则∠A的余角的度数为_____°． 【答案】53． 【解析】 【分析】根据余角的定义计算即可． 【详解】解：因为∠A＝37°， 所以∠A的余角的度数为：90°﹣∠A＝90°﹣37°＝53°． 故答案为：53． 【点睛】本题考查了余角的定义；熟练掌握两个角的和为90°的互余关系是解题的关键． 12. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得，则工件内槽宽为________________． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，证明，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ， 该工具把两根钢条的中点连在一起， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据已知条件证明三角形全等是解题的关键． 13. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小贤从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用； 根据共有5个出口，北面有两个出口，直接利用概率公式得出答案． 【详解】解：∵共有5个出口，其中北面有B和C两个出口， ∴恰好从北面的出口出来的概率为， 故答案为：． 14. “燕几”是世界上最早的一套组合桌．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，这七张桌子的桌面都是长方形，且它们的宽都相等．如图，给出了一种桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为尺，长桌的长为尺，则与的关系可以表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上小桌宽的2倍，列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，的对应边与线段相交于点，若为等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由折叠的性质得出，，， 设，由角的和差关系以及三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质等知识表示出，再根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ 由折叠的性质可知：，，， 设， ∴，，， ∴，， ∴， 当时， 则，即， 解得，不符合题意，舍去． 当时， 则，即， 解得， ∴， 当时， 则，即， 解得， ∴． 综上：的度数为或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）利用整式乘法公式计算：． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 如图，在中，，点在上，过点作，交边于点，点在上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 一个袋中装有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同． （1）从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率； （2）若先从袋中取出个红球，再从中任意摸出一个球，此时“摸到白球”为必然事件，则________； （3）若往袋中再加入个红球，使摸到白球的概率为，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3）17 【解析】 【分析】（1）根据概率的定义进行分析，即可作答． （2）结合必然事件以及一个袋中装有3个红球和5个白球，进行分析，即可作答． （3）结合频数除以频率等于总数，再结合总球数为个，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：一共个球， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为； 【小问2详解】 解：“摸到白球”为必然事件说明袋中没有红球，只有白球， ∵一个袋中装有3个红球和5个白球， ∴， 即先从袋中取出个红球，再从中任意摸出一个球，此时“摸到白球”为必然事件； 【小问3详解】 解：∵往袋中再加入个红球，使摸到白球的概率为， ∴， 解得． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． （1）请在图中画出关于直线对称的图形； （2）求的面积； （3）请在直线上确定一点，使得最短． 【答案】（1）如图所示，即为所求， （2） （3）如图所示，点即为所求， 【解析】 【分析】（1）分别找到点关于直线对称的点，并依次连接，即可得到关于直线的轴对称图形. （2）利用割补法在网格中计算出的面积即可． （3）依据将军饮马模型（轴对称最短路径）：利用“两点之间线段最短”求线段和最小值．取点关于直线的对称点，连接，线段与直线产生的交点就是所求的点，由轴对称可得，则，根据两点之间线段最短可得此时取得最小值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵在的正方形网格中，每个小正方形的边长为， ∴． ∴的面积为． 【小问3详解】 略． 20. 某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间，自行车修好后以原来速度的倍继续骑行，最终到达学校．如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）小明修车前的平均速度是多少？ （3）如果小明的自行车没有发生故障，即他以修车前的速度骑完全程，那么他到达学校的时间比实际时间提前还是推迟？相差多少分钟？ 【答案】（1）时间是自变量；路程是因变量； （2）． （3）提前分钟． 【解析】 【分析】（1）由图即可得出自变量和因变量． （2）根据路程除以时间等于速度即可求解． （3）根据路程除以时间等于速度计算出小明本次正常行驶的总时间和自行车没有发生故障到达的时间，进行对比即可． 【小问1详解】 解：由图可得：时间是自变量，路程是因变量． 【小问2详解】 解：由图可得：小明修车前内行驶了， ∴小明修车前的平均速度是． 【小问3详解】 解：由题意可得自行车修好后的速度为，自行车修好后行驶的路程为， ∴自行车修好后行驶的时间为． ∴小明本次行驶的总时间为． 如果小明的自行车没有发生故障，他以修车前的速度骑完全程的时间为， ∵，， ∴他到达学校的时间比实际时间提前了，相差分钟． 21. 在中，是的角平分线． （1）如图1，若，，求点到边的距离； （2）如图2，点在的延长线上，且，． ①求证：； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）过点作于点，通过证明，得到. （2）①根据三角形外角的性质得到，继而证明； ②根据，得到，根据得到，，继而得到，，最后根据角的和差关系得到． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴点到的距离； 【小问2详解】 解：①略； ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 22. 【教材回顾】 在学习“整式的乘除”时，教材上有这样一个问题：两个相邻整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”相差多少？面对一般性问题时，可以采用特殊化策略尝试解决．为便于研究，设它们“平方的平均数”为A，“平均数的平方”为B． （1）先考虑特殊情形，设两个相邻整数分别为1和2，则，，所以，．请再任选两个相邻整数，计算的值； （2）为探究一般性结论，设两个相邻整数分别为和，请计算的值； （3）【拓展应用】 受上述启发，猜想：对于个连续整数（，且为正整数），它们“平方的平均数”与“平均数的平方”的差是多少？根据前面的经验，可以先考虑特殊情形，如取，4，5…分别计算对应差值，观察计算结果，再探究一般性结论．请直接写出这个差值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意如分别取整数、进行验证即可； （2）根据题意计算即可； （3）分别求出k的值为3，4，5时A、B的值，进而求出对应的的值，再根据所求结果总结规律即可得到答案． 【小问1详解】 解：设两个相邻整数分别为和，则 ，， ∴； 【小问2详解】 解：设两个相邻整数分别为和， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，设最大的数为，则三个数分别为，，， ∴ ， ， ∴； 当时，设第二大的数为，则四个数分别为，，，， ∴ ， ， ∴； 当时，设中间的数为，则五个数分别为，，，，， ∴ ， ， ∴； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可得，“k个连续整数的‘平方的平均数’与这k个整数的‘平均数的平方’的差”为． 23. 如图1，在中，，，为边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点． （1）请找出图中与相等的角，并说明理由； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，点在线段上，且，连接交于点，若，的面积为，求的面积． 【答案】（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，如图， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， 则； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等即可得到； （2）过点作交于点，由等腰三角形的性质得到，利用证明，有，即可证明； （3）过点作交的延长线与点，同理可证，则和，设得到和，以及和，结合面积得的面积为，和的面积为，进一步证明，有，则有，求得，利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交的延长线于点，如图， 同理可证， 则，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的面积为， ∴的面积为，的面积为， 则的面积为， 在和中 ∴， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∴， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末学业水平考试 七年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 古人将对称之美融入书法之中，空间分割均衡与对称是篆书的独特魅力．下列四个选项中的字分别为“盛、京、沈、阳”四字的篆书形式，其中可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据人民日报2026年3月11日消息，我国自主研发的级超高强度碳纤维全球首发，其直径不到头发丝的十分之一，约毫米，拉伸强度为普通钢材的10倍．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个三角形的三边长度分别为，2和5，则的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 5. 如图，一条排水管连续两次转弯后，和原来的方向相同，若第一次转弯时，则第二次转弯时的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形，上述操作能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（ ） A. B. C. D. 9. 某科技小组找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，在镜片后放置光屏正对镜片，不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小，此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑之间的距离 1 按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为，那么估计这副老花镜的度数可能是（ ） A. 110度 B. 140度 C. 160度 D. 180度 10. 如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线交于点；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点．根据以上作图，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若∠A＝37°，则∠A的余角的度数为_____°． 12. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得，则工件内槽宽为________________． 13. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小贤从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为______． 14. “燕几”是世界上最早的一套组合桌．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，这七张桌子的桌面都是长方形，且它们的宽都相等．如图，给出了一种桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为尺，长桌的长为尺，则与的关系可以表示为___________． 15. 如图，在中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，的对应边与线段相交于点，若为等腰三角形，则的度数为______________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）利用整式乘法公式计算：． 17. 如图，在中，，点在上，过点作，交边于点，点在上，且，求的度数． 18. 一个袋中装有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同． （1）从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率； （2）若先从袋中取出个红球，再从中任意摸出一个球，此时“摸到白球”为必然事件，则________； （3）若往袋中再加入个红球，使摸到白球的概率为，求的值． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． （1）请在图中画出关于直线对称的图形； （2）求的面积； （3）请在直线上确定一点，使得最短． 20. 某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间，自行车修好后以原来速度的倍继续骑行，最终到达学校．如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）小明修车前的平均速度是多少？ （3）如果小明的自行车没有发生故障，即他以修车前的速度骑完全程，那么他到达学校的时间比实际时间提前还是推迟？相差多少分钟？ 21. 在中，是的角平分线． （1）如图1，若，，求点到边的距离； （2）如图2，点在的延长线上，且，． ①求证：； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 22. 【教材回顾】 在学习“整式的乘除”时，教材上有这样一个问题：两个相邻整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”相差多少？面对一般性问题时，可以采用特殊化策略尝试解决．为便于研究，设它们“平方的平均数”为A，“平均数的平方”为B． （1）先考虑特殊情形，设两个相邻整数分别为1和2，则，，所以，．请再任选两个相邻整数，计算的值； （2）为探究一般性结论，设两个相邻整数分别为和，请计算的值； （3）【拓展应用】 受上述启发，猜想：对于个连续整数（，且为正整数），它们“平方的平均数”与“平均数的平方”的差是多少？根据前面的经验，可以先考虑特殊情形，如取，4，5…分别计算对应差值，观察计算结果，再探究一般性结论．请直接写出这个差值（用含的代数式表示）． 23. 如图1，在中，，，为边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点． （1）请找出图中与相等的角，并说明理由； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，点在线段上，且，连接交于点，若，的面积为，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $