奥数培优专题05 简单数阵图（讲义）2026-2027学年三年级上册数学（人教版）

专题五 简单数阵图 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：辐射型数阵图（三线） 3 考点二：封闭型数阵图（三角形） 5 考点三：求重叠数的方法 7 考点四：数阵图填数技巧 9 考点五：复杂数阵图入门 12 第三部分 易错避坑指南 15 第四部分 分层进阶专题精练 16 一、基础夯实篇（8题） 16 二、能力进阶篇（7题） 17 三、思维跃迁篇（5题） 19 第五部分 精准解析 21 一、基础夯实篇解析 21 二、能力进阶篇解析 23 三、思维跃迁篇解析 25 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版三年级上册第四单元的奥数培优内容，核心是"数阵图填数"，依托辐射型数阵、封闭型数阵、求重叠数、填数技巧、多解问题五大考点，系统梳理数阵图的解题方法，培养数感和逻辑推理能力。 知识模块 核心内容 关键公式 易错提醒 辐射型数阵 从中心向外辐射几条线 各线和×线数 = 数的总和 + 重叠数×(线数-1) 重叠数被多加了几次要算清 封闭型数阵 三角形、正方形等封闭图形 各边和×边数 = 数的总和 + 所有重叠数的和 顶点的数是两条边共有的 求重叠数 先算重叠数再填其他 重叠数 = (各线总和 - 所有数的和) ÷ 重叠次数 注意重叠数被计算了几次 配对法 大小数配对填 首末配对，和相等 大小搭配，和才相等 尝试法 不确定时枚举尝试 确定范围→逐个尝试→验证 尝试要有顺序，不重不漏 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 公式法 已知每条线的和，求重叠数 算所有数的和→算各线总和→求差→除以重叠次数 先求重叠数，再填其他数 配对法 连续自然数填数阵 首末配对→中间放中间数→验证 大手拉小手，和就相等了 尝试法 答案不唯一或不能直接算 确定重叠数范围→逐个试→填其他数→验证 从小到大试，不行就换下一个 整体法 封闭型数阵求边和 所有数的和+顶点和=边和×边数 顶点都算两次，要加回来 推理法 部分位置已知 从已知多的地方开始→逐步推导 从确定的入手，一步步推 三、奥数思维提升 1. 重叠思想：重复算的要找出来 核心要点：数阵图中，重叠位置的数被计算了多次。比如辐射型中心数在每条线上都算一次，有几条线就算几次。所有线的和加起来，重叠数就多加了几次。 示例：三条线的辐射数阵，中心数被算了3次，其他数各算1次。三条线的总和 = 所有数的和 + 中心数×2。 2. 整体思想：从总和入手 核心要点：解数阵图不要急着一个一个填，先从整体算总和。所有数的总和是多少，每条线的和加起来是多少，对比一下就能找到重叠数。 示例：把1~5填到十字形数阵，横竖和都是10。所有数的和是1+2+3+4+5=15。两条线的和是10+10=20。差了5，就是中心数多算了一次，所以中心是5。 3. 配对思想：大小搭配和相等 核心要点：连续自然数填数阵，常常可以首尾配对：最小配最大，第二小配第二大，每对的和都相等。这样填到对称的位置，每条线的和就相等了。 示例：1、2、3、4、5五个数，配对：1+5=6，2+4=6，中间是3。两对和相等，填到横和竖的两边，中间放3。 4. 有序尝试思想：不重复不遗漏 核心要点：有时候重叠数有几种可能，不能乱试，要按顺序从小到大（或从大到小）一个个试，试完验证对不对。有序尝试才能找到所有答案。 示例：三角形数阵，顶点可以填1、2、3，也可以填其他数。从最小的开始试：先试顶点是1、2、3，算一算边和对不对，不行再试下一组。 5. 对称思想：对称位置和相等 核心要点：数阵图通常是对称的，对称位置的数有规律。辐射型中离中心等距的位置，封闭型中对边的位置，往往可以大小配对。 示例：三角形数阵三个顶点，三条边。每条边上两个顶点加中间数和相等。顶点和大的，中间数就小；顶点和小的，中间数就大。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：辐射型数阵图（三线） 典型例题 1（基础型）—— 十字形数阵 题目：把1、2、3、4、5五个数填入下面的十字形圆圈里，使横行、竖行三个数的和都是9。 解题步骤： ① 五个数的总和：1+2+3+4+5 = 15； ② 两条线的和：9 + 9 = 18； ③ 差了18-15 = 3，这是中心数多算了1次； ④ 所以中心数是3； ⑤ 剩下的数：1、2、4、5，要分成两对，每对和 = 9-3 = 6； ⑥ 1+5=6，2+4=6，正好两对； ⑦ 横行填1、3、5，竖行填2、3、4（或交换）。 【答案】中心填3，横行1和5，竖行2和4（位置可互换） 【知识点睛】辐射型：各线总和 - 所有数的和 = 重叠数×(线数-1)。先求中心重叠数。 典型例题 2（提高型）—— 三射线辐射型 题目：把1~7七个数填入辐射型数阵图，使每条线上三个数的和都是12。中心填几？ 解题步骤： ① 七个数总和：1+2+3+4+5+6+7 = 28； ② 三条线总和：12×3 = 36； ③ 差了36-28 = 8，中心数多算了2次（三条线各算一次，共3次，减去本身1次，多2次）； ④ 中心数 = 8 ÷ 2 = 4； ⑤ 验证：中心4，每条线另两个数和=12-4=8； ⑥ 1+7=8，2+6=8，3+5=8，正好三对。 【答案】中心填4 【知识点睛】n条线的辐射数阵，中心数多算了(n-1)次。差÷(n-1)=中心数。 典型例题 3（奥数型）—— 求和最大最小 题目：把1~5填入十字形5个圆圈中，使横行竖行的和相等。这个和最大是多少？最小是多少？ 解题步骤： ① 五个数总和=15； ② 两条线和 = 15 + 中心数（中心多算1次）； ③ 两条线和是偶数（两条相等的线相加），所以15+中心数是偶数； ④ 15是奇数，所以中心数必须是奇数（奇+奇=偶）； ⑤ 可选中心：1、3、5； ⑥ 中心=1时，两条和=16，每条和=8（最小）； ⑦ 中心=5时，两条和=20，每条和=10（最大）； ⑧ 所以和最大是10，最小是8。 【答案】最大10，最小8 【知识点睛】和的大小由重叠数决定：重叠数越大，每条线的和越大；重叠数越小，和越小。 考点二：封闭型数阵图（三角形） 典型例题 1（基础型）—— 三角形三顶点 题目：把1、2、3、4、5、6六个数填入三角形数阵，使每条边上三个数的和都是9。三个顶点分别填几？ 解题步骤： ① 六个数总和：1+2+3+4+5+6 = 21； ② 三条边总和：9×3 = 27； ③ 差了27-21 = 6，这是三个顶点各多算了1次的和； ④ 三个顶点的和 = 6； ⑤ 1~6中三个不同数加起来等于6，只有1+2+3=6； ⑥ 所以三个顶点填1、2、3； ⑦ 验证：1和2之间填6（9-1-2=6），2和3之间填4，1和3之间填5。 【答案】三个顶点填1、2、3（位置可互换） 【知识点睛】封闭三角形：三边和×3 - 所有数和 = 三个顶点的和。顶点各算两次，多算一次。 典型例题 2（提高型）—— 正方形四顶点 题目：把1~8八个数填入正方形数阵，使每条边上三个数的和都是15。四个顶点的和是多少？ 解题步骤： ① 八个数总和：1+2+3+4+5+6+7+8 = 36； ② 四条边总和：15×4 = 60； ③ 差了60-36 = 24，四个顶点各多算了1次； ④ 所以四个顶点的和 = 24； ⑤ 1~8中四个不同的数加起来等于24； ⑥ 比如：8+7+6+3=24，8+7+5+4=24等，有多种可能。 【答案】四个顶点的和是24 【知识点睛】封闭n边形：边和×n - 所有数和 = 所有顶点数的和。顶点都是重叠的。 典型例题 3（奥数型）—— 三角形数阵多种填法 题目：把1~6填入三角形六个圆圈中，使每条边的和相等。这个和可以是多少？写出所有可能。 解题步骤： ① 六个数总和=21； ② 三边和×3 = 21 + 三顶点和； ③ 所以21 + 三顶点和 必须是3的倍数； ④ 21本身是3的倍数，所以三顶点和也必须是3的倍数； ⑤ 三顶点最小：1+2+3=6（是3的倍数），和=(21+6)÷3=9； ⑥ 三顶点：1+2+6=9（是），和=(21+9)÷3=10； ⑦ 三顶点：1+3+5=9（是），和=10； ⑧ 三顶点：2+3+4=9（是），和=10； ⑨ 三顶点最大：4+5+6=15（是），和=(21+15)÷3=12； ⑩ 中间还有三顶点和=12的情况，和=(21+12)÷3=11； ⑪ 所以和可以是9、10、11、12。 【答案】和可以是9、10、11、12四种 【知识点睛】顶点和必须满足：总和+顶点和 能被边数整除。从最小顶点和到最大顶点和，找出所有可能。 考点三：求重叠数的方法 典型例题 1（基础型）—— 已知和求重叠数 题目：辐射型数阵有 4 条线，每条线和都是 15。填入的数是 1~9，中心重叠数是多少？ 解题步骤： ① 4 条线每条 3 个数，共 9 个数，正好填 1~9； ② 九个数总和：1+2+…+9 = 45； ③ 四条线总和：15×4 = 60； ④ 差 = 60 - 45 = 15，中心数多算了 3 次； ⑤ 中心重叠数 = 15 ÷ 3 = 5。 【答案】中心重叠数是5（假设每条线和为15） 【知识点睛】重叠数 = (各线总和 - 所有数总和) ÷ 重叠次数。重叠次数=线数-1。 典型例题 2（提高型）—— 封闭型求顶点和 题目：五边形数阵，每边3个数，共10个圆圈，填入1~10。如果每条边的和都是16，五个顶点的和是多少？ 解题步骤： ① 1~10总和：(1+10)×10÷2 = 55； ② 五条边总和：16×5 = 80； ③ 差=80-55 = 25； ④ 五个顶点各多算了1次，所以五个顶点的和 = 25。 【答案】五个顶点的和是25 【知识点睛】封闭多边形：所有顶点的和 = 边和×边数 - 所有数的总和。 典型例题 3（奥数型）—— 反求每条线的和 题目：把1~7填入辐射型三线数阵（7个圆），中心填1。每条线的和是多少？ 解题步骤： ① 七个数总和=28； ② 中心是1，多算2次，总共多算1×2=2； ③ 三条线总和 = 28 + 2 = 30； ④ 每条线和 = 30 ÷ 3 = 10； ⑤ 验证：每条线另两个数和=10-1=9； ⑥ 2+7=9，3+6=9，4+5=9，正好三对。 【答案】每条线的和是10 【知识点睛】知道重叠数，各线总和 = 所有数和 + 重叠数×重叠次数，再除以线数。 考点四：数阵图填数技巧 典型例题 1（基础型）—— 配对法填数 题目：把2、3、4、5、6五个数填十字形，中心是4，横竖和相等。怎么填？ 解题步骤： ① 中心已经确定是4； ② 剩下的数：2、3、5、6； ③ 要分成两对，和相等； ④ 配对：最小配最大：2+6=8，3+5=8，正好； ⑤ 所以一对填横行，一对填竖行； ⑥ 每条线的和 = 8 + 4 = 12。 【答案】横行2、4、6，竖行3、4、5（或互换），和都是12 【知识点睛】配对法：首末配对，大小搭配，每对和相等。 典型例题 2（提高型）—— 尝试法填数 题目：把1、2、3、4、5、6填三角形数阵，每条边和为10。三个顶点怎么填？ 解题步骤： ① 六数和=21，三边和=30，三顶点和=30-21=9； ② 找三个不同的1~6的数，和为9； ③ 尝试：1+2+6=9，可以； ④ 1+3+5=9，可以； ⑤ 2+3+4=9，可以； ⑥ 验证第一种：顶点1、2、6，边1-2中间=10-1-2=7，但7不在1~6中，不满足条件，排除； ⑦ 第二种：顶点1、3、5，边1-3中间=10-1-3=6，边3-5中间=10-3-5=2，边1-5中间=10-1-5=4； ⑧ 正好用了6、2、4，都是剩下的数，可以！ ⑨ 第三种：顶点2、3、4，边2-3中间=5，边3-4中间=3？重复了，不行； ⑩ 所以顶点填1、3、5。 【答案】三个顶点填1、3、5 【知识点睛】先算出顶点和，再找出所有可能的组合，逐个验证。 典型例题 3（奥数型）—— 最大最小填法 题目：把1~6填三角形数阵，要使每条边的和最大，三个顶点应该填哪三个数？ 解题步骤： ① 三条边的总和 = 21 + 三顶点和； ② 要使每条边和最大，就要三顶点和最大； ③ 最大的三个数是4、5、6，和=15； ④ 三条边总和 = 21 + 15 = 36； ⑤ 每条边和 = 36 ÷ 3 = 12； ⑥ 验证：顶点4、5、6，边4-5中间=12-4-5=3，边5-6中间=12-5-6=1，边4-6中间=12-4-6=2； ⑦ 中间数是3、1、2，正好是剩下的数，正确； ⑧ 所以顶点填最大的三个数：4、5、6。 【答案】顶点填4、5、6（最大的三个数） 【知识点睛】要使边和最大，顶点就填最大的数；要使边和最小，顶点就填最小的数。 考点五：复杂数阵图入门 典型例题 1（基础型）—— 双重数阵 题目：把1~7七个数字填入下图，使每个正方形四个顶点的和相等。中心填几？ 解题步骤： ① 假设是两个正方形共用中心和两个点，共7个圆； ② 更简单的情况：三个圆一排，中间重叠； ③ 标准题：7个数，两个正方形，每个4个数，重叠1个中心数； ④ 七数总和=28； ⑤ 两个正方形和相等，设为S； ⑥ 2S = 28 + 中心数（中心算两次）； ⑦ 28是偶数，所以中心数必须是偶数，2S才是偶数； ⑧ 中心可选：2、4、6； ⑨ 中心=4时，2S=32，S=16，比较合理。 【答案】中心填4（答案不唯一，也可以是2或6） 【知识点睛】重叠图形中，重叠部分被计算了两次。总和+重叠数×重叠次数=各图形和相加。 典型例题 2（提高型）—— 九宫格入门（三阶幻方） 题目：把1~9填入九宫格（3×3方格），使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。中间填几？ 解题步骤： ① 九个数总和：1+2+…+9 = 45； ② 三行的和相等，所以每行和 = 45 ÷ 3 = 15； ③ 中间数在横、竖、两条对角线中各算一次，共4次； ④ 四条线总和 = 15×4 = 60； ⑤ 差 = 60 - 45 = 15，中间数多算了3次； ⑥ 中间数 = 15 ÷ 3 = 5； ⑦ 所以中间填5。 【答案】中间填5 【知识点睛】三阶幻方：中间数=九数平均数=5。幻和=15。口诀：二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。 典型例题 3（奥数型）—— 数阵图综合推理 题目：将1~6分别填入图中的六个圆圈里，使三角形每条边上三个数的和都是12。三个顶点上的数分别是多少？ 解题步骤： ① 六数总和=21； ② 三边和=12×3=36； ③ 三顶点和=36-21=15； ④ 1~6中三个不同数和为15； ⑤ 最大的三个数：4+5+6=15，正好！ ⑥ 所以三个顶点填4、5、6； ⑦ 验证：边4-5中间=12-4-5=3，边5-6中间=12-5-6=1，边4-6中间=12-4-6=2； ⑧ 中间数3、1、2，正好是剩下的数，正确。 【答案】三个顶点分别是4、5、6 【知识点睛】边和较大时，顶点通常是较大的数；边和较小时，顶点通常是较小的数。 第三部分 易错避坑指南 易错点：重叠次数算错，导致中心数算错 错误示例：三条线辐射数阵，认为中心多算3次（应该多算2次） 正确分析：中心数本身算1次，每条线各算1次，三条线就算了3次。多算了3-1=2次，不是3次。 修正方法：重叠次数 = 线数 - 1。n条线就多算(n-1)次。差除以(n-1)才是重叠数。 易错点：封闭型只算边，忘记顶点也算 错误示例：三角形数阵，认为所有数加起来就是三边和相加 正确分析：封闭型的顶点是两条边共有的，算三边和的时候每个顶点都算了两次，中间数只算一次。所以三边和比所有数和大，差就是顶点和。 修正方法：封闭n边形：边和×n = 所有数和 + 所有顶点数的和。顶点都多算一次。 易错点：配对时只看大小，不验证和是否正确 错误示例：随便把数填进去，以为配对了就行，不验算 正确分析：配对后要验证每条线的和是不是题目要求的数。有时候配对和相等，但加上中心数后不等于目标和。 修正方法：填完数一定要验算：每条线加一遍，看看和是不是都相等、都等于题目要求的数。 易错点：尝试法乱试，漏掉答案或重复试 错误示例：想到哪个数就试哪个，没有顺序 正确分析：没有顺序地尝试，容易漏掉正确答案，或者反复试同一个数。要按从小到大（或从大到小）的顺序试。 修正方法：先确定重叠数的范围，然后按顺序（从小到大或从大到小）逐个尝试，试完一个验证一个。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 把1、2、3、4、5填十字形5个圆圈，使横竖和都是10。中心填几？ 2. 把1~7填三线辐射数阵（7个圆），每条线和为12。中心填几？ 3. 三角形数阵6个圆，填入1~6，每条边和为10。三个顶点的和是多少？ 4. 把2、3、4、5、6填十字形，中心填4。每条线的和是多少？ 5. 正方形数阵8个圆，填1~8，每条边和为13。四个顶点的和是多少？ 6. 把1、2、3、4、5填十字形，中心填5。每条线的和是多少？ 7. 三角形数阵填1~6，三个顶点填1、2、3。每条边的和是多少？ 8. 辐射型四线数阵填1~9（9个圆），中心填5。每条线的和是多少？ 二、能力进阶篇（7题） 9. 把1~5填十字形，使横竖和相等。有几种不同的和？分别是多少？ 10. 把1~6填三角形数阵，每条边和为11。三个顶点分别是几？ 11. 把3、4、5、6、7、8填三角形数阵，使每条边和相等。和最大是多少？ 12. 将 1~8 填入正方形数阵的 8 个圆圈，使每条边上三个数的和都是 15。四个顶点分别填几？ 13. 把10、20、30、40、50五个数填十字形，使横竖和相等。中心可以填哪些数？ 14. 辐射型三线数阵，每条线 3 个数，共 7 个圆，填入 7 个连续自然数，中心是 6，每条线和是 18。最小的数是几？ 15. 把1~9填入九宫格，使每行每列对角线的和都相等。幻和是多少？ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 把1~7填入下图的7个圆圈中，使每个大圆上四个数的和都是15。中心填几？ 17. 将1~8分别填入正方体的八个顶点圆圈中，使每个面上四个顶点的和都相等。这个和是多少？ 18. 把1~6六个数填入三角形的六个圆圈中，要求每条边上三个数的和都等于S。S有多少种不同的取值？ 19. 有一个十字形数阵，中间一个数，上下左右各一个数，共5个数。填入五个不同的自然数，使横竖和都是20。中心数最大是多少？最小是多少？ 20. 把1~10填入五角星数阵的10个交点上，使每条线上四个数的和都相等。这个和是多少？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】中心填5 解题步骤： ① 五数和=15； ② 两线和=20； ③ 差=5，中心多算1次，中心=5。 【知识点睛】两线和-总和=中心数。 2. 【答案】中心填4 解题步骤： ① 七数和=28； ② 三线和=36； ③ 差=8，多算2次，中心=8÷2=4。 【知识点睛】(三线和-总和)÷2=中心。 3. 【答案】9 解题步骤： ① 六数和=21； ② 三边和=30； ③ 三顶点和=30-21=9。 【知识点睛】三边和-六数和=三顶点和。 4. 【答案】12 解题步骤： ① 五数和=2+3+4+5+6=20； ② 两线和=20+4=24； ③ 每条和=24÷2=12。 【知识点睛】总和+中心=两线和，再除以2。 5. 【答案】16 解题步骤： ① 八数和=36； ② 四边和=13×4=52； ③ 四顶点和=52-36=16。 【知识点睛】四边和-八数和=四顶点和。 6. 【答案】10 解题步骤： ① 五数和=15； ② 两线和=15+5=20； ③ 每条和=20÷2=10。 【知识点睛】中心越大，每条和越大。 7. 【答案】9 解题步骤： ① 六数和=21，三顶点和=1+2+3=6； ② 三边和=21+6=27； ③ 每条和=27÷3=9。 【知识点睛】顶点越小，边和越小。 8. 【答案】15 解题步骤： ① 九数和=45； ② 四线和=45+5×3=60； ③ 每条和=60÷4=15。 【知识点睛】中心多算3次，总和+中心×3=四线和。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】3种：和为8、9、10 解题步骤： ① 五数和=15，两线和=15+中心； ② 15+中心必须是偶数，所以中心是奇数； ③ 中心=1时，和=(15+1)÷2=8； ④ 中心=3时，和=(15+3)÷2=9； ⑤ 中心=5时，和=(15+5)÷2=10； ⑥ 共3种不同的和。 【知识点睛】中心必须使总和+中心能被2整除。 10. 【答案】三个顶点可以是 2、4、6 解题步骤： ① 六数和=21，三边和=33，三顶点和=12； ② 找三个不同数和为12：1+5+6=12，2+4+6=12，3+4+5=12； ③ 验证2+4+6：边2-4中=5，边4-6中=1，边2-6中=3，正好1、3、5； ④ 所以顶点可以是2、4、6。 【知识点睛】先算顶点和，再找组合验证。 11. 【答案】最大和是18 解题步骤： ① 六数和=3+4+5+6+7+8=33； ② 要和最大，顶点填最大的三个数：6、7、8，和=21； ③ 三边和=33+21=54； ④ 每条和=54÷3=18； ⑤ 最大三个是6、7、8，和=21，边和=(33+21)÷3=18； ⑥ 验证：边6-7中=18-13=5，边7-8中=18-15=3，边6-8中=18-14=4； ⑦ 中间数5、3、4，正好是剩下的，正确； ⑧ 所以最大和是18。 【知识点睛】顶点取最大的三个数，边和就最大。 12. 【答案】四个顶点分别填 8、3、7、6（顺序可调整，8 与 7 对角、3 与 6 对角） 解题步骤： ① 八个数总和 = 36； ② 四边总和 = 15×4=60； ③ 四顶点和 = 60-36=24； ④ 1~8 中四个不同数和为 24，且最大两数不能相邻（否则中间数为 0）； ⑤ 8、7 对角，另两顶点和 = 24-15=9，可选 3+6=9； ⑥ 顶点：8、3、7、6（顺时针）； ⑦ 验证：边 8-3 中间 = 15-11=4，边 3-7 中间 = 15-10=5，边 7-6 中间 = 15-13=2，边 6-8 中间 = 15-14=1； ⑧ 中间数 4、5、2、1，正好是剩余数字，正确。 【知识点睛】正方形四顶点和=边和×4-八数总和。 13. 【答案】中心可以填10、30、50 解题步骤： ① 五数和=150，两线和=150+中心； ② 150+中心必须是偶数，150是偶数，所以中心也是偶数； ③ 五个数都是整十的，10、30、50是奇数位置（第1、3、5个），都可以； ④ 中心=10时，和=80；中心=30时，和=90；中心=50时，和=100。 【知识点睛】整十的数可以去掉0看，和1~5一样。 14. 【答案】最小的数是3 解题步骤： ① 中心是 6，多算 2 次，三线总和 = 七数总和 + 6×2 = 总和 + 12； ② 每条和 = 18，三线和 = 54； ③ 七数总和 = 54-12=42； ④ 7 个连续自然数的和 = 42，中间数（第 4 个）=42÷7=6； ⑤ 所以 7 个数是：3、4、5、6、7、8、9，最小的数是 3。 【知识点睛】7个连续自然数的和=7×中间数。 15. 【答案】幻和是15 解题步骤： ① 九数和=45； ② 三行和相等，幻和=45÷3=15。 【知识点睛】三阶幻方幻和=九数和÷3。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】中心填2 解题步骤： ① 七数和=28； ② 两大圆和=15×2=30； ③ 差=2，中心多算1次，所以中心数=30-28=2； ④ 验证：中心2，每个圆另三个数和=13； ⑤ 1+5+7=13，3+4+6=13，可以； ⑥ 所以中心填2。 【知识点睛】两圆和-总和=重叠数（中心）。 17. 【答案】每个面的和是18 解题步骤： ① 八个数和=36； ② 正方体6个面，每个面4个顶点，每个顶点算3次（属于3个面）； ③ 六面总和=36×3=108； ④ 每个面和=108÷6=18。 【知识点睛】正方体每个顶点属于3个面，总和×3=六面和。 18. 【答案】4种：S=9、10、11、12 解题步骤： ① 六数和=21，3S=21+顶点和； ② 顶点和最小6（1+2+3），S=(21+6)÷3=9； ③ 顶点和最大15（4+5+6），S=(21+15)÷3=12； ④ 顶点和必须是3的倍数，中间还有9、12； ⑤ 顶点和=6、9、12、15，对应S=9、10、11、12； ⑥ 共4种。 【知识点睛】顶点和从最小到最大，步长3，共4种。 19. 【答案】中心最大15，最小1 解题步骤： ① 横竖和都是 20，两条线的总和 = 20×2 = 40； ② 两条线总和 = 五个数的和 + 中心数（中心多算 1 次）； ③ 中心数最大时，另外四个数尽量小，且要分成两对，每对的和相等（都等于 20 - 中心）； ④ 最小的四个不同自然数是 1、2、3、4，分成两对和相等：1+4=5，2+3=5，每对和 = 5； ⑤ 中心数 = 20 - 5 = 15，验证：1+15+4=20，2+15+3=20，都不重复，成立； ⑥ 中心数最小时，另外四个数尽量大，只要分成两对和相等即可，如 9+10=19，8+11=19，中心 = 20-19=1； ⑦ 自然数没有上限，所以中心最小可以是 1。 【知识点睛】中心越大，周边数越小；中心越小，周边数越大。注意数要不重复。 20. 【答案】每条线的和是22 解题步骤： ① 十个数和=55； ② 五角星5条线，每条4个数，每个点在2条线上，各算2次； ③ 五线总和=55×2=110； ④ 每条和=110÷5=22。 【知识点睛】五角星每个交点属于两条线，算两次。总和×2=五线和。 1 学科网（北京）股份有限公司 $