13.3.1 三角形的内角（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形内角和定理及直角三角形性质与判定，先通过平行线辅助线证明内角和为180°，再延伸至直角三角形两锐角互余的性质及两角互余的判定，构建从定理证明到性质应用的学习支架。 资料设计分层练习与情境化题型，“即学即练”结合折叠、三角板摆放等问题，培养几何直观与创新意识，“典例精析”规范符号语言书写，强化推理能力，课中助教师突破重难点，课后供学生查漏补缺，提升应用意识。

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十三章 三角形 13.3.1三角形的内角 课时目标 1.熟记三角形内角和为180°，能看懂平行线辅助线证法，会用符号语言书写定理。 2.掌握直角三角形定义、两锐角互余的性质，规范写出性质对应的几何推理格式。 课标要点 3理解直角三角形判定方法，已知两角互余，能完整推理证明三角形为直角三角形。 4.灵活运用内角和、直角三角形性质解决基础角度计算题，规范几何答题步骤。 重点： 1.三角形内角和定理内容与几何证明，熟练利用180计算三角形内未知角度。 2直角三角形两锐角互余的性质，以及两角互余可判定直角三角形两个核心结论。 学习重难点 难点： 1借助平行线作辅助线证明内角和定理，准确结合平行线性质完成等量代换推导。 2区分直角三角形性质与判定的逻辑关系，做题时不混淆已知条件与推导结论。 清主线 课时内容导图 定理内容：∠A+∠B+∠C=180 三角形内角和定理 辅助线：过顶点作对边平行线DE∥BC 证明方法 依据：两直线平行，内错角相等 推导：平角180°等量代换得内角和 定义：有一个角为90°，Rt△ABC 三角形 直角三角形相关知识 性质：两锐角互余{几何语言，∠C=90°→∠A+∠B=90° 的内角 判定：两角互余则为直角三角形{」 几何语言：∠A+∠B=90°→△ABC为直角三角形 利用三角形的内角和求角度 直角三角形的性质 直角三角形的判定 常见题型 三角板的角度计算 三角形同一个顶点的高线与角平分线 与方向角有关的角度计第 三角形的折叠问题 1/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理新知 教材全盘梳理 父知识点一 三角形内角和定理 1.定理内容 三角形三个内角的和等于180°。 符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 2.标准证明方法 过△ABC的顶点A作DE‖BC。 根据两直线平行，内错角相等，可得∠B=∠DAB,∠C=∠EAC; D、A、E共线构成平角，即∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°； 等量代换后得到∠B+∠BAC+∠C=180°。 D 常用结论 ①三角形任意一个内角=180°-剩余两个内角之和： ②一个三角形最多只能有1个直角或1个钝角，至少存在2个锐角。 《父即学即练 1.如图，直线a∥b,∠1=50°∠3=100°，则∠2的度数为() 3 A.20 B.30° C.80° D.100° 【答案】B 【详解】解：如图， 2/48 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 34公 .a∥b, .∠1=∠4=50°， ∠3=100°， .∠2=180°-∠3-∠4=30° 2.如图，在△ABC中，∠A=61°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点F处，若∠DEF=52°， 则∠BDF的度数为() D B F A.58 B.46° C.50° D.32 【答案】B 【分析】 【详解】解：，∠A=61°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点F处， :.∠DFE=∠A=6I°，∠ADE=∠FDE, ,∠DEF=52° .∠FDE=180°-∠DEF-∠DFE=180°-52°-61°=67° ∠BDF=180°-∠ADE-∠FDE=180°-67°-67°=46°， 故选：B 《◇知识点二直角三角形的性质与判定 1.定义 有一个角为直角的三角形叫做直角三角形，记作Rt△ABC。 2.性质 直角三角形的两个锐角互余。 符号语言：.Rt△ABC,∠C=90°，.∠A+∠B=90°。 3/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.判定 有两个角互余的三角形是直角三角形。 符号语言：，∠A+∠B=90°，·∴.△ABC是直角三角形。 B 《。即学即练 3.一个直角三角形的一个锐角为45度，则另一个锐角的度数是 度 【答案】45 【详解】解：：直角三角形的一个锐角为45度，直角三角形两锐角互余， ∴.另一个锐角的度数为90°-45°=45° 4.在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多10°，较大的锐角的度数为°. 【答案】70 【详解】设较小锐角的度数是x度，则较大的锐角的度数是(3x+10)°， 根据直角三角形两锐角互余，可得，x+3x+10=90, 解得x=20 将x=20代入3x+10,得3×20+10=70 即较大的锐角的度数为70°. 通题型 解题能力构建 4/48 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型01利用三角形的内角和求角度 解题贴士 1.已知两个内角，求第三个内角：未知角=180°-已知两角相加。 2.已知角度比例（如∠A:∠B:∠C=1:2:3):设每份为x,列方程x+2x+3x=180°，解方程求出 各角度。 典1例1精析 【例1】如图，∠1+∠2的值为( 30 70 D C A.60° B.70° C.80° D.90° 【答案】C 【详解】解：，∠1+∠2+30°+70°=180°. .∠1+∠2=80° 【例2】如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD=∠ABC=35°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED, 则∠CDE= 【答案】40° 【详解】解：，∠BAD=∠ABC=35°， .∠BDA=180°-∠BAD-∠ABC=110°， ∴.∠ADC=180°-∠BDA=70°， 由折叠的性质可得∠ADE=∠BDA=110°. .∠CDE=∠ADE-∠ADC=40° 变|式1巩1固 5/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠A=100°，1=∠2，∠3=∠4.则∠1+∠4的值为() A 100° A.45° B.60° C.50° D.40° 【答案】D 【详解】解：在△ABC中，∠A=100°， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-100°=80°， ∠1=∠2，∠3=∠4， .4C 4-c8 <1+<4= ∠ABC+5∠ACB=(∠ABC+∠ACB), ∠1+∠4= 2×800=400 【变式1-2】如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=35°，∠2=22°，则∠B= 2 B E D C 【答案】42°142度 【详解】解：，AE平分∠BAC, ∴.∠1=∠EAD+∠2， :∠1=35°，∠2=22°， ∴.∠EAD=∠1-∠2=35°-22°=13°， .∠BAD=∠1+∠EAD=35°+13°=48°， :AD⊥BC, ∴.∠ADB=90° .∠B=90°-∠BAD=90°-48°=42°. 6/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠A=36°，∠ACB=74°，CD是AB边上的高，过点D作DE∥BC交AC 于点E. D E B (1)求∠B的度数： (2)求∠CDE的度数. 【答案】(1)70° (2)20° 【分析】 【详解】(1)解：：∠A=36°，∠ACB=74°， ∠B=180°-∠A-∠ACB .∠B=180°-36°-74°=70° (2)解：，CD为AB边上的高， .∠CDB=90°， ∠B=70°， .∠DCB=180°-∠B-∠CDB. .∠DCB=180°-70°-90°=20°， DE∥BC, .∠CDE=∠DCB=20° ◆题型02直角三角形的性质 典1例1精1析 【例3】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°，则∠A为°. 7/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A 【答案】35 【详解】解：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ∠A+∠B=90°， :CD是斜边AB上的高， .CD⊥AB,即∠CDB=90°， ∴.∠BCD+∠B=90°， 根据同角的余角相等，可得：∠A=∠BCD, ∠BCD=35°， .∠A=35°. 【例4】如图，AD//CB,CA⊥BA,若LC=30°，则∠DAB=() A.40° B.60° C.70° D.150° 【答案】B 【详解】解：，CA⊥BA, .∠CAB=90° :AD∥CB, .∠DAC+∠C=180°， :∠C=30°， .∠DAC=180°-∠ACD=180°-30°=150° .∠DAB=∠DAC-∠BAC=150°-90°=60° 变|式巩1固 【变式2-1】在△ABC中，高BD,CE所在直线相交于点H(点H不与点A,B,C重合).若∠A=70° 8/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠BHC= 【答案】 70或110 【详解】解：分两种情况讨论： 当△ABC为锐角三角形时， D BD,CE是△ABC的高，∠A=70°， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在四边形AEHD中，∠EHD=360°-∠A-∠ADH-∠AEH=360°-70°-90°-90°=110°， :∠BHC=∠EHD(对顶角相等)， .∠BHC=110°： 当△ABC为钝角三角形，且∠ACB是钝角时， E D BD,CE是△ABC的高， .∠ABD=90°-∠A=20°，∠BEH=90°， .∠BHC=90°-∠ABD=90°-20°=70°： 当△ABC为钝角三角形，且∠ABC是钝角时， A D B HE :BD,CE是△ABC的高， .∠ABD=90°-∠A=20°，∠BEH=90°. 9/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠HBE=∠ABD=20° .∠BHC=90°-∠HBE=90°-20°=70°： 综上所述，∠BHC=70°或110°」 【变式2-2】如图，在直角三角形ABC与直角三角形ACE中，∠B=50°，∠BCD比∠ACE大20°，则 ∠EAD= B E D 【答案】15°15度 【详解】解：：∠BCD-∠ACE=20°，∠BCD+∠ACE=∠ACB=90°， .∠BCD=55°，∠ACE=35°. .在RtAACE中，∠CAE=90°-∠ACE=90°-35°=55°， :∠B=50°， ∴在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠B=40°， :.∠EAD=∠CAE-∠BAC=55°-40°=15° 【变式2-3】如图，ABIICD,直线EF与AB、CD分别交于点E、F,∠EFD的平分线与AB交于点G, 过点G作GH1EF于点H,∠I=20°，则∠2=度. H A 【答案】50 【详解】解：：FG平分∠EFD, .∠EFD=2∠1=40°. .ABII CD, .∠HEB=∠EFD=40° GH⊥EF, ∴.∠2=90°-∠HEB=90°-40°=50° 10/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型03直角三角形的判定 典例1精1析 【例5】下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是() A.∠A=90°-∠B B.∠A+∠B=∠C C.AB:BC:AC=1:2:3 D.AC是BC边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A:由∠A=90°-∠B可得∠A+∠B=90°，根据三角形内角和定理可得 ∠C=180°-（∠A+∠B)=90°，则△ABC是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B:,∠A+∠B=∠C, 又：∠A+∠B+∠C=180°， ∴.2∠C=180°，即∠C=90°， ∴.△ABC是直角三角形，故B不符合题意： 对于选项C::AB:BC:AC=1:2:3, 设AB=k,BC=2K,AC=3k ·.AB+BC=k+2k=3k=AC. :.AB、BC、AC无法构成三角形，故C符合题意： 对于选项D:AC是BC边上的高， .AC⊥BC, 、∠ACB=90°， ∴.△ABC是直角三角形，故D不符合题意. 【例6】如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE平分∠ACB交AB于点E. F ED B (1)求∠AEC的度数： (2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=75°.判断△CFD的形状，并说明理由. 【答案】(1)105° (②)△CFD是直角三角形，理由见解析 11/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)解：∠A=30,∠B=60° ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=90°， :CE平分∠ACB, G:ZBCE=LACE)∠ACB=459 ∴∠AEC=180°-∠A-∠ACE=105°： (2)解：△CFD是直角三角形，理由如下： 由(1)得：∠BCE=45°， CD⊥AB, ∴.∠BDC=90°， .∠BCD=90°-∠B=30°， ∠DCF=∠BCE-∠BCD=l5°， :∠CDF=75°. ∴.∠CFD=180°-∠CDF-∠DCF=90°， ∴△CFD是直角三角形 变|式巩1固 【变式3-1】如图，BD平分∠ABC,∠ADB=60°，∠BDC=80°，∠C=70°，则△ABD是三角形. D 【答案】直角 【详解】解：∠DBC=180°-∠BDC-∠C=30°， :BD平分∠ABC, ·.∠ABD=∠DBC=30° :∠ABD+∠ADB=90°， ∴.△ABD是直角三角形. 【变式3-2】如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AB、AC上，连接DE,若I=∠2，则△ADE 12/48 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是 三角形 2 B 【答案】直角 【分析】 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°， .∠2+∠A=180°-∠C=90°， ∠1=∠2， .∠1+∠A=90°， .∠ADE=180°-（∠1+∠A)=90°， ∴△ADE是直角三角形 故答案为：直角， 【变式3-3】如图，CE平分∠ACB,∠A=38°，∠B=60°，∠DCE=11°.求证：△BCD是直角三角形. ED 【答案】详见解析 【分析】 【详解】证明：∠A=38,∠B=60°， .∠ACB=180°-∠A-∠B=82°， CE平分∠ACB, ∠BCE=∠4CB=41°. 2 :∠DCE=11°， ∴.∠BCD=∠BCE-∠DCE=30°， ∴.∠BCD+∠B=90° 13/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△BCD是直角三角形 ◆题型04三角板的角度计算 典1例1精析 【例7】将一副三角板如图所示摆放，∠A=30°，∠D=45°，若三角板ABC保持不动，将三角板DEF绕 点E以每秒15°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒(0<t<12),当斜边DF与三角板ABC的一条边平行 时，则所有满足条件的t的值为() B A.2或5 B.3或4或5 C.2或5或9 D.3或5或9 【答案】D 【详解】解：如图，DF∥AC时， B DF∥AC .DF⊥BC, 又.ME⊥BC ∴.ME∥DF .∠MED=∠EDF=45° 当DF∥AB时，如图， 14/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=609 .∠DHE=120° 又.∠D=45° ∴.∠DEH=180°-∠D-∠EHD=15 .∠MED=90°-∠DEH=90°-15°=75°， 语 当DF∥BC时，如图， .∠NED=∠EDF=45 .∠MED=90°+45°=135° a1=135=9 15 M 综上所述，满足条件的t的值为3或5或9. 【例8】如图1，△MBC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上(P点在AMBC内)，使三角板PMN的 两条直角边PM、PW恰好分别经过点B和点C. 2 B 图1 图2 (1)若∠A=52°，则∠1+∠2=」 (2)如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△MBC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍 15/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 然分别经过点B和点C,∠I,∠2与∠A的关系是 【答案】 38 ∠2-∠1=90°-∠A 【分析】 【详解】解：(1)：∠A=52°， .∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°， ∠P=90°， .∠PBC+∠PCB=90°， .∠ABP+∠ACP=128°-90°=38°， 即∠1+∠2=38° 故答案为：38： (2)∠2-∠1=90°-∠A.理由如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A, :∠MPN=90°， ∠PBC+∠PCB=90°， ∴.（∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°， 即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP-∠ABC-∠PCB=90°-∠A, ∠ACP-∠ABP=90°-∠A」 即∠2-∠1=90°-∠A； 故答案为：∠2-∠1=90°-∠A, 变式巩1固 【变式41】将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一 条直线上)，那么图中= 2 【答案】75 【详解】解：如图，在△ABC中，∠B=60°，在△DEF中，∠FED=45°， 在△BCE中，∠a=180°-∠B-∠FED=75°. 16/48 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C E DB 【变式4-2】两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点卫重合，保持三角板ABC不动，将 三角板BDE绕着点B按逆时针以每秒15°的速度旋转360°后停止.在此旋转过程中，当旋转时间t= 秒时，三角板BDE的边DE与三角板ABC的边BC恰好平行. D B C(E) 【答案】2或14 【分析】 【详解】解：如图所示：当DE第一次平行于BC时， D E B :DE∥BC, .∠EBC=∠E=30°， 30 1=52(秒)： 如图所示：当DE第二次平行于BC时， B E D 17/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE∥BC, ∠CBD=∠D=180°-90°-∠E=60° ∴旋转了360°-∠CBD-∠DBE=360°-60°-90°=210°， 210 “ts 15 4(秒)： 综上，旋转时间t=2或14秒时，三角板BDE的边DE与三角板ABC的边BC恰好平行 故答案为：2或14. 【变式43】如下图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中 ∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45° (1)若∠BCD=110°，则∠ACE= (2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由. (3)若按住三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，则当∠BCD等于多少度时，AB∥CE？请画 出图，并说明理由. 【答案】(1)70° (2)∠BCD+∠ACE=180°.理由见解析 (3)当∠BCD等于30°或150°时，AB∥CE,见解析 【分析】 【详解】(1)解：，∠ACB=∠DCE=90°，∠BCD=110°， ∴.∠ACD=∠BCD-∠ACB=110-90°=20 .∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-20°=70°， 故答案为：70°. (2)解：∠ACB=∠DCE=90, .∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD .∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD .∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180° 18/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：∠BCD+∠ACE=I80° (3)解：①如图①所示，当∠BCD=30°时，AB∥CE」 :LBCD=30°，∠DCE=90°， .∠BCE=∠B=60° .AB∥CE. ②如图②所示，当 时， B D 图① 图② ∠BCD=150° AB∥CE ∠BCD=150°，∠ACB=∠ECD=90°， .∠ACE=30°，∴.∠A=∠ACE=30° .AB∥CE 综上所述，当∠BCD等于30°或150°时，AB∥CE 故答案为：当∠BCD等于30°或150°时，AB∥CE 【点睛】本题考查了角的和差关系与平行线的判定，解题关键是熟练应用角的和差关系分析角的数量关系， 以及利用平行线的判定定理判断直线是否平行 ◆题型05三角形同一个顶点的高线与角平分线 典1例1精析 【例9】如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O,直线AO与BC相交于点D, AE⊥BC于点E,∠ABC=60°，∠ACB=40°，则∠BOC=度，∠DAE=度. A B ED 19/48 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 130 10 【详解】解：：△ABC中，OB,OC分别为∠ABC,∠ACB的角平分线，∠ABC=60°，∠ACB=40°， ∴.∠AC0=∠BCO=30°，∠AB0=∠CB0=20° ÷∠B0C=180°-∠CB0-∠BC0=180°-20°-30°=130°， ,∠ABC=60°，∠ACB=40° .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80° 又AD是∠BAC的角平分线， :∠DAB=∠BAC=40 AE⊥BC, .∠AEB=90° .∠BAE=90°-∠ABC=30° ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°-30°=10° 故答案为：130,10」 【例10】如图，在△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC,∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE与 ∠AEC的度数. y B D E C 【答案】∠DAE=15°，∠AEC=105° 【详解】解：~∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°， ∴.∠BAC=60°， :AE平分∠BAC, ∠BME=∠C1E=B4C=x60=30 AD是BC上的高， .∠B+∠BAD=90°， .∠BAD=90°-∠B=90°-75°=15°， 20/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-15°=15°， 在△AEC中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-45°-30°=105°， 答：∠DAE=15°，∠AEC=105°. 变式巩固 【变式5-1】在三角形ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠DAE=10°，∠ABC=50°，则∠ACB的度 数为 【答案】30°或70 【详解】解：如图，当点E在线段CD上时， A 是 的高， B DE C:AD△ABC .∠ADB=90° .∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°， ∠DAE=10°， ∴.∠BAE=40°+10°=50°， :AE是∠BAC的角平分线， ∴，∠BAC=2∠BAE=2×50°=100°， .∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-50°-100°=30°： 如图，当点E在线段BD上时， 是 的高， EDC.:AD△ABC .∠ADB=90°， ∴.∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°， .∠DAE=10°， .∠BAE=40°-10°=30°， :AE是∠BAC的角平分线， 21/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°. ∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-50°-60°=70° 综上所述，∠ACB的度数为30°或70°. 【变式5-2】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°， 求∠C的度数 B E D 【答案】60° 【详解】解：，AD是BC边上的高， .AD⊥BC, ∴∠ADB=90° :∠B=50°， .∠BAD=90°-50°=40°， :∠EAD=5°、 .∠BAE=∠BAD-∠EAD=40°-5°=35°、 :AE平分∠BAC, .∠BAC=2∠BAE=70° ∴.∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60° 【变式5-3】如图，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线. B D E (1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠AEC和∠DAE的度数： (②)若∠B=a,∠C=B,且a>B，,直接写出∠AEC和LDAE的度数（用含a,B的代数式表示）. 【答案】(1)∠AEC=110°，∠DAE=20° 94c=0+.D16=92 2 22/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°， :AE是△ABC的角平分线， ÷∠CAE=∠BAC=x80°=40°， 在△AEC中，由三角形内角和定理得：∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-30°-40°=110°， AD是△ABC的高， .∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-30°=60°， ∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=60°-40°=20°： (2)解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-a-B, :AE是△ABC的角平分线， 2CaE-=B1c=5n80-a-j=90-a2 29 在△ABC中， 由三角形钠角和定理：乙4C=180-2C-∠C45=180-B-90p.生）=90+“2， 2 :AD是△ABC的高， ∠ADC=90° 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-B, ∠DME=∠DAC-∠CAE=(90-B)-90_a+E）= a-B 2 2 >题型06与方向角有关的角度计算 典1例精1析 【例11】如图，某时刻轮船位于灯塔A南偏东50°方向的B处，小岛C在该轮船北偏东30°的方向上.若 ∠C=35°，则小岛C在灯塔A() 北 北 A, 南 A.北偏东55°的方向上 B.北偏东60°的方向上 C.北偏东65°的方向上 D.北偏东75°的方向上 23/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】解：如图， 北 C 4」 北 南 根据题意得：∠1=∠2=50°，∠3=30°， ∴∠ABC=∠1+∠3=80°， ∠C=35° .∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-35°-80°=65° .∠4=180°-∠2-∠BAC=180°-50°-65°=65°， 即小岛C在灯塔A北偏东65°的方向上. 故选：C 【例12】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东75°方 向，求从C岛看A,B两岛的视角∠ACB= 北 南 B 【答案】90° 【详解】解：如图： 南 D 由题意得：BE∥AD,∠BAD=40,∠CAD=15,∠EBC=75°， .∠EBA=∠BAD=40°， .∠BAC=∠BAD+∠CAD=40°+15°=55°. .∠CBA=∠EBC-∠EBA=75°-40°=35°. 24/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-35°=90°， ∴从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的度数为90°， 故答案为：90° 变式巩1固 【变式6-1】如图，这是A,B,C三岛的平面图，其中∠ACB=75°，∠BAC=40°，C岛在B岛的西北方向上， 则B岛在A岛的() 北 北 A.北偏东70°方向上 B.北偏东65°方向上 C.北偏西70°方向上 D.北偏西65°方向上 【答案】A 【分析】 【详解】解：如图， 北 F 北 D ,C岛在B岛的西北方向上， ∠FBC=45°， ,∠ACB=75°，∠BAC=40° :.∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=65°， ∴.∠ABF=∠FBC+∠ABC=110°， .AD//BF, ∴.∠DAB+∠ABF=180° ∴∠DAB=180°-∠ABF=70°」 .B岛在A岛的北偏东70°方向上， 故选：A. 25/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式6-2】如图，C处在A处的南偏西35°方向，E处在A处的南偏东20°方向，E处在C处的北偏东 75°方向，则∠AEC的度数为() 北 南 A.60° B.70° C.75° D.85 【答案】D 【详解】解：C处在A处的南偏西35°方向，E处在A处的南偏东20°方向，E处在C处的北偏东75°方向， 由题意得：∠CAB=35°，∠BAE=20°，∠DCE=75°，AB∥CD, .∠DAC=∠CAB=35°， ∴.∠CAE=35°+20°=55°，∠ACE=75°-35°=40°， ∴.∠AEC=180°-55°-40°=85° 北 Y AD E 故选D 【变式6-3】如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A的南偏西48°方向，B岛在A的南偏东22°方向，C 岛在B的北偏西52°方向，则∠ACB的度数是() 南 北 B A.60° B.70° C.80° D.90° 【答案】C 26/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：由题意得，AS‖BN,∠SAC=48°，∠SAB=22,∠NBC=52°， AS II BN, .∠NBA=∠SAB=22°， .∠BAC=48°+22°=70°，∠ABC=52°-22°=30°， .∠ACB=180°-70°-30°=80°， 故选：C 南 北 B 题型07三角形的折叠问题 典1例精1析 【例13】如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C落在C'处.若LBFE=70°，则∠BFC'的度数为 () B A.20° B.30° C.40° D.45° 【答案】C 【详解】解：折叠的性质可得：∠EFC=∠EFC', :∠BFE=70° .∠EFC=180°-∠BFE=110°. ∴.∠EFC'=∠EFC=1I0°， .∠BFC'=∠EFC'-∠BFE=110°-70°=40° 【例14】如图，△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，E、F分别是边AB、AC上的点，将△AEF沿着EF 折叠，得到△4AEF,当AF‖BC时，∠AEF的度数是 27/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 【答案】120°或30° 【详解】aABC中，∠B=90°，∠A=30, .∠C=60°， 如图，当点A在AB下方时， -A ,AF川BC .∠AFA=∠C=60°， 由折可知，∠AFE=∠AFE=AA=30, ∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-30°-30°=120°： 如图，当点A'在AB上方时， E 2--------:AF‖BC ∴.∠AFC=∠C=60°， ∠AFA=180°-∠A'FC=120°， 由折叠可知：∠AE=∠4FE=60-∠A)=120, .∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-30°-120°=30°： 综上可知，∠AEF的度数是120°或30°. 变|式|巩固 【变式7-I】如图，长方形纸片ABCD中，E为边AD上一点，将纸片沿EB,EC折叠，点A落在点A的 28/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 位置，点D落在点D的位置（点A在点D右侧）·若∠A'ED'=20°，则∠BEC= D D 【答案】80°/80度 【详解】解：设∠AEB=x,∠DEC=y, 则∠AEB=x,∠D'EC=y, ∠A'ED'=20°， ∴.∠BED'=x-20°，∠CEA'=y-20° .∠BEC=180°-∠AEB-∠DEC=180°-x-y, ∠BEC=∠BED'+∠AED'+∠CEA'=x-20°+20°+y-20°=x+y-20°， .180°-x-y=x+y-20°， 化简得x+y=100°， .∠BEC=x+y-20°=80° 【变式7-2】如图，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，点M,N分别在边AB,BC上，将∠B沿MN折 叠，点B落在边AC上的点B处.若∠NB'C=90°，则∠MNB的度数为. B 【答案】75 【详解】解：，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°， .∠C=180°-∠A-∠B=60° .∠NB'C=90°， .∠B'NC=90°-∠C=30°， 由折叠的性质可得∠BNM=∠B'NM, ,∠BNM+∠B'NM+∠B'NC=180°， 29/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &∠BNM=∠BNM-180°-∠BNC=75 2 【变式7-3】如图，在△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落 到点F的位置.如果DF∥BC,∠B=50°，∠CEF=30°，那么∠A=一度. 【答案】50 【详解】解：，DF∥BC,∠B=50°， ∴∠ADF=50° :△DEF由△DEA翻折而成， S∠ADE=LEDF=)ZADF 2×50°=259，∠A=∠F ∠CEF=30°， ∠AED-180+30=105度. 2 ∴.∠A=180°-∠AED-∠ADE=180°-105°-25°=50° 刷好题 课时巩固精炼 c基础通关 1.如图，AD是△ABC的高线，∠C=45°，则∠DAC的补角为() B D A.45° B.115 C.125° D.135 【答案】D 【详解】解：，AD是△ABC的高线， 30/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD⊥BC, .∠ADC=90°， .∠C=45°， :.∠DAC=180°-∠ADC-∠C=45°， ∴.∠DAC的补角为180°-∠DAC=135° 2.如果三角形的三个内角分别是(2x-y)°，(x+)°，x°，则x的值为() A.40 B.45 C.50 D.55 【答案】B 【详解】解：，三角形的内角和为180°， .(2x-y)°+(x+y)°+x°=180°， .2x-y+x+y+x=180 4x=180. 解得x=45, 因此x的值为45 3.将三角板ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线凸上，若11，∠1=35°，则 ∠2的度数是() 2 A.20° B.25° C.30° D.35 【答案】B 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°， .∠CAB=60°： 1∥12，∠1=35°， .∠CAB-∠2=∠1，即60°-∠2=35°， 解得∠2=25° 4.图①是共享单车的实物图，图②是其示意图.已知4BI‖CD,AM∥CE,点C,B,E三点在同一条 31/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线上，且∠BCD=55°，∠BAC=45°，则∠CAM的度数为() 图① 图② A.65° B.70° C.75° D.80° 【答案】D 【详解】解：AB∥CD, ∠ABC=∠BCD=55°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°， :AM∥CE, .∠CAM=∠ACB=80° 5.一副三角尺按如图方式放置，CF∥AB,则∠EFC的度数为() A 2 B A.75° B.65 C.60° D.45° 【答案】A 【详解】解：由题可知∠ACB=∠DCE=90°，∠3=45°，∠E=60°， :CF∥AB ∴.∠1=∠3=45°， ,∠ACB=90° .∠2=∠ACB-∠1=90°-45°=45°， :∠2+∠E+∠CFE=180°， .∠EFC=180°-∠2-∠E=180°-45°-60°-75° 6.如图，ABI‖CD,将一副直角三角板作如下摆放，∠EGF=∠MPN=90°，∠GEF=60°，∠PNM=45°， 则∠BEG=() 32/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B G N D A.130° B.135 C.140° D.145° 【答案】B 【详解】解：如图，延长FG交AB于点K, AK E B G C M NDAB∥CD ∠EKG=∠PNM=45°. ∠EGF=90°， .∠EGK=90° 在RIAEKG中，∠KEG=90°-∠EKG=90°-45°=45°， ∴.∠BEG=180°-∠KEG=180°-45°=135 7.一个三角形的两个内角的度数分别为36°和54°，按角分类它是三角形. 【答案】直角 【详解】解：第三个内角的度数为180°-36°-54°=90°」 因此该三角形是直角三角形. 8.如图，DE⊥AB,∠A=30°，∠D=55°，则∠ACB的度数为一· E D 【答案】 115° 【详解】解：，DE⊥AB, 33/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BED=90°， ∠D=55°， :.∠B=180°-∠BED-LD=35°， 又，∠A=30°， .∠ACB=180°-（∠A+∠B)=115o 9.如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点.若∠A=68°，则∠BOC的度数为 B C 【答案】124°/124度 【详解】解：：OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB, ∴208c=4Bc,∠0cB-54CB, ,∠A=68°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=112°， i∠08c+∠0cB-ABc+54cB=ABc+∠4cB)=56。 :.∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=124° 10.如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测 得B在A的南偏西35°方向上，C在A的南偏东22°方向.若轮船行驶到C处，那么从C处看A,B两处的 视角∠ACB是多少度？ 北 南 B 34/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】83 【详解】解：依题意知，∠DBC=75°，∠1=22°，∠2=35° :BD∥AE .∠DBA=∠2=35° .∠ABC=∠DBC-∠DBA=75°-35°=40° ∴在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-(A+∠2)-∠ABC=-83°， D 北 EY 南 B I1.如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF. A D B E C (1)若∠B=80°，∠F=30°，求∠A: (2)若BC=5,EC=3,则CF= 【答案】(1)70° (2)2 【分析】 【详解】(I)解：因为△DEF由△ABC沿BC方向平移得到， 所以∠ACB=∠F=30°， 又因为∠B=80°， 所以∠A=180°-30°-80°=70°： (2)解：由平移可知，EF=BC, 所以EF-EC=BC-EC, 即CF=BE. 又因为BC=5,EC=3 35/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以BE=BC-EC=5-3=2, 所以CF=BE=2. 12.如图，点F在线段AB上，点E,G在线段CD上，AB∥CD,∠I=∠2. D E G (①)请判断FG与AE的位置关系，并说明理由： (2)若BC平分∠ABD,FGLBC,∠D=110°，求∠A的度数. 【答案】I)FG∥AE,见解析 (2)550 【分析】 【详解】(1)证明：FG∥AE,理由如下： 2入 E G ABII CD ∠1=∠FGC ,∠1=∠2 .∠2=∠FGC, :FG∥AE: (2)解：AB‖CD ∴.∠ABD+∠D=180° .∠D=110°， .∠ABD=180°-110°=70° :BC平分∠ABD, 36/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .∠ABC=5∠ABD=35° .FG⊥BC. 1=55°. FG∥AE, ∴.∠1=∠A=55°. ©素养提升 13.将一副分别含30°角和45°角的直角三角板按如图所示方式摆放，∠B=∠F=90°，点D在AB边上， 保持点D位置不动，将△DEF绕点D旋转，始终保持DE边与BC边相交，则∠I和∠2的数量关系是 () A V45° 30°>E D B A.∠1+∠2=75°B.∠1+∠2=90° C.∠1-∠2=30° D.1-∠2=45° 【答案】C 【详解】解：如下图所示，在△DEF中，∠E=30°，∠F=90°， ∴∠FDE=60°， ∠1+∠3=180°-60°=120°， ∠3=120°-∠1， ∠B=90°， .∠2+∠3=90°， .∠2+120°-∠1=90°， .∠1-∠2=30° 45 30>E D 3 37/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.一个小长方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图，重力G的方向与水平地面OB垂直，摩擦力 的方向与斜面平行，支持力F的方向与斜面垂直.若斜面的坡角∠I=28°，则支持力B与重力G方向的夹 角∠2的度数是() A 30 YG B A.162° B.152° C.142° D.118° 【答案】B 【详解】解：如图，设重力G的作用线与斜面OA交于点C,与水平地面OB交于点D, C D YG B ,重力G的方向与水平地面OB垂直， :.∠0ODC=90° ∠1=28°， .∠0CD=90°-28°=62° ∠ECA=62°. :摩擦力F的方向与斜面平行， .∠CEE=180°-∠ECA=180°-62°=118° :支持力乃的方向与斜面垂直， ∴支持力的方向与摩擦力F的方向垂直， .∠FEE=90° ∴.∠2=360°-∠F,EF-∠CEE=360°-90°-118°=152° 15.如图，BD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点F为边AB上一点， 当△ADF为直角三角形时，∠BDF的度数为 38/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】15°或65 【详解】解：~BD是△ABC的角平分线，∠ABC=50°， ABD=∠CBD=7∠ABC=25 当∠AFD=90°时，∠BFD=90°， .∠BDF=90°-∠ABD=90°-25°=65°： E 当∠ADF=90°时，∠CDF=90°， ∠CBD=25°，∠ACB=80°， ∴.∠BDC=180°-∠CBD-∠ACB=180°-25°-80°=75°， .∠BDF=∠CDF-∠BDC=90°-75°=15° 综上，∠BDF的度数为l5°或65° 16.如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A处，且AD∥BC, A'B交AC于点E(如图2)，又将△BCE沿着A'B翻折，使点C落在点C处，若点C恰好落在BD上（如 图3)，且∠C"EB=72°，则∠C=°. 39/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A D B C B ● 图1 图2 图3 【答案】84 【详解】解：，先将△ABD沿着BD翻折， .∠A=∠A,∠ABD=∠A'BD, :A'D‖BC, .∠A'=LABC, ,将△BCE沿着AB翻折，使点C落在点C'处，点C恰好落在BD上， .∠A'BC=∠A'BD,∠CEB=∠C'EB=72°， .∠A=∠ABD=∠ABD=∠ABC, .∠CEB+∠AEB=180°」 .∠AEB=180°-∠CEB=180°-72°=108°， 在△ABE中，∠A+∠ABD+∠ABD+∠AEB=I80°， .3∠A+∠AEB=180°，即3∠A+108°=180°， 解得，∠A=24°， .∠A'BC=24°. 在△BCE中，∠C=180°-∠A'BC-∠CEB=180°-24°-72°=84°， 故答案为：84 17.如图，AE平分∠BAC,∠2=∠3，∠I=∠B」 (I)请说明：DE∥AB: (2)若DF⊥AC,，∠DFA=72°，求∠B的度数， 【答案】(I),AE平分∠CAB, 40/48 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠2=∠EAB, ∠2=∠3， .∠EAB=∠3， .DE∥AB: (2)54° 【分析】 【详解】(1)略： (2)解：设∠EAB=∠2=∠3=x, :DE∥AB,AE平分∠CAB .∠CDE=∠CAB=2x,∠CED=∠B, DF⊥CA,即∠CDF=90°， .∠I=∠CDF-∠CED=90°-2x, ,∠1=∠B, .∠CED=∠B=90°-2x, .∠CED=∠I, DF∥CB, .∠AEC=∠AFD,∠C=∠ADF=90°， :∠DFA=72°， .∠AEC=72°， .∠2=180°-∠C-∠AEC=18°，即x=18°， .∠B=90-2x=54° I8.如图，将△ABD沿着BD的方向平移至△EFC(点A,B,D的对应点分别为E,F,C),连接AC, AE. D (I)若∠B=68°，∠ACB=30°，分别求∠BAE,∠AEF的度数. (2)若AD平分∠BAC,判断∠FEC与∠ECA的数量关系，并说明理由. (3)若A,E之间的距离为5，DF=2,求BC的长， 41/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)112°，68 (2∠FEC=∠ECA 理由如下：根据图形平移的特征，得AD∥EC,△ABD≌△EFC ∴∠DAC=∠ECA,∠BAD=∠FEC」 :AD平分∠BAC, ∠BAD=∠DAC, ∴.∠FEC=∠ECA. (3)8 【分析】 【详解】(1)解：根据图形平移的特征，得AB∥EF,AE∥BC, ∠ACB=30°， .∴∠EAC=∠ACB=30° :∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠B=68°， .∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-68°-30°=82° ∠BAE=∠BAC+∠EAC=82°+30°=112°， :AB∥EF, ∴.∠BAE+∠AEF=180° ∠AEF=180°-∠BAE=180°-112°=68° (2)解：略： (3)解：根据图形平移的特征，得AE=BF=5,BD=FC. DF=2, ·BD=BF-DF=3. ∴.FC=BD=3 ∴.BC=BD+DF+FC=8 19.如图，ABI‖CD,∠ABC=66°，∠BDC=66°， (I)求∠CBD的度数： 42/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)∠BDC的角平分线交BC于点E,过点D作DF⊥DE交AB的延长线于点F.先补全图形，再求∠AFD 的度数 【答案】(1)48 B A (2) 57° 【分析】 【详解】(1)解：AB∥CD,∠ABC=66°， ∴.∠BCD=∠ABC=66°. ∠BDC=66°， .∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=180°-66°-66°=48°： (2)解：补全图形略： DE平分∠BDC,∠BDC=66°， E∠BDE=，∠BDC=33° DF⊥DE, ∠FDE=90°， ∠FDB=∠FDE-∠BDE=90°-33°=57°， :AB∥CD, .∠FBD=∠BDC=66°， .∠AFD=180°-∠FBD-∠FDB=180°-66°-57°=57° 20.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B,∠BCD=∠A, E D (I)求证：△ACB为直角三角形： (2)若∠ACB的平分线CE交AB于点E,CD⊥AB于点D,∠B=62°，求∠DCE的度数. 【答案】(I)证明：∠ACD=∠B,∠BCD=∠A, 43/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACD+∠BCD=∠B+∠A, :∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°， :.2(∠ACD+∠BCD)=180°. ∴.∠ACD+∠BCD=90°， ∴.∠ACB=90° ,△ACB为直角三角形. (2)170 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：，CD1AB, .∠CDB=90°， .∠BCD=90°-∠B=90°-62°=28°， ,CE平分∠ACB, ∠BcB-号4CB=45, .∠DCE=∠ECB-∠BCD=45°-28°=17 21.如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC,交CD的延长线于点E,AF平分∠BAD,交DC的延长 线于点F,BE与AF相交于点O,∠ADE+∠BCF=180°，∠ABC=2LE. E O F (I)求证：AB∥EF (2)判断∠E与∠F之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(I)证明：：BE平分∠ABC, .∠ABC=2LABE, 又：∠ABC=2∠E, ·∠ABE=LE, .AB∥EF. 44/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)∠E+∠F=90°， 理由：∠ADE+∠BCF=180°，∠ADE+∠ADF=180°， ∠ADF=∠BCF, ∴.AD∥BC .∴∠BAD+∠ABC=180° :BE平分∠ABC,AF平分∠BAD, ∴∠ABE=)∠ABC,∠BAF=∠BAD. ∠48E+∠B4F-ac+BiD-1c+∠BaD)-X1380°=90r. ∠E0F=∠AOB=180°-90°=90° ∴∠E+∠F=180°-∠EOF=90°， 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 迁移创新 22.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC于点B,DC⊥BC于点C,AE平分∠BAD交BC于点E, AE⊥DE,F为AD上方一点，连接AF、DF,点M、N分别是BA,CD延长线上的点.则下列结论中 错误的是() M E A.AB∥CD B.∠BAE=∠CED C.∠F与∠FDN是内错角 D.∠AEB+∠ADC=180° 【答案】D 【详解】解：A、:AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.∠B=∠C=90°， .∠B+∠C=180°， 45/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.ABIICD 故A正确，不符合题意； B、:AE⊥DE, .∠AEB+∠CED=90°， ,∠BAE+∠AEB=90°， .∠BAE=∠CED 故B正确，不符合题意： C、∠F与∠FDN为内错角， 故C正确，不符合题意： D、:ABIICD .∠BAD+∠ADC=180°， 若∠AEB+∠ADC=I8O°，则∠AEB=∠BAD, ,AE平分∠BAD, .∠BAD=2∠BAE, ∠AEB=2∠BAE, :∠BAE+∠AEB=90°， .∠BAE=30° 但∠BAE不一定是30°， .∠AEB+∠ADC不一定等于180°， 故D错误，符合题意。 3.科普体验馆里设置了一个模拟光线反射的趣味装置，由两块互相垂直的平面镜AB,BC组成.如图， 入射光线DE经过两次反射后得到反射光线FG,反射时满足∠I=∠2，∠3=∠4.将平面镜AB绕点B顺时 针旋转，使得入射光线DE与反射光线FG所在直线互相垂直，则旋转后两块平面镜所夹锐角∠ABC的度 数为」 E G 46/48 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】45°145度 【详解】解：设入射光线DE与反射光线FG交于点K,过点E作EL⊥AB,过点F作MF⊥CB,如图， E 364 C 设∠MFE=a,则∠EFK=2a, ,入射光线DE与反射光线FG所在直线互相垂直， .∠EKF=90° :.∠KEF=180°-∠EKF-∠KFE=180°-90°-2a=90°-2a, LEF-/KEF-45-a. :∠1+∠LEF=90°，∠3+∠MFE=90°， .∠1=45°+a,∠3=90°-a, ,∠1+∠3+∠B=180°， .∠B=180°-(90°-a+45°+a)=45° 24.如图，△ABC中，∠B<LC,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC交BC于E. (1)当∠B=30°，∠C=50°时，求∠DAE的度数； (2)猜想：∠DAE与∠B、∠C有什么关系，并说明理由. 【答案】(1)10° ②∠DAE=)(∠C-∠B),理由如下： :AD,AE分别是△ABC的高和角平分线， ∠C4E=3<B4C=080-∠B-∠C,∠ADC=90°， 47/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAD=90°-∠C, ∠DAE=∠CAE-∠CaD=80-∠B-∠C-(0-∠C)=(<C-∠B). 【分析】 【详解】(1)解：∠B=30°，∠C=50°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=100°， :AE平分∠BAC, i<C4E-<8c=50. :AD⊥BC,∠C=50°， ∠DAC=90°-∠C=90°-50°=40°， .∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°： (2)解：略。 48/48 第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 课标要点 1.熟记三角形内角和为180°，能看懂平行线辅助线证法，会用符号语言书写定理。 2.掌握直角三角形定义、两锐角互余的性质，规范写出性质对应的几何推理格式。 3.理解直角三角形判定方法，已知两角互余，能完整推理证明三角形为直角三角形。 4.灵活运用内角和、直角三角形性质解决基础角度计算题，规范几何答题步骤。 学习重难点 重点： 1.三角形内角和定理内容与几何证明，熟练利用180∘计算三角形内未知角度。 2.直角三角形两锐角互余的性质，以及两角互余可判定直角三角形两个核心结论。 难点： 1.借助平行线作辅助线证明内角和定理，准确结合平行线性质完成等量代换推导。 2.区分直角三角形性质与判定的逻辑关系，做题时不混淆已知条件与推导结论。 知识点一 三角形内角和定理 1.定理内容 三角形三个内角的和等于。 符号语言：在中，。 2.标准证明方法 过的顶点作。 根据两直线平行，内错角相等，可得，； 共线构成平角，即； 等量代换后得到。 常用结论 ①三角形任意一个内角剩余两个内角之和； ②一个三角形最多只能有1个直角或1个钝角，至少存在2个锐角。 即学即练 1．如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点二 直角三角形的性质与判定 1.定义 有一个角为直角的三角形叫做直角三角形，记作。 2.性质 直角三角形的两个锐角。 符号语言：，，。 3.判定 有两个角的三角形是直角三角形。 符号语言：，是三角形。 即学即练 3．一个直角三角形的一个锐角为度，则另一个锐角的度数是________度． 4．在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多，较大的锐角的度数为 _____． 题型01 利用三角形的内角和求角度 解题贴士 1.已知两个内角，求第三个内角：未知角已知两角相加。 2.已知角度比例（如）：设每份为，列方程，解方程求出各角度。 典｜例｜精｜析 【例1】如图，的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，平分，若，，则________． 【变式1-3】如图，在中，，，是边上的高，过点作交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型02 直角三角形的性质 典｜例｜精｜析 【例3】如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【例4】如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】在中，高，所在直线相交于点（点不与点，，重合）．若，则________． 【变式2-2】如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 【变式2-3】如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 题型03 直角三角形的判定 典｜例｜精｜析 【例5】下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【例6】如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，平分，，，，则是____三角形． 【变式3-2】如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【变式3-3】如图，平分．求证：是直角三角形． 题型04 三角板的角度计算 典｜例｜精｜析 【例7】将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，则所有满足条件的t的值为（   ） A．2或5 B．3或4或5 C．2或5或9 D．3或5或9 【例8】如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． （1）若，则_______°； （2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是_________________． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一条直线上），那么图中_________． 【变式4-2】两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间____秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 【变式4-3】如下图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中． (1)若，则________． (2)试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若按住三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，则当等于多少度时，？请画出图，并说明理由． 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 典｜例｜精｜析 【例9】如图， 中，的角平分线与的角平分线交于点，直线与相交于点，于点，，，则____度，______度． 【例10】如图，在中，是上的高，平分，，，求与的度数． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】在三角形中，是高，是角平分线，若，，则的度数为__________． 【变式5-2】如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数______ ． 【变式5-3】如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 题型06 与方向角有关的角度计算 典｜例｜精｜析 【例11】如图，某时刻轮船位于灯塔A 南偏东方向的B处，小岛C在该轮船北偏东的方向上．若，则小岛C在灯塔A（   ） A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上 C．北偏东的方向上 D．北偏东的方向上 【例12】如图，岛在A岛的南偏西方向，岛在A岛的南偏东方向，岛在岛的北偏东方向，求从岛看A，两岛的视角__________°． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，这是三岛的平面图，其中，，岛在岛的西北方向上，则B岛在岛的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【变式6-2】如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A的南偏西方向，B岛在A的南偏东方向，C岛在B的北偏西方向，则的度数是（ ） A． B． C． D． 题型07 三角形的折叠问题 典｜例｜精｜析 【例13】如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例14】如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 【变式7-2】如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在边上的点处．若，则的度数为________． 【变式7-3】如图，在中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______ 度． 基础通关 1．如图，是的高线，，则的补角为（     ） A． B． C． D． 2．如果三角形的三个内角分别是，，，则x的值为（     ） A．40 B．45 C．50 D．55 3．将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．图①是共享单车的实物图，图②是其示意图．已知，，点，，三点在同一条直线上，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．一副三角尺按如图方式放置，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 7．一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是______三角形． 8．如图，，，，则的度数为_____ ． 9．如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 10．如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，C在A的南偏东方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角是多少度？ 11．如图，将沿方向平移，得到． (1)若，，求； (2)若，，则________． 12．如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，，求的度数． 素养提升 13．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 14．一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 15．如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 16．如图1，中，是边上的点，先将沿着翻折，使点落在点处，且，交于点（如图2），又将沿着翻折，使点落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则______． 17．如图，平分，，． (1)请说明：； (2)若，，求的度数． 18．如图，将沿着的方向平移至（点，，的对应点分别为，，），连接，． (1)若，，分别求，的度数． (2)若平分，判断与的数量关系，并说明理由． (3)若，之间的距离为，，求的长． 19．如图，，，， (1)求的度数； (2)的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．先补全图形，再求的度数． 20．如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 21．如图，在四边形中，平分，交的延长线于点，平分，交的延长线于点，与相交于点，，． (1)求证：． (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 迁移创新 22．如图，在四边形中，于点，于点，平分交于点，，为上方一点，连接、，点、分别是，延长线上的点．则下列结论中错误的是（     ） A． B． C．与是内错角 D． 23．科普体验馆里设置了一个模拟光线反射的趣味装置，由两块互相垂直的平面镜，组成．如图，入射光线经过两次反射后得到反射光线，反射时满足，．将平面镜绕点顺时针旋转，使得入射光线与反射光线所在直线互相垂直，则旋转后两块平面镜所夹锐角的度数为______． 24．如图，中，，于，平分交于． (1)当时，求的度数； (2)猜想：与、有什么关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $