23.5 数据的分类（教学课件）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“数据的分类”，核心知识点为组内离差平方和与组间离差平方和的定义及计算，通过复习方差概念，结合全球人均二氧化碳排放量等现实案例导入，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“组内离差平方和最小”为核心原则，通过人均GDP分组等实例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理分析的能力，采用案例探究与练习结合的教学方法，小结明确分组步骤，助力学生提升数据分析能力，也为教师提供清晰教学流程。

【新教材】冀教版·九年级上册 第二十三章 数据分析与统计估计 23.5 数据的分类 数据的分类 章节导读 23.1平均数与加权平均数 23.2中位数与众数 方差 中位数 组间离差平方和 算术平均数 众数 23.3四分位数与箱线图 加权平均数 组内离差平方和 23.4数据的方差 23.5数据的分类 23.6用样本推断总体 四分位数 箱线图 用样本推断总体 学 习 目 标 1 2 3 理解组内离差平方和与组间离差平方和的定义，明确两者的关联，并能准确计算. 经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法; 能够按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分组，解决实际问题. 复习回顾 方差的概念及计算方法： 个数据 的平均数为，各个数据与平均数偏差的平方分别是。偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用表示，即 称为这组数据的离差平方和 新知探究 在大数据分析中，对一组数据进行分类是重要的方法之一. 例如，世界上的国家可以按某一指标分为发达国家与发展中国家，全体国民按人均收入分为高收入组、中等收人组与低收人组，初中生某项体能测试成绩分为优秀、合格与不合格，这些本质上都是按照某种原则对数据进行分类. 数据的分类原则 除了利用百分位数对数据进行分类外，还有其他的分类原则吗？ 新知探究 数据的分类原则 二氧化碳是一种温室气体，超量排放已对全球气候形成影响，我国已庄严承诺:力争在 2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和，2019年全球人均二氧化碳排放量为6.6 t，我国人均排放量为7.1 t，世界不同地区人均二氧化碳排放量(单位：t)的数据如下表. 序号 地区 人均二氧化碳排放量/t 1 非洲 1.6 2 南亚和东南亚 2.6 3 拉丁美洲 4.8 4 中东 7.4 5 东亚 8.6 6 欧洲 9.7 7 中亚和俄罗斯 9.9 8 北美 20.8 新知探究 数据的分类原则 观察与思考 观察下图，如果把这8个地区的人均二氧化碳排放量分成两个层次，你认为应该如何划分? 6 8 10 12 0 4 2 14 16 18 20 1.6 2.6 4.8 7.4 8.6 9.7 9.9 20.8 把这8个地区的人均二氧化碳排放量分成两组，则共有___种分组方法． 7 例：如果以中位数8为分界点，可以分为： {1.6,2.6,4.8,7.4}和{8.6,9.7,9.9,20.8}两组。 这样分组是否合理？ 新知探究 数据的分类原则 如果以中位数分组，第二组中的20.8与组内其他数据差异较大，不合理。 怎样使得组内差异较小？ 思考 6 8 10 12 0 4 2 14 16 18 20 1.6 2.6 4.8 7.4 8.6 9.7 9.9 20.8 观察：前7个数差异不大。如果将前7个数分为一组，20.8单独作为一组，可以使得组内差异较小。 称为“组内离差平方和最小”分类原则。 归纳总结 组内离差平方和最小原则 设一组数据为，将这组数据分成两组，前个数据为第一组，即，后个数据为第二组，即 ，两组数据的平均数分别为： 第一组数据平均数 第二组数据平均数 则个数据的平均数为 归纳总结 组内离差平方和最小原则 其中，设 称为组内离差平方和(简称组内差)，反映两个组内数据的离散程度； 称为组间离差平方和(简称组间差)，反映两组数据之间的差异程度. 则有 新知探究 验证组内离差平方和最小原则 将8个数据按从小到大的顺序排列为1.6，2.6，4.8，7.4，8.6，9.7，9.9，20.8，所有可能的分组方案有7种，利用计算机软件计算组内离差平方和，结果如下表: 分组情况 组内差 第一组7个，第二组1个 69.6 第一组6个，第二组2个 114.5 第一组5个，第二组3个 117.5 第一组4个，第二组4个 117.6 第一组3个，第二组5个 122.6 第一组2个，第二组6个 152.8 第一组1个，第二组7个 201.8 最小 计算结果表明，前7个数据分为一组，第8个数据单独一组，此时组内离差平方和最小. 归纳总结 验证组内离差平方和最小原则 一个合理的分组原则是使组内差达到最小，组间差达到最大，但根据，由于总体的离差平方和不变，则只需考虑使组内差达到最小即可. 组内离差平方和越小，说明两组内部的数据越集中，分组越合理. 典例分析 数据分类的应用 例 国家统计局发布的数据显示，2022年全国31个省、自治区、直辖市(不含港澳台地区，简称3不省区市)的人均GDP数据(单位:万元)如下表: 按照组内离差平方和最小的原则，把这 31个省区市的人均GDP分为两个层次. 序号 人均GDP 1 19.03 2 17.99 3 14.44 4 12.68 5 11.92 6 11.85 7 10.19 8 9.65 序号 人均GDP 9 9.21 10 9.07 11 8.60 12 8.29 13 7.37 14 7.36 15 7.36 16 7.09 序号 人均GDP 17 6.98 18 6.88 19 6.86 20 6.78 21 6.66 22 6.21 23 6.17 24 6.07 序号 人均GDP 25 5.84 26 5.70 27 5.53 28 5.23 29 5.22 30 5.11 31 4.50 典例分析 数据分类的应用 分析：将 31个省区市的人均GDP按从小到大的顺序排列后分成两组，共有 30种可能分法，如果分别计算组内差，最后选择组内差最小的分组方案，那么计算量会很大. 7 8 9 10 11 3 4 5 6 16 17 18 19 20 12 13 14 15 4 2 6 8 10 20 12 14 16 18 0 频数 人均GDP/万元 如图，这是31个省区市人均GDP的频数分布直方图. 观察图形，发现前25 个数据分布于4.5~10.5万元的范围内，而后6个数据分布于10.5~19.5万元的范围内. 典例分析 数据分类的应用 因此，先以10.5万元为分界点将数据分为两组，计算组内差，然后每次将第一组的最后一个数据加入第二组(或将第二组的第一个数据加入第一组)，重新计算组内差，最后进行比较. 分组情况 组内差 第一组25个，第二组6个 104.1 第一组24个，第二组7个 110.3 第一组23个，第二组8个 118.7 第一组26个，第二组5个 117.7 第一组27个，第二组4个 126.2 … … 解：将数据由小到大排列，利用统计软件计算组内离差平方和，结果如下表: 经比较，将排序后的前 25 个数据分为一组，后6个数据分为一组，可以使组内离差平方和达到最小，即人均 GDP小于10.5万元的省区市为一个层次，人均 GDP 大于 10.5万元的省区市为另一个层次. 越来越大 最小 归纳总结 数据分类的应用 数据分组的步骤： (1)将数据按从小到大排序； (2)确定所有可能的间隔(个数据有个间隔，对应种两组分法)； (3)计算每种分法的两组平均数、总数据的平均数及组内离差平方和； (4)选择组内离差平方和最小的分法作为最优分组. 分组交流 数据分类的应用 1.在例题中，用中位数7.09万元为分界点将数据分为两组，和利用组内离差平方和最小的原则将数据分为两组，哪种方法更合理?为什么? 2.如果将 31个省区市的人均GDP分为3个层次，应该如何划分? 三个层次分别为低层次（4.50~7.37万元）、中层次（8.29~9.65万元）、高层次（10.19~19.03万元）（按组内离差平方和最小原则）。 中位数只是把样本个数对半分开，没有考虑每组内部数值是否接近.如果数据存在极端值、断层，中位数分割会把差距极大的数值强行放入同一组. 组内离差平方和以 “同组数据相近、组间差距大” 为目标，用数值离散程度量化分组效果，分组后同一层次内人均 GDP 水平更接近，不同层次发展差距更清晰，符合 “划分经济发展层次” 的实际分析需求. 随堂练习 1.将数据2,3,7,8分成两组，共有3种不同分法，请先直观猜想哪种分法的组内差最小，然后计算验证。 基础过关(P36) 解：分法一：第一组{2,3}，第二组{7,8}； 分法二：第一组{2,7}，第二组{3,8}； 分法三：第一组{2,8}，第二组{3,8} 分法一：第一组{2,3}，组内差1；第二组{7,8}，组内差1；组内差之和2； 分法二：第一组{2,7}，组内差5；第二组{3,8}，组内差5；组内差之和10 ； 分法三：第一组{2,8}，组内差6；第二组{3,7}，组内差4；组内差之和10 ； 因此分法一的组内差最小。 随堂练习 能力提升 2.有一组数据: 5，6，8，9，10，按照“组内离差平方和最小”原则将这组数据分成两组，下列选项正确的是（ ） A. {5} 和 {6，8，9，10}　　　　　 B. {5，6} 和 {8，9，10} C. {5，6，8} 和 {9，10} D. {5，6，8，9} 和 {10} B ＝ 8.75 ＝ 2.5 ＝ 5.17 ＝ 10 随堂练习 能力提升 3.五个城市某月的平均低温单位： 如下表所示： 城市 A B C D 平均低温/ 0 -2 5 2 3 根据平均低温的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组． 解：将平均低温按从小到大的顺序排列，5个平均低温按顺序排列形成4个间隔，如图所示. 每个间隔都可以把平均低温分成两组，共有4种分法． 分组 组内离差平方和 第1个间隔 13 第2个间隔 6.67 第3个间隔 10 第4个间隔 14.75 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第2个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为{A ，B}和{C，D，E} . 20 随堂练习 能力提升 4.学校运动会上，5 名学生的跳远成绩(单位：米)分别是 4.2、4.5、4.8、5.2、5.5，体育老师要按照组内离差平方和最小的原则将学生成绩分为两组，用于后续训练安排，求分组方案. 解：把这5个数据分为两组，共有4种情况： 分为{4.2}和{4.5，4.8，5.2，5.5}时，组内离差平方和=0.58； 分为{4.2，4.5}和{4.8，5.2，5.5}时，组内离差平方和≈0.292； 分为{4.2，4.5，4.8}和{5.2，5.5}时，组内离差平方和=0.225； 分为{4.2，4.5，4.8，5.2}和{5.5}时，组内离差平方和=0.5475； 通过比较每组的组内离差平方和，可知应当分为{4.2，4.5，4.8}和{5.2，5.5}两组. 课堂小结 表达了两个组的组内数据的离散程度 表达了两个组之间的差异 组内离差平方和 组间离差平方和 分组原则：使组内离差平方和最小 感谢聆听! 【新教材】冀教版·九年级上册 $