2.1一元二次方程概念同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，构建从概念理解到实际应用的递进路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次方程定义、一般形式及系数|以选择填空为主，直接考察概念辨析，如判断方程类型、确定系数| |提升层|根的概念、代数式求值|通过根的代入与变形，考察概念灵活应用，如已知根求参数| |综合层|实际应用、新定义问题|结合等腰三角形边长、“美妙方程”等情境，培养应用意识与创新思维|

2.1一元二次方程概念专项练习 答案与解析 一、选择题（共 8 小题，每题 3 分，共 24 分） 1、答案：C 解析：一元二次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为 2，且二次项系数不为 0。 A 选项：方程中含有，是分式方程，不满足整式方程的要求，错误； B 选项：未说明，当时，方程退化为一元一次方程，错误； C 选项：满足一元二次方程的所有条件，正确； D 选项：方程中含有、两个未知数，是二元方程，错误。 2、答案：A 解析：将原方程移项，整理为二次项系数为 3 的一般形式： 其中一次项为，系数为；常数项为。 3、答案：A 解析：方程是一元二次方程，需要满足： 未知数的最高次数为 2，即，解得； 二次项系数不为 0，即，解得。 综上，。 自查：同时考虑了最高次数和二次项系数的限制，排除了的情况，推导正确，答案正确。 4、答案：C 解析：将原方程展开并整理为一般形式： 首先展开左边： 原方程变为： 移项合并同类项： 5、答案：B 解析：已知是方程的根，将代入方程得： ，解得。 同时，该方程是一元二次方程，因此二次项系数，即。 综上，。 6、答案：A 解析：将代入方程，得： ，解得。 自查：代入根的计算过程无误，结果正确，答案正确。 7、答案：D 解析：因为是方程的解，因此满足方程，即，整理得。 对代数式变形： 将代入，得： 8、答案：B 解析：本题题目中方程存在输入笔误，结合题型设置与常规题型，原方程应为（否则代数式无固定值，不符合选择题设置），以此为基础推导： 因为是方程的根，因此。 对高次项降次： 代入代数式： 二、填空题（共 6 小题，每题 3 分，共 18 分） 9、答案：-2 解析：方程是一元二次方程，需要满足： 未知数的最高次数为 2，即，解得； 二次项系数不为 0，即，解得。 综上，。 10、答案：2 解析：将代入方程，得： ，即，解得。 11、答案：2024 解析：因为是方程的解，因此，整理得。 对代数式变形： 代入，得： 12、答案：且 解析：首先，方程是一元二次方程，因此二次项系数，即。 解不等式： 移项得，解得。 综上，解集为且。 13、答案：-3 解析：因为是方程的根，因此。 展开代数式： 将代入，得： 14、答案：2024 解析：因为是方程的根，因此。 对高次项降次： 代入代数式： 自查：降次过程正确，代入后所有含的项抵消，得到固定值，推导正确，答案正确。 三、解答题（共 7 小题，共 56 分） 15、解析与答案 一元二次方程的一般形式为（），据此整理： （1）原方程 移项得一般形式： 其中：二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 （2）原方程 先展开左边： 移项合并同类项：，整理为二次项系数为正的形式： 其中：二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 16、解析与答案 因为是方程的根，因此。 （1）对代数式变形： 代入，得： （2）由方程，可得，且方程的根，因此可以约分： 17、解析与答案 因为是方程的根，因此，由此可得： ，因此； ，且，因此； 将方程两边除以，得，即。 代入代数式： 18、解析与答案 同第 8 题，题目中方程存在输入笔误，原方程应为，以此为基础推导： 因为是方程的根，因此。 对高次项降次： 代入代数式： 19、解析与答案 分两种情况讨论： 当 3 为等腰三角形的腰长时： 此时方程的一个根为 3，将代入方程： ，解得。 此时方程为，两根为 1 和 3，三角形三边为 3、3、1，满足三角形三边关系（，），符合要求。 当 3 为等腰三角形的底边长时： 此时方程的两个根为等腰三角形的两腰，即两根相等，因此方程有两个相等的实数根，判别式，解得。 此时方程为，两根为 2、2，三角形三边为 2、2、3，满足三角形三边关系（），符合要求。 综上，的值为 3 或 4。 20、解析与答案 根据新定义的运算规则，结合题目中参数的设置，可知该运算中为参数，因此： 整理为一元二次方程的一般形式： 因为方程有两个不相等的实数根，因此判别式： 解得。 21、解析与答案 美妙方程的定义为：对于一元二次方程，满足。 （1）判断方程是否为美妙方程： 这里，，，计算： ，满足美妙方程的定义，因此该方程是美妙方程。 （2）求解美妙方程： 首先，该方程是美妙方程，因此满足，其中，因此： ，即。 又因为是方程的根，代入方程得： ，即。 将代入上式： ，解得，则。 因此，该美妙方程为。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1一元二次方程概念专项练习 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（共8小题。每题3分。共24分） 1、下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2、将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为 3 时，一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 3、若是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4、一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 5、若关于 x 的一元二次方程的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 6、若 x=1 是方程的一个根，则 b 的值为（ ） A. B. C. D. 7、若为方程的一个解，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8、已知 m 是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题。每题3分。共18分） 9、若是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是 。 10、已知 x=2 是方程的一个根，则 . 11、已知 a 是方程的解，则代数式的值为 。 12、关于 x 的方程是一元二次方程，则关于 k 的不等式的解集为 。 13、已知 a 是方程的一个根，则（a+4）（a-1）的值为 。 14、已知 a 是方程的根，则的值为 。 三、解答题（共7小题，共56分） 15、（6分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）； （2）。 16、（8分）已知 m 是方程的一个根。 （1）求的值。 （2）求的值。 17、（8分）已知实数 a 是一元二次方程的一个根，求代数式的值。 18、（8分）已知 m 是方程的根，求代数式的值。 19、（8分）如果等腰三角形的一边长是 3，另两边的长是关于 x 的方程的两个根，求 k 的值。 20、（8分）规定：对于任意实数 a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和减法运算，如。若关于 x 的方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围。 21、（10分）已知关于 x 的一元二次方程，如果 a，b，c 满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程。 （1）判断方程是否为美妙方程，并说明理由。 （2）已知关于 x 的美妙方程的一个根是 - 1，求这个美妙方程。 学科网（北京）股份有限公司 $