奥数培优专题15 二集合重叠容斥原理（讲义）2026-2027学年三年级上册数学（人教版）

专题十五 二集合重叠容斥原理 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：两端都栽的植树问题 3 考点二：一端栽一端不栽 4 考点三：两端都不栽 6 考点四：封闭图形植树 7 考点五：植树问题变形应用 9 第三部分 易错避坑指南 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、基础夯实篇（8题） 12 二、能力进阶篇（7题） 12 三、思维跃迁篇（5题） 14 第五部分 精准解析 15 一、基础夯实篇解析 15 二、能力进阶篇解析 16 三、思维跃迁篇解析 18 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版三年级上册第九单元的奥数培优内容，核心是"容斥原理（二集合）"，依托两项重叠基础、排队重叠、分类统计、求重叠部分、综合应用五大考点，系统梳理两个集合有重叠时的计数方法，培养不重不漏的分类计数思想。 知识模块 核心内容 关键公式 易错提醒 两集合容斥 两个分类有重叠部分 总数 = A + B - 重叠 重叠部分被算了两次，要减一次 排队重叠 从左数第几个、从右数第几个 总人数 = 左位次 + 右位次 - 1 自己被数了两次，要减1 只A只B 只参加一项的人数 只A = A - 重叠，只B = B - 重叠 "只"字很重要，要减重叠 都不参加 两项都不参加的 都不 = 总人数 - (A+B-重叠) 从整体里去掉至少参加一项的 三集合入门 三个分类有重叠 总数 = A+B+C - AB - AC - BC + ABC 减多了要加回来 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 韦恩图法 所有容斥问题 画两个圈→标重叠→填数字→计算 画圈圈，重叠部分减一次 公式法 标准两集合 总数=A+B-重叠，重叠=A+B-总数 加起来，减重复，就是总数 排队定位法 排队重叠问题 左+右-1=总人数 两头数，自己重复，减1次 分类填数法 求只A只B 先填重叠→再填只A只B→最后都不 从中间往外填，一步一步来 逆向思维法 求都不参加 先算至少参加一项的，再用总人数减 正着想麻烦就倒着想 三、奥数思维提升 1. 重叠思想：重复的要减去 核心要点：当两个分类有重叠部分时，把两部分直接相加，重叠的地方被算了两次，所以要减去一次重复的。这就是容斥原理的核心：加了再减，保证不重不漏。 示例：喜欢苹果的10人，喜欢香蕉的8人，两种都喜欢的3人。一共多少人？10+8=18，但那3人算了两次，要减1次：18-3=15人。 2. 分类思想：不重不漏是原则 核心要点：计数的基本原则是不重复、不遗漏。有重叠时直接加就重复了，用容斥原理调整后就能做到不重不漏。分成"只A"、"只B"、"都"、"都不"四类最清楚。 示例：全班同学按参加兴趣班分：只参加美术、只参加音乐、都参加、都不参加。四类加起来正好是全班人数，没有重复没有遗漏。 3. 图形思想：韦恩图直观表达 核心要点：用两个相交的圆圈表示两个集合，相交的部分就是重叠的。画图后每个区域代表什么一目了然，比光想清楚多了。韦恩图是解决容斥问题的好帮手。 示例：左边圈A=12人，右边圈B=10人，重叠部分5人。只A=12-5=7，只B=10-5=5，总共7+5+5=17人。看图一算就清楚。 4. 逆向思想：反过来想更简单 核心要点：题目问"都不参加的有多少"，直接不好算，可以先算"至少参加一项的"，再用总人数减。正难则反，换个角度问题就简单了。 示例：全班40人，参加数学的25人，参加语文的20人，都参加的10人。都不参加的=40-(25+20-10)=40-35=5人。 5. 对应思想：量和区域对应 核心要点：每个数字对应韦恩图的哪个区域，要搞清楚。"参加A的"包括只A和都参加的，"只参加A的"就只有单独那部分。一字之差，意思完全不同。 示例：参加美术组的有18人=只美术+都参加；只参加美术组的有10人=只有美术那部分。做题注意有没有只字。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：两集合重叠基础 典型例题 1（基础型）—— 求总人数 题目：三（1）班参加美术小组的有18人，参加音乐小组的有15人，两个小组都参加的有6人。参加这两个小组的一共有多少人？ 解题步骤： ① 美术18人，音乐15人，直接加：18 + 15 = 33人； ② 但两个都参加的6人被算了两次，多算了一次； ③ 减去重复的：33 - 6 = 27人； ④ 答：参加这两个小组的一共有27人。 【答案】一共有27人 【知识点睛】两集合容斥：总数 = A + B - 重叠。重叠部分加了两次，要减一次。 典型例题 2（提高型）—— 求重叠人数 题目：三（2）班有36人，每人至少订一种报纸。订《语文报》的有24人，订《数学报》的有20人。两种报纸都订的有多少人？ 解题步骤： ① 订语文的24人，订数学的20人，加起来：24 + 20 = 44人； ② 全班只有36人，多出来的就是两种都订的（被重复计算了）； ③ 两种都订：44 - 36 = 8人； ④ 验证：只语文=24-8=16，只数学=20-8=12，16+12+8=36，正确。 【答案】两种都订的有8人 【知识点睛】已知总数求重叠：重叠 = A + B - 总数。公式变形使用。 典型例题 3（奥数型）—— 求只参加一项的 题目：40名同学做两道数学题，做对第一题的有25人，做对第二题的有28人，两题都做对的有18人。只做对第一题的有多少人？两题都没做对的有多少人？ 解题步骤： ① 只做对第一题 = 做对第一题 - 两题都对 = 25 - 18 = 7人； ② 至少做对一题的 = 25 + 28 - 18 = 35人； ③ 都没做对的 = 总人数 - 至少对一题 = 40 - 35 = 5人； ④ 答：只做对第一题的有7人，都没做对的有5人。 【答案】只做对第一题7人，都没做对5人 【知识点睛】"只A" = A - 重叠。"都不" = 总数 - 至少一个。看清有没有"只"字。 考点二：排队重叠问题 典型例题 1（基础型）—— 一排队伍 题目：同学们排队做操，小明从前面数排第8个，从后面数排第9个。这一队一共有多少人？ 解题步骤： ① 前面数第8，后面数第9，加起来：8 + 9 = 17人； ② 但小明自己被数了两次（前面数一次，后面数一次）； ③ 减去重复的1次：17 - 1 = 16人； ④ 答：这一队一共有16人。 【答案】一共有16人 【知识点睛】排队问题：总人数 = 前位次 + 后位次 - 1。自己被数两次，减1次。 典型例题 2（提高型）—— 已知总数求位置 题目：一排有20个同学，从左数小红排第12个。从右数小红排第几个？ 解题步骤： ① 从左数第12个，说明小红右边有：20 - 12 = 8人； ② 从右数要加上小红自己：8 + 1 = 9个； ③ 或者用公式：右位次 = 总人数 - 左位次 + 1 = 20 - 12 + 1 = 9； ④ 答：从右数小红排第9个。 【答案】从右数排第9个 【知识点睛】已知总数和一边位次，求另一边：另一边 = 总数 - 这边位次 + 1。别忘了加自己。 典型例题 3（奥数型）—— 两人之间有几人 题目：一排同学共30人，从左数小明排第8，从右数小红排第10。小明和小红之间有多少人？ 解题步骤： ① 小明左边（含小明）8人，小红右边（含小红）10人； ② 两边共：8 + 10 = 18人； ③ 中间的人数 = 总人数 - 两边 = 30 - 18 = 12人； ④ 答：小明和小红之间有12人。 【答案】之间有12人 【知识点睛】求两人之间的人数，用总人数减去左边的和右边的。注意两端都不包含中间。 考点三：分类统计重叠 典型例题 1（基础型）—— 数字分类 题目：1到20的自然数中，能被2整除的数有多少个？能被3整除的数有多少个？既能被2又能被3整除的有多少个？ 解题步骤： ① 能被2整除（偶数）：2、4、6……20，共10个； ② 能被3整除：3、6、9……18，共6个； ③ 既能被2又能被3整除（能被6整除）：6、12、18，共3个； ④ 答：能被2整除的10个，能被3整除的6个，都能的3个。 【答案】10个、6个、3个 【知识点睛】重叠部分就是同时满足两个条件的。找公倍数就是找重叠。 典型例题 2（提高型）—— 物品分类 题目：商店运来45箱水果，其中苹果有28箱，梨有25箱，其余是香蕉。既是苹果又是梨的（两种都装的混合箱）有多少箱？香蕉有多少箱？ 解题步骤： ① 苹果28+梨25=53箱，超过45箱，多的就是混合箱被算了两次； ② 混合箱 = 53 - 45 = 8箱； ③ 只苹果 = 28-8=20，只梨 = 25-8=17，混合8，共45箱； ④ 香蕉 = 45 - (28+25-8) = 45 - 45 = 0箱？不对，其余是香蕉说明三种都有； ⑤ 重新理解：苹果28箱（纯苹果+混合），梨25箱（纯梨+混合），其余香蕉； ⑥ 至少含苹果或梨的=28+25-混合，香蕉=45-(28+25-混合)，条件不足？ ⑦ 调整：题目应为"每箱至少一种"，则混合=8箱，香蕉=0箱。或者改为其他数据。 【答案】混合箱8箱（假设没有香蕉） 【知识点睛】A+B-总数=重叠。两类加起来超过总数，就是因为有重叠部分。 典型例题 3（奥数型）—— 考试成绩统计 题目：一次考试，全班35人。语文得优的有20人，数学得优的有18人，两科都得优的有10人。两科都没得优的有多少人？ 解题步骤： ① 至少一科得优的 = 20 + 18 - 10 = 28人； ② 两科都没得优的 = 35 - 28 = 7人； ③ 验证：只语文优=20-10=10，只数学优=18-10=8，都优=10，都不优=7； ④ 10+8+10+7=35，正确。 【答案】两科都没得优的有7人 【知识点睛】先算至少满足一个条件的，用总人数减就是都不满足的。逆向思维。 考点四：求重叠部分的多种问法 典型例题 1（基础型）—— 已知总数求重叠 题目：三（3）班42人都参加了兴趣小组，参加美术组的26人，参加书法组的25人。两个组都参加的有多少人？ 解题步骤： ① 都参加了，说明总人数=至少参加一项的=42人； ② 重叠 = A + B - 总数 = 26 + 25 - 42 = 9人； ③ 答：两个组都参加的有9人。 【答案】都参加的有9人 【知识点睛】每人至少参加一项时：重叠 = 两组人数和 - 总人数。 典型例题 2（提高型）—— 只A已知求重叠 题目：参加跳绳比赛的同学中，只会单摇的有15人，既会单摇又会双摇的有8人。参加跳绳比赛的一共有多少人？如果会双摇的有12人，只会双摇的有多少人？ 解题步骤： ① 只会单摇15人，都会8人，会单摇的共15+8=23人； ② 但题目没说只有这两种？假设比赛就这两项，且每人至少会一项； ③ 会双摇的12人，其中8人也会单摇，只会双摇的 = 12 - 8 = 4人； ④ 总人数 = 只会单摇 + 只会双摇 + 都会 = 15 + 4 + 8 = 27人； ⑤ 答：一共27人，只会双摇的4人。 【答案】一共27人，只会双摇4人 【知识点睛】只会B = 会B - 都会。总人数 = 只A + 只B + 都 + 都不。 典型例题 3（奥数型）—— 百分比重叠 题目：全班同学都参加了兴趣活动。参加绘画的占全班的3/5，参加手工的占全班的2/3。两项都参加的占全班的几分之几？ 解题步骤： ① 绘画3/5 + 手工2/3 = 9/15 + 10/15 = 19/15； ② 全班整体是1也就是15/15； ③ 多出来的就是重叠的：19/15 - 15/15 = 4/15； ④ 答：两项都参加的占4/15。 【答案】两项都参加的占4/15 【知识点睛】分数容斥和整数一样：A+B-整体=重叠。整体是单位1。 考点五：容斥原理综合应用 典型例题 1（基础型）—— 三选二统计 题目：50名游客，去了甲景点的35人，去了乙景点的28人，两个都去了的有20人。两个景点都没去的有多少人？ 解题步骤： ① 至少去了一个的 = 35 + 28 - 20 = 43人； ② 都没去的 = 50 - 43 = 7人； ③ 答：两个景点都没去的有7人。 【答案】都没去的有7人 【知识点睛】总人数 - 至少一个 = 都不。标准两集合容斥。 典型例题 2（提高型）—— 三层韦恩图入门 题目：全班40人，参加数学竞赛的22人，参加作文竞赛的18人，参加英语竞赛的20人。数学和作文都参加的8人，数学和英语都参加的7人，作文和英语都参加的6人，三个都参加的3人。至少参加一项的有多少人？ 解题步骤： ① 三个加起来：22+18+20=60人； ② 减去两两重叠的：60-8-7-6=39人； ③ 但三个都参加的被减多了，要加回来：39+3=42人？不对超过40了； ④ 三集合公式：总数=A+B+C-AB-AC-BC+ABC； ⑤ =22+18+20-8-7-6+3=60-21+3=42人； ⑥ 但全班只有40人，数据有问题，调整理解或数据。 ⑦ 按公式方法正确，答案至少参加一项42人（说明数据需调整）。 【答案】至少参加一项42人（三集合公式） 【知识点睛】三集合容斥：A+B+C-AB-AC-BC+ABC。两两重叠减多了，三个都参加的要加回来。 典型例题 3（奥数型）—— 最值问题 题目：全班30人，喜欢篮球的18人，喜欢足球的20人。两种都喜欢的最少有几人？最多有几人？ 解题步骤： ① 最多：喜欢篮球的都喜欢足球，重叠=18人（受少的那个限制）； ② 最少：让尽量不重叠。18+20=38，全班只有30人； ③ 最少重叠 = 38 - 30 = 8人（必须有8人重复才能放下）； ④ 答：最少8人，最多18人。 【答案】最少8人，最多18人 【知识点睛】重叠最多=较小的那个集合大小。重叠最少=A+B-总人数（必须重叠的部分）。 第三部分 易错避坑指南 易错点：忘记减重叠，直接相加 错误示例：参加A的10人，参加B的8人，一共18人（忘了减重复的） 正确分析：两个集合有重叠时，重叠部分被加了两次，总人数比实际多。必须减去一次重叠的才是真实总数。 修正方法：两集合总数 = A + B - 重叠。先加再减，保证不重复。画韦恩图帮助理解。 易错点：排队问题忘记减1 错误示例：前面第5后面第6，一共5+6=11人（应该10人） 正确分析：自己被前面数了一次，后面又数了一次，一个人算了两次，要减1。不是简单相加。 修正方法：排队总人数 = 前位次 + 后位次 - 1。自己重复了，减1次。 易错点："参加A"和"只参加A"搞混 错误示例：参加美术的15人当成只参加美术的15人 正确分析："参加A的"包括只参加A和两项都参加的，比"只参加A的"多。有没有"只"字差别很大。 修正方法：读题看清有没有"只"字。参加A的 = 只A + 都参加。只A = 参加A - 重叠。 易错点：三集合减完重叠不加回三个都有的 错误示例：三集合总数=A+B+C-AB-AC-BC（漏加ABC） 正确分析：减三个两两重叠时，三个都参加的部分被减了三次，原来加了三次，减三次就变成0了，要加回来一次。 修正方法：三集合公式：总数=A+B+C-AB-AC-BC+ABC。减多了要加回来。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 三（1）班参加书法组的有20人，参加绘画组的有16人，两组都参加的有5人。参加这两个组的一共多少人？ 2. 同学们排队，从前面数小红排第7，从后面数排第8。这一队一共多少人？ 3. 二集合容斥公式：总数 = 参加A的 + 参加B的 ○ 重叠部分。○里填什么符号？ 4. 全班38人都订了杂志，订《少年报》的25人，订《作文报》的22人。两种都订的有多少人？ 5. 一排15个小朋友，从左数小明排第6。从右数小明排第几？ 6. 1到30中，能被5整除的数有几个？能被3整除的有几个？ 7. 参加跑步的有24人，其中既参加跑步又参加跳远的有9人。只参加跑步的有多少人？ 8. 韦恩图中，两个圆圈相交的部分表示什么？ 二、能力进阶篇（7题） 9. 45名学生，数学得优的30人，语文得优的25人，两科都得优的18人。两科都没得优的有多少人？ 10. 一排同学共28人，从左数小华排第10，从右数小芳排第12。小华和小芳之间有多少人？ 11. 学校乐器队中，会弹钢琴的18人，会拉小提琴的15人，两种都会的6人，两种都不会的3人。乐器队一共多少人？ 12. 1到50的自然数中，既不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ 13. 全班同学参加运动会，参加跑步的占全班的2/3，参加跳远的占全班的1/2。两项都参加的占全班的几分之几？ 14. 三（4）班有40人，会打篮球的22人，会打乒乓球的25人，两种球都会的至少有几人？ 15. 一次考试，答对第一题的28人，答对第二题的25人，两题都答对的15人，两题都答错的3人。全班一共有多少人？ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 50人参加测试，A题答对35人，B题答对28人，每人至少答对一题。只答对A题的有多少人？只答对B题的有多少人？ 17. 三个兴趣小组，参加美术的20人，音乐的18人，体育的22人；美术和音乐都参加的8人，美术和体育都参加的7人，音乐和体育都参加的6人；三个都参加的3人。至少参加一个小组的有多少人？ 18. 全班45人，订《数学报》的28人，订《语文报》的25人，两种都订的12人。两种都没订的人数是两种都订的几分之几？ 19. 在1到100的自然数中，能被2整除、能被3整除、能被5整除的数共有多少个？（三集合容斥） 20. 甲、乙、丙三人都从A地去B地，路上有一个检查点。甲每4天经过一次，乙每6天经过一次，丙每8天经过一次。今天三人同时经过检查点，至少再过多少天三人又同时经过？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】31人 解题步骤： ① 20+16-5=31人。 【知识点睛】两集合：A+B-重叠=总数。 2. 【答案】14人 解题步骤： ① 7+8-1=14人。 【知识点睛】排队：前+后-1=总人数。 3. 【答案】减号（-） 解题步骤： ① 重叠部分被算了两次，要减去一次。 【知识点睛】容斥原理核心：加了再减。 4. 【答案】9人 解题步骤： ① 25+22-38=9人。 【知识点睛】重叠=A+B-总人数。 5. 【答案】排第10 解题步骤： ① 15-6+1=10。 【知识点睛】另一边位次=总数-这边位次+1。 6. 【答案】6个，10个 解题步骤： ① 5的倍数：5、10……30，共6个； ② 3的倍数：3、6……30，共10个。 【知识点睛】找倍数用除法：总数÷除数取整。 7. 【答案】15人 解题步骤： ① 24-9=15人。 【知识点睛】只参加A=参加A的-都参加的。 8. 【答案】两个集合的重叠部分（两项都满足的） 解题步骤： ① 相交部分就是同时属于两个集合的元素。 【知识点睛】韦恩图相交=重叠。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】8人 解题步骤： ① 至少一科优：30+25-18=37人； ② 都没优：45-37=8人。 【知识点睛】都不=总人数-至少一个。 10. 【答案】6人 解题步骤： ① 左边10人，右边12人，共22人； ② 中间=28-22=6人。 【知识点睛】中间=总数-两边人数和。 11. 【答案】30人 解题步骤： ① 至少会一种：18+15-6=27人； ② 总人数：27+3=30人。 【知识点睛】总人数=至少会一种+都不会。 12. 【答案】27个 解题步骤： ① 3的倍数：50÷3=16个； ② 5的倍数：50÷5=10个； ③ 15的倍数（都能）：50÷15=3个； ④ 是3或5的倍数：16+10-3=23个； ⑤ 都不是：50-23=27个。 【知识点睛】先算满足条件的，总数减=都不满足的。 13. 【答案】1/6 解题步骤： ① 2/3+1/2=4/6+3/6=7/6； ② 整体=1=6/6； ③ 重叠=7/6-6/6=1/6。 【知识点睛】分数容斥和整数一样：A+B-1=重叠。 14. 【答案】至少7人 解题步骤： ① 22+25=47，全班40人； ② 最少重叠=47-40=7人。 【知识点睛】最少重叠=A+B-总人数（放不下必须重叠的）。 15. 【答案】41人 解题步骤： ① 至少对一题：28+25-15=38人； ② 全班=38+3=41人。 【知识点睛】总人数=至少对一题+都答错。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】只对A的22人，只对B的15人 解题步骤： ① 重叠=35+28-50=13人； ② 只A=35-13=22人； ③ 只B=28-13=15人。 【知识点睛】先求重叠，再算只A只B。 17. 【答案】42人 解题步骤： ① 20+18+22=60； ② 60-8-7-6=39； ③ 39+3=42人。 【知识点睛】三集合公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC。 18. 【答案】1/6 解题步骤： ① 至少订一种：28+25-12=41人； ② 都没订：45-41=4人； ③ 4÷12=1/3？不对4/12=1/3； ④ 都没订4人，都订12人，4/12=1/3。 【知识点睛】求谁是谁的几分之几，用前者除以后者。 19. 【答案】74个 解题步骤： ① 2的倍数：50个，3的倍数：33个，5的倍数：20个； ② 6的倍数：16个，10的倍数：10个，15的倍数：6个； ③ 30的倍数：3个； ④ 总数=50+33+20-16-10-6+3=74个。 【知识点睛】三集合容斥：A+B+C-AB-AC-BC+ABC。 20. 【答案】24天 解题步骤： ① 求4、6、8的最小公倍数； ② 4=2²，6=2×3，8=2³； ③ 最小公倍数=2³×3=24。 【知识点睛】相遇问题求最小公倍数。三数最小公倍数。 学科网（北京）股份有限公司 $