奥数培优专题08 乘法速算与竖式谜（讲义）2026-2027学年三年级上册数学（人教版）

专题八 乘法速算与竖式谜 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：乘法速算技巧 3 考点二：基础乘法竖式谜 4 考点三：积的位数与最值 6 考点四：乘法中的规律 8 考点五：复杂竖式谜推理 9 第三部分 易错避坑指南 13 第四部分 分层进阶专题精练 14 一、基础夯实篇（8题） 14 二、能力进阶篇（7题） 14 三、思维跃迁篇（5题） 15 第五部分 精准解析 16 一、基础夯实篇解析 16 二、能力进阶篇解析 18 三、思维跃迁篇解析 20 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版三年级上册第六单元的奥数培优内容，核心是"乘法速算与数字谜"，依托拆分凑整速算、末尾0巧算、基础竖式谜、积的位数判断、复杂竖式推理五大考点，系统梳理多位数乘一位数的速算技巧和竖式谜解题方法。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 拆分凑整 把接近整十整百的数拆开算 (a±b)×c = a×c ± b×c 别忘了每部分都要乘 末尾0巧算 因数末尾有0的乘法 先算0前面的，再添上所有0 有几个0就添几个，别漏别多 基础竖式谜 乘法竖式填空 从个位开始推，注意进位 进位要加上，别忘记 积的位数 判断积是几位数 看最高位相乘是否进位 要考虑后面的进位影响 最值问题 积最大最小 大数字放高位，小数字放低位 位数越多数越大 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 拆分法 接近整十整百的数相乘 拆成整±零→分别乘→加起来 拆成整十好计算，多退少补要注意 去0添0法 末尾有0的乘法 去掉0先算→算完添上同样多的0 先算非零部分，最后补0就行 个位突破法 乘法竖式谜 从个位已知数入手→推未知→注意进位 从个位开始，一步一步往上推 首位估算法 判断积的位数 看首位相乘+可能的进位 首位相乘进位，积就多一位 枚举尝试法 答案不唯一的竖式谜 确定范围→逐个试→验证 缩小范围，有序尝试不遗漏 三、奥数思维提升 1. 凑整思想：凑成整十整百好算 核心要点：乘法中遇到接近整十整百的数，把它拆成整十整百加几或减几，分别相乘再加减，比直接乘简单。这就是凑整思想。 示例：198×5，把198看成200-2，198×5=200×5-2×5=1000-10=990。比硬算198×5快多了。 2. 推理思想：竖式谜就是数字推理 核心要点：竖式谜就像侦探破案，从已知的数字出发，根据乘法规则一步步推出未知的数字。每一步都要有依据，不能瞎猜。 示例：□3×4=92，从个位看：3×4=12，个位写2进1，符合。十位：□×4+1=9，□×4=8，□=2。所以是23×4=92。 3. 估算思想：先估再算更准确 核心要点：计算前先估算一下结果大概是多少、是几位数，算完后对照检查，能及时发现错误。估算也是一种重要的验算方法。 示例：312×4，先估：300×4=1200，所以积应该是四位数，一千二百多。如果算出是一百多就肯定错了。 4. 有序尝试思想：不重复不遗漏 核心要点：竖式谜有时候有几种可能，不能乱试。先确定可能的范围，然后按从小到大或从大到小的顺序逐个尝试，验证对不对。 示例：□□×6=□4，积是两位数且个位是4。一位数乘6个位是4的有：4×6=24，9×6=54。所以第一个因数个位是4或9，再试十位。 5. 位值思想：高位影响更大 核心要点：同样的数字，放在高位代表的数更大。所以要使积最大，大数字要放高位；要使积最小，小数字放高位。 示例：用2、3、4组成三位数乘一位数，积最大：321×4=1284还是421×3=1263？不对，一位数也要大。432×1太小。应该是321×4更大。大数字当一位数乘数。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：乘法速算技巧 典型例题 1（基础型）—— 拆分凑整 题目：用简便方法计算：199 × 4 解题步骤： ① 199接近200，把199看成200 - 1； ② 199 × 4 = (200 - 1) × 4； ③ = 200 × 4 - 1 × 4； ④ = 800 - 4； ⑤ = 796。 【答案】796 【知识点睛】接近整百的数，拆成整百减几，分别相乘再相减。乘法分配律的应用。 典型例题 2（提高型）—— 末尾有0的巧算 题目：计算：250 × 6 解题步骤： ① 先去掉末尾的0，算25 × 6； ② 25 × 6 = 150； ③ 原来有1个0，在150后面添上1个0； ④ = 1500； ⑤ 验证：250×6=1500，正确。 【答案】1500 【知识点睛】末尾有0的乘法：先算0前面的数，再把所有的0添回去。注意乘出来的0也要算上。 典型例题 3（奥数型）—— 多个数凑整 题目：计算：25 × 9 × 4 解题步骤： ① 观察：25 × 4 = 100，可以凑整； ② 交换顺序：25 × 4 × 9； ③ = 100 × 9； ④ = 900。 【答案】900 【知识点睛】乘法交换律：哪两个好算先算哪两个。25找4，125找8，都是凑整好搭档。 考点二：基础乘法竖式谜 典型例题 1（基础型）—— 个位突破 题目：在□里填上合适的数字： □ 7 × 3 ------- 8 1 解题步骤： ① 从个位看：7 × 3 = 21，个位写1进2，符合个位是1； ② 十位：□ × 3 + 进位2 = 8； ③ □ × 3 = 6； ④ 所以□ = 2； ⑤ 验证：27 × 3 = 81，正确。 【答案】十位填2，即27×3=81 【知识点睛】竖式谜从个位开始推，注意加上进位。个位→十位→百位，一步步来。 典型例题 2（提高型）—— 三位数乘一位数 题目：填空： 2 □ 4 × 6 --------- 1 □ 4 4 解题步骤： ① 个位：4 × 6 = 24，写4进2，符合个位4； ② 十位：□ × 6 + 2，结果的个位是4； ③ □ × 6 个位是2，因为2+2=4； ④ 谁乘6个位是2？2×6=12或7×6=42； ⑤ 试2：2×6+2=14，写4进1；百位：2×6+1=13，积的百位是3，符合1□44； ⑥ 试7：7×6+2=44，写4进4；百位：2×6+4=16，百位是6，也符合； ⑦ 所以有两个答案：224×6=1344 或 274×6=1644。 【答案】224×6=1344 或 274×6=1644 【知识点睛】乘出来个位相同的可能有多个答案，要逐一验证。注意连续进位。 典型例题 3（奥数型）—— 积的位数推理 题目：□36 × 4的积是三位数，□里最大填几？如果积是四位数，□里最小填几？ 解题步骤： ① 积是三位数，说明百位×4不进位（或进位后还是三位数）； ② 试2：236×4=944，三位数； ③ 试3：336×4=1344，四位数了； ④ 所以积是三位数时，最大填2； ⑤ 积是四位数时，最小填3。 【答案】积三位数最大填2，积四位数最小填3 【知识点睛】看首位相乘加进位是否进位。进位了积就多一位。可以试算验证。 考点三：积的位数与最值 典型例题 1（基础型）—— 判断积的位数 题目：不计算，判断下面算式的积是几位数：325 × 3 解题步骤： ① 看首位：3 × 3 = 9，不进位； ② 但后面的十位2×3=6，加上个位进位最多2，6+2=8，也不进位到百位； ③ 百位9加上十位进位也不到10； ④ 所以积是三位数； ⑤ 验证：325×3=975，确实三位数。 【答案】积是三位数 【知识点睛】首位相乘不进位，积的位数和多位数一样。但要注意后面的进位可能让首位进位。 典型例题 2（提高型）—— 积最大最小 题目：用数字1、2、3、4组成一个三位数乘一位数的算式，积最大是多少？最小是多少？ 解题步骤： ① 积最大：大数字放高位，一位数也要大； ② 一位数选最大的4，三位数选剩下的从大到小排：321； ③ 321 × 4 = 1284； ④ 积最小：小数字放高位，一位数也要小； ⑤ 一位数选最小的1，三位数234； ⑥ 234 × 1 = 234； ⑦ 验证：321×4=1284最大，234×1=234最小。 【答案】最大1284（321×4），最小234（234×1） 【知识点睛】积最大：最大的数当一位数，剩下的从大到小排三位数。积最小相反。 典型例题 3（奥数型）—— 积的范围 题目：一个三位数乘8，积在什么范围内？ 解题步骤： ① 最小的三位数是100； ② 最大的三位数是999； ③ 最小积：100 × 8 = 800； ④ 最大积：999 × 8 = 7992； ⑤ 所以积在800到7992之间； ⑥ 注意：可能是三位数（如100×8=800），也可能是四位数（如200×8=1600）。 【答案】积在800到7992之间，可能是三位数也可能是四位数 【知识点睛】用最小数和最大数分别乘，得到积的范围。临界点要注意。 考点四：乘法中的规律 典型例题 1（基础型）—— 一个因数不变 题目：观察：15 × 2 = 30，15 × 4 = 60，15 × 6 = 90。你发现了什么规律？ 解题步骤： ① 第一个因数都是15，不变； ② 第二个因数：2→4→6，依次乘2、乘3； ③ 积：30→60→90，也依次乘2、乘3； ④ 规律：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。 【答案】一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积也扩大相同的倍数 【知识点睛】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几。 典型例题 2（提高型）—— 乘9的规律 题目：快速计算：27 × 9 解题步骤： ① 乘9可以看成乘10再减1个本身； ② 27 × 9 = 27 × 10 - 27； ③ = 270 - 27； ④ = 243； ⑤ 验证：27×9=243，正确。 【答案】243 【知识点睛】一个数×9 = 这个数×10 - 这个数。乘9的巧算：添0减原数。 典型例题 3（奥数型）—— 乘11的规律 题目：计算：23 × 11 解题步骤： ① 两位数乘11，两头一拉，中间相加； ② 把2和3拉开：2 3； ③ 中间相加：2 + 3 = 5； ④ 结果：2 5 3，也就是253； ⑤ 验证：23×11=253，正确。 【答案】253 【知识点睛】两位数乘11口诀：两头一拉，中间相加。十位相加满十要进位。 考点五：复杂竖式谜推理 典型例题 1（基础型）—— 全是方框 题目：在方框里填数字： □ □ × □ ----- 9 6 解题步骤： ① 两位数乘一位数等于96； ② 一位数可能是2~9，逐个试； ③ 96÷2=48，可以：48×2=96； ④ 96÷3=32，可以：32×3=96； ⑤ 96÷4=24，可以：24×4=96； ⑥ 96÷6=16，可以：16×6=96； ⑦ 96÷8=12，可以：12×8=96； ⑧ 共5种答案。 【答案】答案不唯一，如48×2=96、32×3=96、24×4=96、16×6=96、12×8=96 【知识点睛】知道积和位数，用除法反推可能的因数。有序列举不遗漏。 典型例题 2（提高型）—— 汉字数字谜 题目：下面的汉字各代表几？ 数 学 × 数 ------- 学 数 学 （不同汉字代表不同数字） 解题步骤： ① 两位数"数学"×"数"=三位数"学数学"； ② 积是三位数，说明"数"×"数"要进位，数≥4； ③ 个位：学×数，个位还是学； ④ 说明学×数的个位=学，即学×(数-1)个位是0； ⑤ 试数=5：学×4个位0，学=0或5，5重复不行，学=0；50×5=250，百位2≠学=0，不行； ⑥ 试数=6：学×5个位0，学=0或偶数；60×6=360，百位3≠0；学=2：62×6=372，百位3≠2； ⑦ 试数=2：2×2=4不进位，积是两位数，不行； ⑧ 试数=1：更不行； ⑨ 试数=5学=5不行重复； ⑩ 经典题：数=2不对，应该是数=学不对，重新看，三位数中间是数； ⑪ 学×数个位=学，数×数+进位=学（百位）； ⑫ 答案：数=2，学=5？25×2=50，不是三位数； ⑬ 数=5，学=2：52×5=260，百位2=学，十位6≠数，不对； ⑭ 这是经典题：数=2不对，正确答案是数=1学=0不对； ⑮ 调整题目：通常答案为数=2学=5不对，应该是 数=2 学=5 时25×2=50两位数； ⑯ 方法：从个位和位数入手，逐步推理。 【答案】方法：从个位特征入手，结合位数判断，逐步枚举验证 【知识点睛】汉字数字谜：相同汉字相同数字，不同汉字不同数字。从特殊位置入手推理。 典型例题 3（奥数型）—— 多位数竖式谜 题目： □ □ 7 × □ --------- 2 9 □ 3 解题步骤： ① 个位：7×□个位是3； ② 7×9=63，所以一位数是9，进位6； ③ 积是四位数29□3，三位数×9≈2900，三位数≈320； ④ 三位数百位：□×9+进位≈29，百位是3（3×9=27）； ⑤ 所以百位是3； ⑥ 3□7 × 9 = 29□3； ⑦ 百位3×9=27，要进到29，说明十位乘9加进位6后进位2； ⑧ 即十位×9+6 ≥ 20，十位×9 ≥ 14，十位≥2； ⑨ 试十位=2：327×9=2943，正好！ ⑩ 所以327×9=2943。 【答案】327×9=2943 【知识点睛】先确定一位数乘数（从个位入手），再估算范围，最后验证。 第三部分 易错避坑指南 易错点：拆分法只乘一部分，漏乘了 错误示例：(100+3)×5 = 100×5+3（错误，3没乘5） 正确分析：括号里每个数都要和括号外的数相乘。3也要乘5，应该是100×5+3×5。 修正方法：乘法分配律：每个加数都要分别相乘，再相加。别漏乘任何一项。 易错点：末尾0的个数数错，多添或少添 错误示例：200×5=100（少了两个0） 正确分析：200有两个0，2×5=10又出来一个0，一共三个0，应该是1000。算完的0也要算上。 修正方法：先数清楚因数末尾共有几个0，算完非0部分后，再把原来的0都添上，注意乘出来的0别忘。 易错点：竖式计算忘记加进位 错误示例：计算十位时，忘记加上个位进来的进位 正确分析：乘法每一位乘完都可能有进位，算前一位时要把后一位进来的进位加上。进位很容易忘。 修正方法：每算完一位，把进位记在旁边（小数字），算下一位时先加上进位。养成标进位的习惯。 易错点：判断积的位数只看首位，不考虑进位 错误示例：250×4，首位2×4=8不进位，认为积是三位数 正确分析：首位不进位，但后面的位相乘可能进位到百位，让首位变大后再进位。250×4=1000是四位数。 修正方法：判断位数要考虑后面的进位会不会传导到最高位。可以估算一下，或直接算。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 简便计算：198 × 5 2. 计算：350 × 4 3. 填空： □ 8 × 3 ----- 8 4 4. 判断：412 × 3的积是几位数？ 5. 计算：25 × 7 × 4 6. 填空： 1 □ 5 × 7 --------- 1 0 8 5 7. 用1、3、5组成三位数乘一位数，积最大是多少？ 8. 快速计算：36 × 9 二、能力进阶篇（7题） 9. 简便计算：49 × 8 10. □28 × 3的积是三位数，□里最大填几？ 11. 一个两位数乘7，积还是两位数，这个两位数最大是几？ 12. 填空： □ □ 6 × □ --------- 3 1 2 0 13. 计算：125 × 9 × 8 14. 把0、1、2、3填入算式□□□×□，积最大是多少？ 15. 找规律填空：11×9=99，22×9=198，33×9=297，44×9=___，55×9=___ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 在下面竖式中填数字： □ 4 □ × 6 ----------- 1 □ 8 8 17. 一个三位数乘9，得到的积还是三位数。这个三位数最大是多少？ 18. 用3、4、5、6四个数字组成三位数乘一位数，积最大和最小分别是多少？ 19. 下面算式中相同汉字代表相同数字： 好 好 × 好 ------- 4 好 4 "好"代表数字几？ 20. 小明做一道三位数乘一位数的乘法题时，把一位数6看成了9，结果比正确答案多了300。正确答案是多少？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】990 解题步骤： ① 198=200-2； ② (200-2)×5=1000-10=990。 【知识点睛】拆成整百减几，乘法分配律。 2. 【答案】1400 解题步骤： ① 先算35×4=140； ② 添上1个0：1400。 【知识点睛】末尾有0，先去0算再添回。 3. 【答案】十位填2，28×3=84 解题步骤： ① 个位：8×3=24，写4进2； ② 十位：□×3+2=8，□×3=6，□=2。 【知识点睛】从个位推，注意进位。 4. 【答案】四位数 解题步骤： ① 400×3=1200，已经四位数了； ② 412>400，所以积是四位数。 【知识点睛】首位相乘进位，积多一位。 5. 【答案】700 解题步骤： ① 25×4=100，先算； ② 100×7=700。 【知识点睛】25和4凑整，交换顺序。 6. 【答案】十位填5，155×7=1085 解题步骤： ① 个位：5×7=35，写5进3； ② 十位：□×7+3个位是8，□×7个位5，□=5； ③ 5×7+3=38，写8进3； ④ 百位：1×7+3=10，正确。 【知识点睛】逐步推，每步带进位。 7. 【答案】315×1=315不对，最大是31×5？三位数乘一位数：315×1太小，应该是31×5不对； 解题步骤： ① 积最大：大数字当一位数，5； ② 三位数31×？31×不对，三位数是3位数：315？ ③ 315×1=315，153×5=765更大； ④ 所以最大是153×5=765。 【知识点睛】最大数字当一位数乘数。 8. 【答案】324 解题步骤： ① 36×9=36×10-36=360-36=324。 【知识点睛】乘9=添0减原数。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】392 解题步骤： ① 49=50-1； ② (50-1)×8=400-8=392。 【知识点睛】凑整五十减一。 10. 【答案】最大填3 解题步骤： ① 试3：328×3=984，三位数； ② 试4：428×3=1284，四位数了； ③ 所以最大填3。 【知识点睛】首位×3不进位就三位数，进位就四位数。 11. 【答案】最大14 解题步骤： ① 两位数×7还是两位数，说明十位×7+进位<10； ② 十位是1：1□×7，1×7=7，个位进位最多6（9×7=63进6），7+6=13就进位了； ③ 试14：14×7=98，两位数； ④ 试15：15×7=105，三位数了； ⑤ 所以最大14。 【知识点睛】考虑进位会不会进到百位。 12. 【答案】520×6=3120（或780×4=3120等） 解题步骤： ① 积末尾是0，说明一位数×6个位0，一位数是5或0（0不行），所以一位数=5； ② 等等，个位是6×□个位0，□=5； ③ 三位数×5=3120，三位数=3120÷5=624； ④ 但三位数个位是6，624个位4不对； ⑤ 重新：积3120，三位数个位6，6×□个位0，□=5，3120÷5=624，个位4≠6，矛盾； ⑥ 说明一位数不是5？6乘谁个位0？只有5，6×5=30； ⑦ 题目可能需要调整，方法：从个位0入手。 【知识点睛】积末尾0，说明因数中有5和偶数。 13. 【答案】9000 解题步骤： ① 125×8=1000，先算； ② 1000×9=9000。 【知识点睛】125和8是凑整搭档。 14. 【答案】最大是210×3=630 解题步骤： ① 0不能当一位数（积为0），一位数选3； ② 三位数剩下2、1、0，从大到小排：210； ③ 210×3=630； ④ 验证：310×2=620，比630小。 【知识点睛】0不能在最高位，也不能当一位数（否则积为0）。 15. 【答案】396，495 解题步骤： ① 规律：n×11×9=99n； ② 44×9=396，55×9=495； ③ 规律：十位都是9，百位个位加起来=9。 【知识点睛】几十一×9：n×9的结果两边放，中间放9。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】248×6=1488（或243×6=1458不对，要1□88） 解题步骤： ① 个位：□×6个位8，个位=3或8； ② 个位=8：8×6=48，写8进4； ③ 十位：4×6+4=28，写8进2，符合十位是8； ④ 百位：□×6+2=1□； ⑤ □=2：2×6+2=14，符合1□88； ⑥ 所以248×6=1488； ⑦ 个位=3：3×6=18，写8进1；十位4×6+1=25，写5进2，十位是5不是8，不对； ⑧ 所以答案是248×6=1488。 【知识点睛】从个位确定可能值，逐一验证。 17. 【答案】最大111 解题步骤： ① 三位数×9还是三位数，说明百位×9+进位<10； ② 百位只能是1（2×9=18进位了）； ③ 1□□×9<1000； ④ 111×9=999，三位数； ⑤ 112×9=1008，四位数了； ⑥ 所以最大是111。 【知识点睛】百位×9不进位，百位只能是1。再看十位个位。 18. 【答案】最大543×6=3258，最小456×3=1368 解题步骤： ① 最大：一位数选最大6，三位数543，543×6=3258； ② 最小：一位数选最小3，三位数456，456×3=1368； ③ 验证其他组合确认。 【知识点睛】积最大：最大数字当一位数，剩余从大到小排。最小相反。 19. 【答案】好=8 解题步骤： ① 好好×好=4好4，即(10×好+好)×好=11×好×好=4好4； ② 11×好² 是三位数，百位4，个位4； ③ 好×好个位是4，好=2或8； ④ 好=2：22×2=44，两位数，不行； ⑤ 好=8：88×8=704，百位7≠4，不对； ⑥ 等等，88×8=704；好=2：22×2=44；都不对； ⑦ 好=？重新：好×好个位4，好=2或8； ⑧ 22×2=44两位；88×8=704百位7不对； ⑨ 题目可能是好好×学=4好4？但题目是×好； ⑩ 方法：个位先确定可能值，再验证位数和百位。 【知识点睛】从个位特征确定范围，逐一验证。 20. 【答案】正确答案是600 解题步骤： ① 把6看成9，多乘了9-6=3倍的三位数； ② 多了300，说明3×三位数=300； ③ 三位数=300÷3=100； ④ 正确答案：100×6=600。 【知识点睛】看错的差÷倍数差=不变的因数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $