2.8 直角三角形全等的判定 课时练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦直角三角形全等判定，分层设计从基础概念到综合应用，梯度清晰，通过辨析、推理与证明巩固知识，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|判定方法辨析（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）|单选题1-5直接考查判定条件，如第1题辨析不正确方法，强化概念理解| |中档|性质与判定结合应用|填空题11-15结合图形性质（如角平分线、矩形），第12题动态全等情境，提升几何直观| |综合|多知识点综合证明|解答题16-19需多步推理（如第18题连证全等与线段和差），培养逻辑推理能力|

2.8 直角三角形全等的判定 课时练习 一、单选题 1.下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（    ） A. 两条直角边对应相等。                                       B. 斜边和一锐角对应相等。 C. 斜边和一条直角边对应相等。                             D. 两锐角相等。 2.如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有(   ) A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 3.下列条件不能保证两个三角形全等的是（     ） A. 三边对应相等                                                  B. 两边一角对应相等 C. 两角一边对应相等                                           D. 直角边和一个锐角对应相等 4.如图△ABC和△DEF,下列条件中①∠B=∠E=90°，AC=DF；②∠B=∠E，AB=DE,AC=DF;③在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF;④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；⑤∠A=∠D，BC=EF，∠C=∠F，能证明△ABC≌△DEF的是（   ） A. ③ ⑤                            B. ① ③⑤                            C. ①② ③⑤                            D. ①② ③④⑤ 5.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（    ） A. ∠BAC＝∠BAD           B. AC＝AD或BC＝BD           C. AC＝AD且BC＝BD           D. 以上都不正确 6.如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（   ） A. 7                                           B. 5                                           C. 3                                           D. 2 7.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（   ） A. AE＝DF                             B. ∠A＝∠D                             C. ∠B＝∠C                             D. AB＝DC 8.如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（   ） A. HL                                      B. SAS                                      C. AAS                                      D. SSS 9.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（  ） A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4 10.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是(    ) A. ①②④                           B. ①②③                                 C. ②③④                                 D. ①③ 二、填空题 11.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌________，全等的根据是________． 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ， P ， Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=________时，△ABC和△PQA全等． 13.如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为 ________ cm． 14.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D ， DE⊥AB于E ． 若△ADE的周长为8cm ， 则AB＝________ cm ． 15.如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝________． 三、解答题 16.如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF＝BE，CE＝DF，求证：∠C＝∠D． 17.已知DC=EC，AB∥DC，∠D=90°， AE⊥BC于点E．求证：∠ACB=∠BAC． 18.如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90度，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2 （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请说明理由； （2）AB＝AD＋BC （3）△CDE是不是直角三角形？请说明理由. 19.如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF． （1）求证：AF=DE． （2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF． 答案解析部分 一、单选题 1. D 考点：直角三角形全等的判定 解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确. 如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确. 如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确. 如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误. 故答案为：D. 分析：根据直角三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可一一判断得出答案. 2. D 考点：直角三角形全等的判定 解：根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个. 故答案为：D. 分析：根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个． 3. B 考点：直角三角形全等的判定 解：A、 三边对应相等 （SSS），则三角形全等，正确，不符合题意； B、 两边一角对应相等 ，无边边角定理，不能证明三角形全等，错误，不符合题意； C、 两角一边对应相等（AAS），则三角形全等，正确，不符合题意； D、 直角边和一个锐角对应相等 （ASA），则三角形全等，正确，不符合题意. 故答案为：B. 分析：三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，逐项分析即可判断. 4. A 考点：直角三角形全等的判定 解：  ①∠B=∠E=90°，AC=DF，只有两个要素对应相等不能证明三角形全等，不符合题意； ②∠B=∠E，AB=DE, AC=DF，无边边角定理，不能证明两三角形全等，不符合题意 ; ③在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，则 △ABC≌△DEF （HL），符合题意; ④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，三个角对应相等，不能证明两三角形全等，不符合题意； ⑤∠A=∠D，BC=EF，∠C=∠F，则 △ABC≌△DEF（AAS） ， 符合题意； 综上，只有 ③⑤ 符合题意. 故答案为：A.  分析：三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，直角三角形全等还有斜边直角边定理，逐项分析即可判断. 5. B 考点：直角三角形全等的判定 解：∵AB为公共边，也为 Rt△ABC和Rt△ABD的斜边， ∴ 若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要一组直角边对应相等， 即 AC＝AD或BC＝BD ； 故答案为：B. 分析： 用“HL”证明两个直角三角形全等，需要证明斜边和一组直角边对应相等。现知斜边相等，则只需一组直角边对应相等，据此分析判断即可。 6. B 考点：直角三角形全等的判定 解：∵AC=BC，AE=CD， ∴△AEC≌△CDB（HL）， ∴CD=AE=7，CE=BD=2， ∴ED=CD-CE=7-2=5， 故答案为：B. 分析：根据斜边直角边定理证明△AEC≌△CDB，再由全等三角形的性质定理得对应边相等，则CD和CE的长度可求，于是求出ED的长度。 7. D 考点：直角三角形全等的判定 解：条件是AB=CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD=∠AEB=90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故答案为：D． 分析：这个题目考查的是直角三角形的判定定理的运用。前提条件必须是两个直角三角形，必须有斜边，再加一条直角边，用两个条件即可证明全等。特别注意证明过程的格式书写。 8. A 考点：直角三角形全等的判定 解：在Rt△OMP和Rt△ONP中， ， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， ∴∠MOP=∠NOP， ∴OP是∠AOB的平分线. 故答案为：A. 分析：由作图可知OM=ON ，∠OMP=∠ONP再根据OP是公共边即可作出判断. 9. A 考点：直角三角形全等的判定 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDB=∠OBF，DO=BO， 在△EDO和△FBO中， ∴△DEO≌△BFO(ASA)， ∴S△DEO=S△BFO， 阴影面积   故答案为：A 分析：在正方形ABCD中，根据三角形的的两个角及其夹边对应相等，两个三角形全等，可证△DEO≌△BFO(ASA)，所以阴影部分的面积可以转化为正方形面积的即可。 10.A 考点：直角三角形全等的判定 解：过E作EF⊥AD于F，如图， ∵AB⊥BC，AE平分∠BAD， ∴EB=EF, 又∵AE=AE ∴Rt△AEF≌Rt△AEB ∴AB=AF，∠AEF=∠AEB； 而点E是BC的中点， ∴EC=EF=BE，所以③错误； ∴Rt△EFD≌Rt△ECD， ∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确； ∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确； ∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确． 故答案为：A 分析：过E作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EF,然后利用HL判断出Rt△AEF≌Rt△AEB，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出AB=AF，∠AEF=∠AEB；根据中点的定义从而得出EC=EF=BE；然后利用HL判断出Rt△EFD≌Rt△ECD，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出DC=DF，∠FDE=∠CDE，然后根据线段的和差及等量代换，由AD=AF+FD=AB+DC得出AD＝AB＋CD，根据平角的定义及角的和差得出∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°。 二、填空题 11.△DFE；HL 考点：直角三角形全等的判定 解：EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等分析：根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。 12. 5或10 考点：直角三角形全等的判定 解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等， 理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC， ∴∠C=∠QAP=90°， ①当AP=5=BC时， 在Rt△ACB和Rt△QAP中 ， ∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL）， ②当AP=10=AC时， 在Rt△ACB和Rt△PAQ中 ， ∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL）， 故答案为：5或10． 分析：根据直角三角形全等的判定定理，分别证明三角形全等，即可得到答案。 13. 12 考点：直角三角形全等的判定 解：连接BE， ∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E， ∴∠A=∠BDE=90°， ∴在Rt△DBE和Rt△ABE中， BD=AB(已知),BE=EB(公共边)， ∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)， ∴AE=ED， 又∵AE=12cm， ∴ED=12cm. 故填12. 分析：根据直角三角形全等的判定定理容易证得Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，从而可以得出结论 14. 8 考点：全等三角形的性质，直角三角形全等的判定（HL），角平分线的性质 解：∵∠C=90∘，BD平分∠CBA，DE⊥AB， ∴CD=DE， 在Rt△BCD和Rt△BED中， ∵ ∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)， ∴BC=BE， ∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB， ∵△ADE的周长为8cm， ∴AB=8cm. 故答案为：8cm. 分析：根据题意，结合角平分线的性质，即可得到CD=DE，在题目中，结合已知条件证明直角三角形BCD≌直角三角形BED，即可根据全等三角形的性质得到BC=BE，将△ADE的周长转化为三角形ACB中已知边的长度求出答案即可。 15. 考点：三角形的外角性质，直角三角形全等的判定，角平分线的性质 解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=40°， ∴∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=(x−40)°， ∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x°−(x°−40°)−(x°−40°)=80°， ∴∠CAF=100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， PA=PA PM=PF， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)， ∴∠FAP=∠PAC=50°. 分析： 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案. 三、解答题 16. 证明：∵AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AF＝BE， ∴AE＝BF， ∵CE＝DF， ∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠C＝∠D． 考点：直角三角形全等的判定 分析：先根据等量加等量和相等得出 AE＝BF， 然后利用“HL”判断Rt△ACE≌Rt△BDF，由全等三角形的对应角相等可得 ∠C＝∠D． 17. 证明：∵AB∥DC ∴∠ACD＝∠BAC ∵AE⊥BC ∴∠AEC＝90° 在Rt△ACE和Rt△ACD中 ∴Rt△ACE≌Rt△ACD（HL) ∴∠ACB＝∠ACD. ∴∠ACB＝∠BAC. 考点：直角三角形全等的判定 分析：根据直角三角形的判定定理（HL）可判断出三角形全等，根据全等三角形的性质可得出对应角相等。 18. （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等 ， 证明：∵ ∠A=∠B=90 °， AE=BC， ∵∠1=∠2 ， 则DE=CE， ∴ Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）； （2）证明，∵Rt△ADE≌Rt△BEC， 则AD=BE，AE=BC， ∴AE+EB=AD+BC， 即AB=AD+BC. （3）解：∵Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴ ∠AED=∠BCE， ∵ ∠AED+∠BEC= ∠BCE+∠BEC=90°， ∴∠DEC=90°. 考点：直角三角形全等的判定 分析：（1）利用斜边直角边定理，证明两三角形全等即可； （2）由全等三角形对应边分别相等，结合等式的性质，即可证得AB=AD+BC； （3）由全等三角形对应角相等，结合等式的性质，求得∠AED和∠BEC之和等于90°，则∠DEC等于90°。 19. （1）证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE， ∵∠A=∠D=90° ∴△ABF与ADCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL）， ∴AF=DE （2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证）， ∴∠AFB=∠DEC， ∴OE=OF， ∵OP⊥FE ∴OP平分∠EOF 考点：直角三角形全等的判定 分析：（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt △ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE； （2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $